第八章平行线的有关证明.doc

7、1 为什么要证明学习目标：1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否 2.经历观察、验证、归纳等过程，培养推理意识3.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等学习过程：阅读教材P162-163a 以前，我们通过观察，实验、归纳得到了很多正确的结论。观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？让我们一来探究，从而认识到证明的必要性。活动1:1、如图中两条线段a与b的长度相等吗？b请你先观察，再度量一下。结论：a与b 的长度2、如图把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，和你的感觉一样吗？大家一起算一算：别太相信你的眼睛和直觉呦！设赤道周长为c，则赤道的半径为铁丝围成的圆的半径为 所以铁丝与地球赤道之间的间隙为 ： 结论：活动2：不难发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n， n2-n+11的值都是质数你认为呢？与同伴交流n01234567891011n2-n+1111111317233141536783101121是否为质数是是是是 你的结论是：活动3：如图，在ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点，连接DE。DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想，你能肯定你的结论对所有的ABC都成了吗？ 小组间进行、交流。EDCBA 结论： 归纳、结论：实验、观察、归纳得到的结论可能 也可能 。因此，要判断数学结论 ，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行 课堂检测：1、图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下. 2、n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？ 课堂评价 7、2、1 定义与命题（1）学习目标：1.了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分某些语句是不是命题2.会区分一个命题的条件和结论，了解判断命题真假的方法。学新准备：请你举出你所熟知的一些定义例子学习过程：阅读教材P165-166页活动1：下面的语句中，哪些语句对事物作出了判断，哪些没有？（1） 任何一个三角形一定有一个角是直角；（2） 对顶角相等；（3） 无论n为怎样的自然数，式子的值都是质数；（4） 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（5） 你喜欢数学吗？（6） 作线段AB=CD你的结论是：归纳、总结知识点： 定义： 判断一件事情的 ，叫做 。 如果一个句子没有对某一件事情做出任何 ，那么它就不是 。即时练习：下列句子哪些是命题？（1）动物都需要水； （2）猴子是动物的一种；（3）玫瑰花是动物； （4美丽的天空；（5相等的角是对顶角； （6）负数都小于零；（7）你的作业做完了吗？ （8）所有的质数都是奇数；（9）过直线l外一点作l的平行线； （10）如果a=b,a=c,那么b=c;活动2：观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？（1） 如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；（2） 如果a=b,那么；（3） 如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等。结构特征：结论：一般地，每个命题都由 和 两部分组成。 是已知的事项， 是由已知事项推断出的事项。命题通常可以写成 “ ”的形式，其中“ ”引出的部分是条件，“ ”引出的部分是结论。即时练习：指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？（1） 如果两个角相等，那么它们是对顶角； （2） 如果ab,bc,那么ac;（3） 全等的三角形的面积相等；（4） 如果室外气温低于0，那么地面上的水一定会结冰。结论：一个命题有正确的和错误的，我们把正确的命题称为 ，不正确的命题称为 。要说明一个命题是 ，常常可以举出一个例子，使它具备命题的 而不具备命题的 ，这种例子称为 。即时训练： 指出下列各命题的条件和结论，并指出哪些是真命题，哪些是假命题，并通过反例来说明假命题。（1） 如果5月4日是星期一，那么5月11日也是星期一；（2） 三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3） 如果，那么x=4；（4） 两个锐角之和一定是钝角；（5） 如果，那么；（6） 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等。课堂检测： 指出下列命题的条件和结论分别是什么？各是什么命题？（1） 如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等；（2） 如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；（3） 直角三角形的两锐角互余；（4） 两直线平行，同位角相等；课堂评价 7、2、2 定义与命题（2）学习目标：1.了解公理、证明、定理的含义； 2.识记本教材所采用的公理 3、初步体会证明的思路与书写的过程。学新准备：1、什么叫做定义？举例说明什么叫命题？举例说明2、找出下述命题中的条件和结论，指出它们哪些是正确的命题？哪些是不正确的命题？ （1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果ab，bc，那么ac；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（4）菱形的四条边都相等；（5）全等三角形的面积相等学习过程：阅读教材P168-170页，完成下列问题:（一）知识点：公理、证明、定理的含义 公理：证明：定理： 识记本教材的八条公理： 要记住啊！ 此八条基本事实前面已详细探索过，不必验证它们的正确性，可以直接用来证实其它命题的正确性，另外一条我们将在以后认识它。此外等式和不等式的有关性质也可看作公理比如：如果a=b，b=c，那么a=c（二）你能用所学的公理、定义、性质完成下列定理的证明吗？试试看？ 定理：同角（等角）的补角相等。 同角（等角）的余角相等。 三角形的任意两边之和大于第三边。范例：定理：对顶角相等 已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，AOC与BOD是对顶角。 求证：AOC=BODOABCD 证明：直线AB与直线CD相交于点O （ ）AOB和COD都是平角 （ ）AOC和BOD都是AOD的补角 （ ）AOC=BOD （ ）总结：证明一个命题的步骤： 根据命题画图，根据图形和命题写出已知和求证（写成符号语言）根据已知对求证进行证明。课堂检测： 1、下列命题是假命题的是（ ） A、如果ab,bc,那么ac B、锐角三角形中最大的角一定大于或等于60C、如果a是有理数，那么a是实数 D、两条直线被第三条直线所截，内错角相等 2、下列叙述错误的是（）、所有的命题都有条件和结论 、所有的命题都是定理、所有的定理都是命题 、所有的公理都是真命题3、判断下列命题的真假： （1）一个三角形如果有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形； （2）如果a=b,那么 4、写出下列命题的条件和结论： （1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； （2）如果两个三角形全等，那么它们对应边上的高也相等。5、把下列命题“同角或等角的余角相等”改写成“如果，那么”的形式6、证明：三角形的任意两边之和大于第三边 课堂评价7、3 平行线的判定： 学习目标：1.熟练掌握平行线的判定公理及定理； 2.能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中学新准备：两直线平行的判定方法有哪些？学习过程：阅读教材P172-173 活动1：探索平行线判定方法的证明 定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简述为：按要求完成下列问题：（1） 根据题意画出图形；(2)写出已知、求证；（3）完成证明。 已知：把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言 求证： 证明：1、证明“两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行” 简述为：2、我们可以用右图的方法作出平行线，你能说说其中的道理吗？（课本173想一想页） 注意：已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新的结论。平行线的判定性质总结：判定 文字叙述 符号语言 图形第一种同位角相等，两直线平行1=2（已知）ab(同位角相等，两直线平行4321cba第二种同旁内角互补，两直线平行2+4=180（已知）ab（同旁内角互补，两直线平行第三种内错角相等，两直线平行3=2（已知）ab(内错角相等，两直线平行注意：证明语言的规范化推理过程要有依据课堂检测：EDBCA1、 如图，点B在DC上，BE平分ABD，DBE=A,则BEAC,请说明理由MCBANFE2、 如图，若MNAB,ABC=130，FCB=40，试判断直线MN与EF的位置关系，课堂评价7、4 平行线的性质学习目标：1.认识平行线的三条性质。 2.能熟练运用这三条性质证明几何题。 3.进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法学新准备：1、 同位角相等，两直线2、 内错角 ，两直线平行。3、 同旁内角 ，两直线平行。学习过程：阅读教材P175-177页 活动1： 画出直线AB的平行线CD，结合画图过程思考画出的平行线，被第三条直线所截的同位角的关系是怎样的？ 平行公理： 两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的，那么内错角、同旁内角有什么关系？ab (已知)，12 ( ) 1 (对顶角相等)， (等量代换) 归纳结论：两直线平行，ab (已知) (两直线平行，同位角相等)14=180( ) 180 (等量代换) 归纳结论：两直线平行，即时练习：1、 已知：如图ba,ca,1、2、3是直线a、b、c被直线d截出的同位角。d求证：bc1a 证明：2bc32、一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角B是130，第二次拐的角C是课堂检测：1、已知平行线AB、CD被直线AE所截 (1)若1=110,可以知道2是多少度吗？为什么？ (2)若1=110，可以知道3是多少度吗？为什么？ (3)若1=110，可以知道4是多少度吗，为什么？2、如图是梯形有上底的一部分，已知量得A=115，D100，梯形另外两个角各是多少度？3、如图，已知直线DE经过点A，DEBC，B44，C57(1)DAB等于多少度？为什么？(2)EAC等于多少度？为什么？(3)BAC、BACBC各等于多少度？4、如图，A、B、C、D在同一直线上，ADEF(1)E78时，1、2各等于多少度？为什么？(2)F=58时，3、4各等于多少度？为什么？课堂评价7、5、1三角形内角和定理（1） 学习目标：1.掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。 2.灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。 3.用多种方法证明三角形定理，培养一题多解的能力。学习过程：阅读教材P178-179活动1：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理（2） 实验1：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。动手做一做，相信你能行！（3）用严谨的证明来论证三角形内角和定理看哪个同学想的方法最多？方法一：过A点作DEBCABCDE ABCED方法二：作BC的延长线CD，过点C作射线CEBA注意：掌握辅助线的作法技巧结论：三角形内角和定理：即时练习： 如图，在ABC中，B=38，C=62，AD是ABC的角平分线，求ADB的度数。CDBA课堂检测：（1）ABC中可以有3个锐角吗？ 3个直角呢？ 2个直角呢？若有1个直角另外两角有什么特点？（2）ABC中，C=90，A=30，B=？（3）A=50，B=C，则ABC中B=？（4）三角形的三个内角中，只能有_个直角或_个钝角（5）任何一个三角形中，至少有_个锐角；至多有_个锐角（6）三角形中三角之比为123，则三个角各为多少度？（7）已知：ABC中，C=B=2A。(a)求B的度数；(b)若BD是AC边上的高，求DBC的度数？课堂评价7、5、2三角形内角和定理（2）学习目标：1.掌握三角形外角的两条性质； 2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧 3.灵活运用三角形外角和的两条性质解决相关问题。学新准备：1、三角形的内角和等于 2、ABC中，C=B=4A，则A= ，B= ，C=学习新知：阅读教材P181-182页，完成下列问题： 三角形的外角定义： 结合图形指明外角的特征有三： (1) 顶点在三角形的一个顶点上(2) 一条边是三角形的 (3) 另一条边是三角形某条边的 两个推论及其应用探讨三角形外角的性质：问题1：如图，ABC中，A=70，B=60，ACD是ABC的一个外角，能由A、B求出ACD吗？如果能，ACD与A、B有什么关系？问题2：任意一个ABC的一个外角ACD与A、B的大小会有什么关系呢？学生归纳得出：推论1： 三角形的一个外角等于推论 2：三角形的一个外角大于即时练习：1、已知：BAF，CBD，ACE是ABC的三个外角求证：BAF+CBD+ACE=360结论：三角形的外角和等于CBAED2、已知：如图，在ABC中，C=B，AD平分外角EAC.PCBA3、已知：如图，P是ABC内一点，连接PB、PC。求证：BPCA课堂评价第七章 回顾与思考学案学习目标：（1）了解命题的概念与命题的构成；（2）使学生进一步熟悉平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质等概念； （3）进一步体会证明的必要性； 知识回顾：1.什么是定义？什么是命题？命题由哪两部分组成？