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第二十四章 数 学 活 动 活动2 探究四点共圆的条件五峰县五峰镇中学 黄学芳学习目标:认知目标:理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件;能力目标通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明,体会由特殊到一般、转化的数学思想,积累数学活动的经验情感目标:通过小组活动培养学生的合作交流意识。学习重点:四点共圆的条件的探究(根据本节课的内容和教学目标确定)学习难点: 反证法证明命题.(学生用反证法证明几何命题用的很少,所以对反证法证明几何命题不熟悉, 活动过程:一、复习回顾1、怎样确定一个圆?2、圆内接四边形有什么性质?二、探究猜想1、过不在同一条直线上的四个点,一定能确定一个圆吗?2、在你所熟知的特殊四边形中,哪些有外接圆?分别过平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形的四个顶点能否作一个圆,你是怎样确定这四点共圆的? 最基本的方法:若能够找一点使得它到已知四点的距离相等,则这四点肯定共圆.如图,ACB、ADB均为直角三角形, ACB= ADB=90.求证:A、B、C、D四点共圆.同学们在草稿纸上任意画一个四边形,尝试着作一下,看能否过它们的四个顶点作一个圆?结论:不是所有四边形的四个顶点共圆,只有一部分四边形的四个顶点共圆.问题:具有什么特点的四边形的四个顶点共圆呢?四边形的哪些元素决定了过它的四个顶点是否可以作一个圆?我们知道圆内接四边形对角互补,由此可以猜想,对角互补的四边形的四个顶点可能在同一个圆上.猜想:过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆三、证明猜想猜想:过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆已知:在四边形 ABCD 中,B+D=180求证:过点 A、B、C、D 可作一个圆 证明:假设过 A、B、C、D 四点不能作一个圆过 A、B、C 三点作圆,若点 D 在圆外设 AD 与圆交于点 E,连接 CE,则B+AEC=180AEC=D AEC=D+DCE,与AEC=D 矛盾,故假设不成立点 D 在过点 A、B、C 三点的圆上 点 D 在圆内的情况,请同学们尝试证明结论: 对角互补的四边形的四个顶点共圆四、学以致用1、在四边形ABCD中,如果A= 115,B= 30,那么当C=_时,四边形ABCD能四点共圆。2、 如图 点A、B、 C、D都是O上的点,则正确的选项是( )(A)1+2A (B) 1+2=A (C) 1+2A (D)不能确定3、如图,已知ABCD为平行四边形,过点A和B的圆与 AD、BC分别交于 E、F 求证:C、D、E、F四点共圆4 、如图,在ABC中,ADBC,DEAB,DFAC求证:B、E、F、C四点共圆证明 DEAB,DFAC,AEDAFD=180,即A、E、D、F四点共圆,AEF=ADF又ADBC,ADFCDF=90,CDFFCD=90,ADF=FCDAEF=FCD,BEFFCB=180,即B、E、F、C四点共圆五、归纳反思通过本节课的活动,你有那些收获?1.数学探究活动的一般步骤:2.在数学活动中要勇于探究,大胆猜想,学会和同学合作交流,分享成功的喜悦.3
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