数分12[3]期末考试试卷(A)答案.pdf

1 数学与统计 学院 专业班级 学 号 姓 名 评卷密封线 密封线内不要答题 密封线外不准填写考生信息 违者考试成绩按 0 分处理 评卷密封线 中南大学考试试卷 2012 2013 学年 第一 学期 数学分析 III 课程 时间 100 分钟 48 学时 3 学分 闭卷 总分 100 分 占总评成绩 70 一 填空题 共 15 分 每空 3 分 一 填空题 共 15 分 每空 3 分 1 设 设 xx yz yy z x zz x y 为方程 为方程 F x y z0 所确定 的隐函数 则 所确定 的隐函数 则 xyz yzx 1 1 2 椭球面在 2 椭球面在 1 1 1 处的切平面方程是 处的切平面方程是 222 23 xyz6 X 2y 3z 6 X 2y 3z 6 3 2 2 0 0 limcos x ex dx 1 1 4 设设 1 1 x xy F xedy y 则 则 Fx x e x 5 设为球心在原点的单位球面的外侧 则 设为球心在原点的单位球面的外侧 则S S xdydzydzdxzdxdy 4 题 号 一 二 三 四 五 合 计 总 分 15 15 50 20 15 100 得 分 得分 评卷人 2 4 得分 评卷人 二 选择题 共 15 分 每小题 3 分 二 选择题 共 15 分 每小题 3 分 1 旋转抛物面在点 旋转抛物面在点 1 22 22xyz 1 0 处法线方程为 处法线方程为 B A 11 441 xyz B 11 441 xyz C 11 441 xy z D 11 144 xyz 2 设设 f x y为连续函数 交换积分次序为连续函数 交换积分次序 11 0 y dyf x y dx D 1111 000 111 000 x x x Adxf x y dyBdxf x y dy Cdxf x y dyDdxf x y dy 3 锥面 锥面 22 zxy被柱面被柱面 2 2zx所截部分的曲面面积为 所截部分的曲面面积为 B 2 4 2 4 2 ABCD 4 设设 在光滑双侧曲在光滑双侧曲 S 上连续 上连续 D 为为 S 在坐标平面在坐标平面 xoy 上投影 则下列说法正确的 是 上投影 则下列说法正确的 是 A f x y 0000 0 S SS SD S S Af x y dxdyf x y dxdy Bf x y dxdyf x y dxdy Cf x yf x y dxdy Dxyf x y dxdyf xyS 若 非负 则 满足 S表示 的面积 5 设设 1122 1122 22 1 0 ab Da xb ya xb y ab 则在线性变换 下区域 则在线性变换 下区域 D 的面积为 的面积为 C 1122 T ua xb y va xb y 11 ABC D 3 三 计算题 每小题 10 分 共 50 分 三 计算题 每小题 10 分 共 50 分 1 1 111 000 11 ln 11ln bb aa b y a ba y b dxdydxdy ya x dy xx dxx x 2 2 其中积分区域 D xy dxdy 22 1 2 Dxyxy 21 00 11 cos sin 22 2 1cossin 3 xryr drrrdr D xy dxdy 设则 数学与统计 学院 专业班级 学 号 姓 名 评卷密封线 密封线内不要答题 密封线外不准填写考生信息 违者考试成绩按 0 分处理 评卷密封线 得分 评卷人 4 3 333 S x dydzy dzdxz dxdy 其中积分曲面为球心在原点的单位球面并取外侧 S 222 21 4 000 333 3 12 sin 5 V S xyzdxdydz ddrd x dydzy dzdxz dxdy 由Gauss公式 4 4 222 234S dS yxz 其中其中 S 为球面为球面 222 1xyz 提示 利用对称性 提示 利用对称性 2222 222 14 33 13 9 234 SS z dSxyzdS S dS yxz 5 5 22 4 L xdyydx xy 其中积分曲线为圆周 222 1 0 1Lxyrrr 并取逆 时针方向 5 222 222 22 1 2 1 0 34 4 4 xy LL L QP r LxyLL xdyydxxdyydx xy xdyydx xy 当时 当r 1时 取且含于 所围区域内 则 6 四 证明题 每小题 10 分 共 20 分 四 证明题 每小题 10 分 共 20 分 1 1 已知含参量积分 0 sin xy f yd x x 试证明 1 函数f在 0 上连续 2 上述含参量积分在 0 上不一致收敛 证明 1 由 Dichilet 判别法证明积分在 0 上内闭一致收敛 2 由确界定理可得非一致收敛 0 0 0 sinsin lim sup lim sup sin 2 yy AAAA xyu dxdu xu u du u y 2 设设 n 为正整数 为正整数 0 0 xy 用条件极值方法证明 用条件极值方法证明 22 n nn xyxy 0 2 1 2 2 2 0 0 22 nn nn xy L x yxya a a L