数学人教版九年级上册二次函数图像和性质.doc

二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质教学设计一、内容和内容解析本节内容源于人教版九年级上册“第二十二章 二次函数”，属“数与代数”领域，主要内容为二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.二次函数是在学习了函数基础知识，一次函数（包括正比例函数）以后，进一步学习函数知识的一个重要内容.二次函数是描述现实世界数量之间关系的重要教学模型，和一次函数一样，二次函数是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究为进一步学习函数，体会函数的思想、建模思想以及数形结合的思想，积累更加丰富的经验.二次函数y=a(x-h)2+k（a0）是在学习了二次函数y=ax2与y=ax2+k，y=a(x-h)2 (a0)的基础上研究的内容，用类比的方法很容易就可以得到它们图象之间的位置关系和平移规律，是前面内容的提升和总结.二次函数y=a(x-h)2 +k (a0)是解决某些变量最优化问题的重要教学模型.为进一步研究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质，奠定了知识基础，提供了研究问题的方法和思路.基于上述分析，确定本节的教学重点是：结合二次函数y=a(x-h)2 +k 的图象，归纳总结相应的函数性质，提高学生利用已有知识主动获取新知识的能力.二、目标和目标解析1、经历用描点法画二次函数y=a(x-h)2 +k的图象的过程，并通过图象认识函数的性质.通过动手画图，体会已知函数解析式画函数图象的三个步骤：列表、描点、连线.进一步明晰利用对称性列表取值在画图中的重要性.结合图象在感性认识的基础上抽象、概括出函数的性质.2、经历函数y=a(x-h)2 +k与y=ax2(a0)图象平移规律的探究过程.从函数y=a(x-h)2 +k(a0)的一个特例入手，让学生用类比的思想方法在自主探究和合作交流的基础上，概括总结出二次函数图象的平移规律，体会数形结合数学思想方法，进一步培养学生的直觉思维能力.3、会运用二次函数的知识解决简单的实际问题.在运用二次函数的知识解决简单的实际问题的过程中，让学生体会建模思想的运用.培养学生分析、转化、解决实际问题的能力，帮助学生树立学习的自信心，让他们真正体会到学习数学知识的价值所在.三、教学问题诊断分析学生在一次函数的学习过程中，已经有将实际问题转化为一次函数的数学问题的经历和体验，要做好这种转化，首先要分清哪个是变量，哪个是常量，哪个是自变量，哪个是函数；其次是建立函数与自变量之间的关系，同时要确定自变量的取值范围.二次函数从解析式、函数图象以及性质等方面与一次函数相比较更为复杂，因此，在一些实际问题中，抽象出二次函数的数学模型，再用函数的规律解决这些实际问题是学生学习中感到困难的问题.鉴于上述分析，确定本节课的教学难点是：利用数学建模的思想将实际问题转化为二次函数的问题去解决.四、教学支持条件分析在教学中，鉴于教材特点及学生的年龄特点、心理特征和认知水平，采用问题教学法，用层层推进的提问启发学生通过深入思考和主动探究获取知识.同时，还充分利用多媒体教学，通过演示、操作、观察、归纳等数学活动启发学生，便学生真正成为教学的主体，让他们充分体会参与的乐趣和获得成功的喜悦.五、教学过程设计（一）创设情境图片欣赏 【设计目的】创设问题情境，让学生从生活中发现数学，激发学生的学习兴趣.【活动方式】教师引导学生欣赏.（二）知识引入问题1 抛物线y= -x2经过怎样的变换可以得到抛物线y= -x21？抛物线 y= -x2又经过怎样的变换可以得到抛物线y= -（x+1）2 ？抛物线y= -（x+1）2-1 与抛物线y= -x2，y= -x2-1，y= -（x+1）2之间有什么关系呢？【设计目的】从学生已经研究过的问题出发，一方面对前面所学的知识起到复习巩固的作用；另一方面为探究新问题提供了研究的方式和方法，同时激发了学生探究的欲望.【活动方式】学生凭借已有的知识经验对提出的问题以个别回答的方式一一作答，教师给予逐一评价.（三）知识探究例1 在同一坐标中画出函数y= -x2，y= -x2-1，y= -（x+1）2，y= -（x+1）2-1的图象.先列表：X-4-3-2-10123y= -x2-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5y= -x2-1-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5y= -（x+1）2-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5y= -（x+1）2-1-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5然后描点画图，得y= -x2，y= -x2-1，y= -（x+1）2，y= -（x+1）2-1的图象（图1）y= -（x+1）2y= -（x+1）2-1y= -x2-1y= -x2图1【设计目的】让学生亲身经历列表、描点画图的过程，从列表过程中体会这些二次函数数量间的关系，从画图过程中体会它们的位置关系.【活动方式】学生在教师指导下填写表格中相应的函数值并画图，然后教师通过几何画板演示各函数图象的形成过程，并让学生对比分析，找出不足之处，加以纠正.问题2 观察上述四条抛物线的相互关系，填写下列表格：开口方向对称轴顶点坐标y= -x2y= -x2-1y= -（x+1）2y= -（x+1）2-1【设计目的】让学生在仔细观察图象的基础上，及时归纳总结，进一步体会数形结合的数学思想.【活动方式】学生在自主探索得出结论的基础上，小组合作交流互相订正，教师适时加以指导.问题3 猜想抛物线y=a（x-h）2+k（a0）的开口方向，对称轴及顶点坐标，并填写下表.y=a（x-h）2+k开口方向对称轴顶点坐标a0a0【设计目的】让学生从大量实例中，总结得出一般规律，进一步体会特殊列一般的解决数学问题的方法，提高学生抽象概括能力.【活动方式】学生独立完成后再小组合作交流，教师及时引导点拨.问题4 观察图1，抛物线y= -x2经过怎样的变换可以得到抛物线 y= -（x+1）2-1，你有几种平移的方法？【设计目的】类比上一节研究问题的方法，分析抛物线y= -x2与抛物线 y= -（x+1）2-1的位置关系，进而得到平移的方法.【活动方式】让学生首先观察分析、加以概括，然后教师播放动画演示平移过程，加深理解.问题5 由抛物线y= -（x+1）2-1与y= -x2的关系，归纳总结并推广得到抛物线y=a（x-h）2+k与y=ax2的关系：（1）抛物线y=a（x-h）2+k与y=ax2 相同， 不同，把抛物线y=ax2向 向 平移，可以得到抛物线y=a（x-h）2+k.（2）把抛物线y=ax2平移就可以得到抛物线y=a（x-h）2+k，平移的方向、距离根据h，k的值来决定：抛物线y=ax2h0k0向 平移 个单位向 平移 个单位得到抛物线y=a（x-h）2+kk0向 平移 个单位向 平移 个单位h0k0向 平移 个单位向 平移 个单位k0向 平移 个单位向 平移 个单位【设计目的】让学生经历观察、分析、猜想、验证、归纳的过程，提高学生的思维能力和表达能力.【活动方式】学生独立思考并完成问题的解答，在此基础上，小组交流得出一般结论，教师加以补充完善.（四）知识应用例2 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？分析： 本题要运用所学的二次函数的有关知识去解决实际问题，这里关键是如何将实际问题转化为二次函数这个数学问题，因此，建立适当的直角坐标系是十分重要的.解法一：如图2，建立直角坐标系，点（1，3）为抛物线的顶点，设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3（0x3），由抛物线经过点（3，0），解得a= -即可得到问题的答案.图2解法二：如图3，建立直角坐标系，点（0，3）为抛物线的顶点，设抛物线的解析式为y=ax2+3（-1x2），由抛物线经过点（2，0），解得a= -即可得到问题的答案. 图3解法三：如图4，建立直角坐标系，点（0，0）为抛物线的顶点，设抛物线的解析式为y=ax2（-1x2），由抛物线经过点（2，3），解得a=即可得到问题的答案.图4问题6 本题还有其他的解法吗？你认为哪一种方法最为简单？【设计目的】通过建立不同的坐标系，得到不同的二次函数的解析式，一方面加深学生对二次函数y=a（x-h）2+k的性质的理解.另一方面，让学生亲身反复体验建模思想在实际问题转化为数学问题过程中的重要作用，增强了学生学数学用数学的意识，同时也培养了学生的发散思维能力.【活动方式】教师组织学生小组讨论，帮助学生选择最优化的解题方案.（五）巩固练习1.二次函数y= -3（x-2）2+9的图象的开口 ，对称轴为 ，顶点坐标 .2.抛物线y=(x+2)2-7可以由抛物线y=x2向 平移 个单位，再 向 平移 个单位而得到.3.将抛物线y=x2+1向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的是（ ）A. y=（x+2）2-3 B. y=（x-2）2-2C. y= -（x-2）2-3 D. y=（x+2）2-2【设计目的】通过练习，及时反馈学生的学习情况，培养学生分析问题和解决问题的能力.【活动方式】学生当堂完成，小组互评，教师点评.（六）学习小结问题7 通过本节课的学习，你有什么收获？有什么疑惑？（从数学知识、数学思想方法、情感体验等方面反思）【设计目的】梳理学习的内容、方法形成知识体系，养成良好的学习习惯，及时总结稳步提高学生的学习能力.【活动方式】教师引导学生通过小组合作交流的方式，共同总结.六、目标检测设计1.抛物线y= -（x-3）2-5的开口方向 ,对称轴是 ，顶点坐标是 .【设计目的】考查学生二次函数y=a（x-h）2+k的性质的掌握情况.2.将抛物线y= -3x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线解析式是 .【设计目的】考查学生能否熟练运用抛物线平移规律解决问题.3.抛物线y=3（x-2）2+1与y=3（x+2）2+1的图象的关系是（ ）A.关于原点对称 B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.以上均不能【设计目的】考查学生由特殊点顶点的位置关系来推断出两条抛物线的位置关系的能力.4.已知抛物线y=2x2，若抛物线不动，把y轴 向右平移2个单位，把x轴向下平移3个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）A. y=2（x-2）2+3 B. y=2（x-2）2-3C. y=2（x+2）2+3 D. y=2（x+2）2-3【设计目的】考查学生能否换位思考，是否具备逆向思考问题的能力.5.已知二次函数y=a（x+1）2+c的图象如图所示，则函数y=ax+c的图象只可能是（ ）第5题oxyoxyoxyoxyABC