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用相似比求交点的坐标【例题1】 如图1，已知A、B是双曲线上的两个点，点A、B的横坐标分别为1、2，点C的坐标为(1，0)在双曲线上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形？如果存在，请求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由图1解析过ABC的三个顶点，分别画对边的平行线，平行线与双曲线的交点有三个，可以知道符合条件的点D有三个。求点D的坐标，我们容易想到代数法，把直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，方程组的解就是交点的坐标。其实用几何法，根据相似比列方程，可以使得解题又好又快。先求得点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(2，1)。设点D的坐标为()。如图2，当CD/AB时，构造CDEABF，那么。由此列方程，解得x1或2。所以点D的坐标为(1, 2)或(2,1)。如图3，当AD/BC时，构造CBMADN，那么。由此列方程，解得x5或1。当x1时就是点A，所以点D的坐标为(5，)。不存在BD/AC的情况。图2 图3【例题2】如图4，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，1），ABC的面积为（1）求该二次函数的关系式；（2）在该二次函数的图象上是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由图4解析我们先来解答第（1）题：因为OC1，ABC的面积为，所以AB设点A的坐标为（a，0），那么点B的坐标为（a，0）设抛物线的解析式为，代入点C（0，1），得解得或因为二次函数的解析式中，所以抛物线的对称轴在y轴右侧因此点A、B的坐标分别为，所以抛物线的解析式为我们为第（2）题作铺垫工作：直觉很重要，ACB90。因为，所以因此AOCCOB于是ACOCBO。因此ACOBCOCBOBCO90所以ACB90。设点D的坐标为如图5，过点A作BC的平行线交抛物线于D，过点D作DEx轴于E因为，所以因此解得此时点D的坐标为如图6，过点B作AC的平行线交抛物线于D，过点D作DFx轴于F因为，所以因此解得此时点D的坐标为综上所述，当D的坐标为或时，以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形图5 图6第（2）题可以用代数的方法这样解：例如图5，先求得直线BC为，再根据AD/BC求得直线AD为，由直线AD和抛物线的解析式组成的方程组，得到点D的坐标显然代数法的运算量很大。2011
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