高三数学试卷摸底考试卷答案发布版.pdf

1 杨浦高级中学 2014 学年度高三学科测试 数学试卷 摸底考 2014 9 考生注意 1 答卷前 考生务必在答题纸规定处写上姓名 考号 2 本试卷共有 23 道题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 一 填空题 本大题满分 56 分 本大题共有 14 题 考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果 每个空格填对得 4 分 否则一律得零分 1 已知集合 11Mx x 2 230 Nx xx 那么MN 答案 2 3 2 命题 若ab 则 22 acbc 的逆否命题是 答案 若 22 acbc 则ab 3 函数 0 1 2 lg x f xx x 的定义域是 答案 0 1 1 2 2 4 当0 x 时 9 x x 的最大值是 答案 6 5 函数 2 2 0 f xxx x 的反函数为 答案 1 11 0 fxx x 6 方程 2 33 log 10 1 logxx 的解为 答案 5 7 已知 f x是定义在R上的奇函数 当0 x 时 3 1 f xxx 则函数 f x的解析式 为 答案 3 3 1 0 1 0 xxx f x xxx 8 设 2t 或5t 22 210 R ttat 若 是 的充分非必要条件 则正实 数a的取值范围是 答案 0 1 2 9 用min a b c表示 a b c三个数中的最小值 设 min 2 2 10 x f xxx 0 x 则 函数 f x的值域为 答案 6 10 在正方体八个顶点中任取四个 能组成三棱锥的概率为 答案 29 35 11 已知定义在 9 9 上的偶函数 yf x 在 0 9 上单调递减 则关于x的不等式 3 4 fxf x 的解集为 答案 3 2 1 3 12 在直三棱柱 111 ABCABC 中 4 3ABACBC D为AB的中点 则点C到平面 11 A ABB的距离为 答案 5 13 函数 2 2yaxx 的图像上有且仅有两个点到x轴的距离为2 则实数a的取值范围是 答案 11 0 22 分析 勿易漏0a 的情况 0a 时 只需顶点的纵坐标在 2 2 之间即可 14 x表示不超过x的最大整数 也可称为x的整数部分 则方程 1 8 xxx 在 1 1 上的解集为 答案 22222 444 分析 讨论10 x 01x 1x 三种情况即可 二 选择题 本大题满分 20 分 本大题共有 4 题 每题有且只有一个正确答案 考生应在 答案纸的相应编号上 填上正确的答案 选对得 5 分 否则一律得零分 15 已知非零实数 a b满足ab 则下列不等式中成立的是 A 22 ab B 11 ab C 22 a bab D 22 ab ba 答案 D 16 设命题甲 x和y满足 12 34 x y 命题乙 46 38 xy xy 那么甲是乙的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 3 Q B O A S C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 答案 A 17 已知函数 1 2 3 0 log 0 x x f x x x 若 0 3f x 则 0 x的取值范围是 A 0 8x B 80 0 x C 0 0 x或80 0 x D 0 0 x或8 0 x 答案 C 18 已知函数 1 2 3 2014 1 2 3 f xxxxxxxx 2014 x Rx 且 2 32 1 f aaf a 则a的值有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 无数个 答案 D 分析 对于函数 f x在 1 1 x 时为常值 因此 2 1321 11 1 aa a 解得 35 2 2 a 所以a的值有无数个 三 解答题 本大题满分 74 分 本大题共 5 题 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 19 本题满分 12 分 如图 过圆锥轴的截面为等腰直角三角形SAB Q为底面圆周上一点 已知2 3BQ 圆锥体积为 8 3 点O为底面圆的圆心 设异面直线SA与BQ所成角 的大小为 求tan 的值 解 设底面圆的半径为R 则由题意得RSO 2 18 33 R R 2R 3 分 联结QO并延长交圆周于C点 图略 再联结 AC AQBC SC 4 则AOBOQOOC 所以 四边形AQBC是平行四边形 2 分 AC QB SAC 的大小为异面直线SA与BQ所成角 的大小 2 分 在SAC 中 2 2 2 3 SASCACQB 2 分 过点S作SHAC 于点H 则 22 515 tan 33 SHSAAH AHAH 3 分 20 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 设U为全集 A B是两个非空集合 定义A与B的 差集 为 AB x xAxB 且 1 试在右图中用图示法表示AB 并用集合的 交集 并集和补集的符号表示AB 2 若RU 2 4 Mx yx 2 2 x Ny y x 试求MN 答案 1 图略 3 分 U ABAB 3 分 2 2 2 M 3 分 0 8 N 3 分 2 444 24 22 x yx xx 由基本不等式求值域 0 2 MN 2 分 21 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 已知函数 2 log 424 xx f xb g xx 1 当5b 时 试判断该函数的奇偶性 2 若 f xg x 对一切2x 恒成立 求b的取值范围 U A B 5 解 1 由45 240 xx 2 分 解得 f x的定义域为 0 2 2 分 所以该函数为非奇非偶函数 2 分 本题也可通过代入具体的数值来证明非奇非偶 2 由 f xg x 得4242 xxx b 即 4 12 2 x x b 2 分 令 4 12 2 x x h x 任取 12 2xx 21 21 12 4 22 1 2 xx xx h xh x 21 12 4 224 10 2 xx xx 所以 12 h xh x h x在 2 单调递减 3 分 则 2 4h xh 1 分 当4b 时 f xg x 恒成立 2 分 22 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 6 分 国际上钻石的重量计量单位为克拉 已知某种钻石的价值V 美元 与其重量W 克拉 的平方成正比 且一颗重为 3 克拉的该种钻石的价值为 54000 美元 1 写出 关于 的函数关系式 2 若把一颗钻石切割成重量比为 1 3 的两颗钻石 求价值损失的百分率 3 把一颗钻石切割成两颗钻石 若两颗钻石的重量分别为 m 克拉和 n 克拉 试用你所学 的数学知识证明 当 m n 时 价值损失的百分率最大 注 价值损失的百分率 原有价值 现有价值原有价值 100 在切割过程中的重量损耗忽略不计 解 1 依题意设 v k 2 1 分 又当 3 时 v 54000 k 6000 1 分 故 v 6000 2 0 2 分 2 设这颗钻石的重量为 a 克拉 由 可知 按重量比为 l 3 切割后的价值为 6000 1 4 a 2 6000 3 4 a 2 6 价值损失为 6000a2一 6000 1 4 a 2 6000 3 4 a 2 价值损失的百分率为 222 2 13 6000 6000 6000 44 0 37537 5 6000 aaa a 5 分 答 价值损失的百分率为 37 5 1 分 3 证明 价值损失的百分率应为 2 222 222 2 6000 60006000 21 2 6000 2 mn mnmnmn mnmnmn 2 分 等号当且仅当 m n 时成立 2 分 即把一颗钻石切割成两颗钻石 当两颗钻石的重量相等时 价值损失的百分率达到最大 2 分 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 8 分 已知二次函数 2 f xaxbxc 0a 1 当1ac Zb 时 关于x的二次方程 2f x 在区间 1 3 2 内有两个不相等的实 数根 求函数 f x的解析式 2 在 1 的条件下 若 1 xt 1t 时 总有 4 4f xx 成立 求t的最大值 3 若关于x的方程 f xx 没有实数根 试判断关于x的方程 f f xx 是否有实数根 并证明你的结论 解 1 由已知 2 2 0 1 3 22 3 310 11 10 22 b b b 解得 38 Z 23 bb 2 分 所以2b 2 21f xxx 2 分 7 2 由 4 4f xx 知 2 1090 xx 解得19x 4 分 因为 1 xt 1t 总有不等式恒成立 所以t的最大值为9 2 分 3 没有实数根 2 分 2 1 0f xxaxbxc 无实数根 2 1 40bac 0f f xx 1 分 222 0a axbxcb axbxccx 222 1 1 1 0axbxc a xa bxbac 2 分 于是 2 1 0axbxc 或 22 1 10a xa bxbac 2 1 1 40bac 1 分 222222 2 1 4 1 1 44 40a ba acbabaca 2 分 故均不存在实数根 方法二 若0a 则 f xx 恒成立 若存在x f xx 则 f xx 必有实根 2 分 于是 f f xf xx 2 分 若0a 则 f xx 2 分 于是 f f xf xx 所以 f f xx 没有实数根 2 分 8 杨浦高级杨浦高级中学中学 2014 学年度高三学科测试学年度高三学科测试 数学 数学 双向细目表双向细目表 2014 9 认知水平认知水平 知识点知识点 题号题号 题型题型 记忆水平记忆水平 解释性理解解释性理解 探究性理解探究性理解 分值分值 合计合计 得分得分 率率 大大 小小 知道知道 理解理解 掌握掌握 集合与命题 不等式 集合的运算 解 绝对值不等式 一 元二次不等式 一 1 填空题 4 4 集合与命题 四种命题形式 一 2 填空题 4 4 函数及其基本性质 函数的定义域 一 3 填空题 4 4 不等式 基本不等式 一 4 填空题 4 4 反函数 求反函数 一 5 填空题 4 4 幂 指 对函数 对数方程 一 6 填空题 4 4 函数及其基本性质 奇偶性 一 7 填空题 4 4 集合与命题 不等式 子集与推出关 系 含参不等式 一 8 填空题 4 4 函数及其基本性质 学习型题 函数 的值域 一 9 填空题 4 4 概率 对立事件 一 10 填空题 4 4 函数及其基本性质 奇偶性 单调性 一 11 填空题 4 4 简单几何体 一 12 填空题 4 4 9 直三棱柱模型 点面距离 线面垂 直 函数及其基本性质 二次函数的图像 与性质 一 13 填空题 4 4 函数及其基本性质 绝对值函数的性 质 学习型问题 一 14 填空题 4 4 不等式 不等式的性质 二 15 选择题 5 5 命题 不等式 充要条件 不等 式的性质 二 16 选择题 5 5 函数及其基本性质 解指对不等式 分段函数 二 17 选择题 5 5 不等式 函数及其基本性质 绝对值函数的性 质 奇偶性 解 一元二次不等式 组 二 18 选择题 5 5 简单几何体 圆锥的性质 圆 锥的体积 异面直 线所成的角 三 19 解答题 12 12 集合 函数及其基本性质 集合的运算 学 习型题 函数的值 域 三 20 解答题 6 8 14 函数及其基本性质 奇偶性 恒成立 问题 函数单调性 的证明 求函数的 三 21 解答题 6