高三数学立体几何题库2.doc

21.（07广东）（文）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S.解 由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形.（1）几何体的体积为V=矩形h=684=64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1=左、右侧面的底边上的高为：h2=故几何体的侧面面积为：S=2（22.（06上海）（理）在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB=60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60.（1）求四棱锥P-ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.（文）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC=90，AB=BC=1.（1）求异面直线B1C1与AC所成角的大小；（2）若直线A1C与平面ABC所成的角为45，求三棱锥A1-ABC的体积.解 （理）（1）由于底面为菱形，边长为2，且BAD=60，从而得SABCD=222sin60=2.显然PO为四棱锥P-ABCD的高.又由于PO垂直于底面ABCD，得PB与平面ABCD所成的角是PBO.ABD为正三角形，在PBO中，BO=BD=AB=1，POB=90，PBO=60，PO=BOtan60=.从而得VP-ABCD=SABCDPO=2=2.（2）令AB的中点为F，连结EF，DF.由于E为PB的中点，所以EFPA.因此，异面直线DE与PA所成的角等于直线EF与DE的夹角.在POA中，POA=90，AO=2=，PO=，得PA=，则EF=由于ABD为正三角形，得DF=AD=由于PBD中，BD=PB，PBD=60，得PBD为正三角形，且由于E为PB的中点，得DE=BD=.故在DEF中，EF=，DE=DF=得cosDEF=从而得DEF=arccos所以异面直线DE与PA所成的角等于arccos（文）（1）BCB1C1，ACB为异面直线B1C1与AC所成的角（或它的补角）.ABC=90，AB=BC=1，ACB=45，异面直线B1C1与AC所成的角为45.（2）由于三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，则可得直线A1C在平面ABC内的射影为AC，从而直线A1C与平面ABC所成的角为A1CA.在A1AC中，A1AC=90，ACA1=45A1A=AC=AB=.由于AA1垂直于平面ABC，容易得到VA-ABC=ABCAA1=23.（06四川）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a. （1）求证：MN面ADD1A1；（2）求二面角PAED的大小；（3）（只理科做）求三棱锥P-DEN的体积. 方法一（1）证明 取CD的中点K，连结MK、NK.M、N、K分别为AE、CD1、CD的中点，MKAD，NKDD1.MK面ADD1A1，NK面ADD1A1.面MNK面ADD1A1.MN面ADD1A1.（2）解 设F为AD的中点，P为A1D1的中点，PFD1D.PF面ABCD.作FHAE，交AE于H，连结PH，则由三垂线定理得AEPH.从而PHF为二面角PAED的平面角.在RtAEF中，AF=在RtPFH中，tanPHF=，故二面角P-AE-D的大小是arctan（3）（只理科做）SNEP=S =BCCD1=a=a2.作DQCD1，交CD1于Q，由A1D1面CDD1C1，得A1D1DQ，DQ面BCD1A1.在RtCDD1中，DQ=VP-DEN=VD-NEP=SNEPDQ=方法二 以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A（a，0，0），B（a，2a，0），C（0，2a，0），A1（a，0，a），D1（0，0，a）.E、P、M、N分别是BC、A1D1、AE、CD1的中点，E(2a，0),P(,0，a)，M(，a，0)，N(0，a，）.（1）=(-0，)取n=（0，1，0），显然n面ADD1A1. n=0n,又MN面ADD1A1，MN面ADD1A1.(2)过P作PHAE，交AE于H，取AD的中点F，则F（设H（x,y,0）,则又由，及H在直线AE上，可得解得x=即与所夹的角等于二面角P-AE-D的大小.cos，=故二面角P-AE-D的大小等于arccos（3）（只理科做）设n1=（x1,y1,z1）为平面DEN的法向量，则n1 n1，又=（0，a,即可取n1=(4,-1,2). P点到平面DEN的距离为d=cos=sin=SDEN= sin=VP-DEN=DENd=24.（05北京春）（文）如图，正三棱锥S-ABC中，底面边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点，求（1）的值；（2）二面角S-BC-A的大小；（3）正三棱锥S-ABC的体积.解 （1）SB=SC，AB=AC，M为BC的中点，SMBC，AMBC.由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即得（2）作正三棱锥的高SG，则G为正三角形ABC的中心，G在AM上，GM=SMBC，AMBC，SMA是二面角S-BC-A的平面角.在RtSGM中，SM=SMA=SMG=60，即二面角S-BC-A的大小为60.（3）ABC的边长是3，AM=60=VS-ABC=SABCSG=25.(04上海)如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱PA、PB、PC上的点，截面DEF底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）（1）证明：P-ABC为正四面体；（2）若PD=求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）（理）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.（文）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明，若不存在，请说明理由.（1）证明 棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等，DE+EF+FD=PD+PE+PF.又截面DEF底面ABC，DE=EF=FD=PD=PE=PF，DPE=EPF=FPD=60，P-ABC是正四面体.（2）解 取BC的中点M，连结PM，DM，AM.BCPM，BCAM，BC平面PAM，BCDM，则DMA为二面角D-BC-A的平面角，由（1）知，P-ABC的各棱长均为1，PM=AM=由D是PA的中点，得sinDMA=DMA=arcsin（3）（理）解 存在满足条件的平行六面体，且存在满足条件的直平行六面体.棱台DEF-ABC的棱长和为定值6，体积为V，设直平行六面体的棱长均为底面相邻两边夹角为,则该六面体棱长和为6，体积为正四面体P-ABC的体积是0V08V1.可知=arcsin(8V),故构造棱长均为底面相邻两边夹角为arcsin(8V)的直平行六面体即满足要求.（文）存在满足条件的直平行六面体，解析同上.第二部分 三年联考题汇编2009年各地模拟题将另行补加2008年联考题一、选择题1.（山东省潍坊、菏泽、枣庄，2月）三棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16，则该三棱锥的高的最大值为 （ ） A.7B.7.5C.8 D.9答案 C2.（08石家庄第二次教学质检）将正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD与BC所成的角为 （ ） A.B.C.D.答案 C3. （广东佛山，5月）已知一个实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为3的圆，将6个这样的几何体熔成一个实心正方体，则该正方体的表面积为 （ ）A.B.C.D. 答案 A二、填空题4.（08唐山教学质检）已知正六棱锥的底面边长为1，体积为则其侧棱与底面所成的角等于 .答案 605. （08南昌调研测试）正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 .答案 6.（08安徽“江南十校”素质测试）在三棱锥P-ABC中，给出下列四个命题：如果PABC，PBAC，那么点P在平面ABC内的射影是ABC的垂心；如果点P到ABC的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面ABC内的射影是ABC的内心；如果棱PA和BC所成的角为60，PA=BC=2，E、F分别是棱PB、AC的中点，那么EF=1；如果三棱锥P-ABC的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于其中正确命题的序号是 .答案 7. (08东北三校第一次联考)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为A1B1的中点，则下列五个命题：点E到平面ABC1D1的距离为直线BC与平面ABC1D1所成的角等于45空间四边形ABCD1在正方体六个面形成六个射影，其面积的最小值是AE与DC1所成的角为arccos二面角A-BD1-C的大小为其中真命题是 .（写出所有真命题的序号）答案 8.(08江西九所重点中学联考)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段A1B上，则|AP|+|D1P|的最小值为 .答案 三、解答题9.（安徽合肥，5月）如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1=2，底面ABCD是菱形，AB=2，ABC=60P为侧棱BB1上的动点.（1） 求证：D1PAC；（2） 当二面角D1-AC-P的大小为120时，求BP的长；（3） 在（2）的条件下，求三棱锥P-ACD1的体积.方法一（几何法）（1）证明 连结BD交AC于点O，则ACBD.D1D底面ABCD，ACD1D，AC平面BB1D1DD1P平面BB1D1D，D1PAC.（2）解 连结D1O、OP，D1A=D1C，D1OAC，同理POAC，D1OP是二面角D1-AC-P的平面角，D1OP=120，设BP=x（0x2）,AB=2，ABC=60，则BO=DO=PO=D1O=在RtD1B1P中，D1P=在D1OP中，由余弦定理D1P2=D1O2+PO2-2D1OPOcos120得12+（2-x）2=7+3+x2+2即6-4x=整理得3x2-16x+5=0,解得x=或x=5(舍去).BP=（3）解 BP=PO=S=120=AC平面OPD1，VP-ACD=VP-OCD+VP-OAD=VC-OPD+VA-OPD=OPDAC=2=方法二（向量法）设上、下底面菱形对角线交点分别为O1、O，则ACBD，OO1平面ABCD.如图，以OD、OC、OO1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.（1）证明 A（0，-1，0），C（0，1，0），D1（设P（-0x2）,则即D1PAC，（2）解 就是二面角D1-AC-P的平面角，cosD1OP=解得x=或x=5（舍去），BP=(3)同方法一.20062007年联考题一、选择题1.（07安徽“江南十校”素质测试）（理）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方形ABCD内运动，则MN中点P的轨迹的面积是 （ ） A.4B. C.2 D.答案 D2.（2007山东烟台）三棱台ABC-A1B1C1中，ABA1B1=12，则三棱锥A1-ABC，B-A1B1C，C-A1B1C1的体积之比为 （ ）A.111B.112 C.124D.144答案 C3.（07东北三校第一次联考）正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面所成角为60，过底面一边作一截面使其与底面成30的二面角，则此截面的面积为 （ ）A.B. C.D.答案 D4.（2007山东济南）圆台上、下底面面积分别是，4，侧面积是6，这个圆台的体积是 （ ）A. B. C. D.答案 D5.(07西安八校联考)（文）如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，高为4，过底面的一边AB作一截面交侧棱CC1于P点，且截面与底面成60角，则截面PAB的面积是 （ ） A. B.C.2 D.3答案 C6.（06安徽“江南十校”素质测试）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC边的中点，沿AE将ADE折起，使二面角D-AE-B为60，则四棱锥D-ABCE的体积为 （ ） A.B.C.D.答案 B二、填空题7.（07武汉2月调研）正四棱锥S-ABCD内接于一个半径为R的球，那么这个正四棱锥体积的最大值为 .答案 8.（07西安第一次质检）如图所示，啤酒瓶子的高为h，瓶内啤酒面的高度为a，在盖子盖好的情况下将酒瓶倒置时瓶内酒面高度为b，则啤酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为 .答案 1+9.（2007广东梅州）一个底面边长为2 cm，高为cm的正三棱锥，其顶点位于球心，底面三个顶点位于球面上，则该球的体积为 cm3.答案 410.（07西安八校联考）（理）正三棱锥S-ABC内接于球O，且球心O在平面ABC上.若正三棱锥S-ABC的底面边长为a,则该三棱锥的体积是 .答案 11.（06山东部分重点中学模考）若RtABC中的两直角边为a、b,斜边c上的高为h,则如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC，PO为棱锥的高，记M=那么M、N的大小关系是 .答案 M=N三、解答题12.（2007广东广州）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2，E是棱CC1上的点，且CE=（1）求三棱锥C-BED的体积；（2）求证：A1C平面BDE.（1）解 由CE=VC-BDE=VE-BCD=BCDCE=11（2）证明 方法一 连结AC、B1CAB=BC，BDAC.A1A底面ABCD，BDA1A.A1AAC=A，BD平面A1AC.BDA1CtanBB1C=CBE=BB1C=CBE.BB1C+BCB1=90，CBE+BCB1=90.BEB1CBEA1B1，A1B1B1C=B1，BE平面A1B1C.BEA1C.BDBE=B，BE平面BDE，BD平面BDE，A1C平面BDE.方法二 以点A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（0，1，0）、E（1，1，、A1（0，0，2）、C（1，1，0）.=10+11+（-2） BEBD=B，BE平面BDE，BD平面BDE，A1C平面BDE.第三部分 创新预测题精选一、选择题1.微型机器蚂蚁在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面BCC1B1上爬行，并且与点A的距离为则该只蚂蚁爬行轨迹的长度为 ( ) A. B. C. D.答案 B2.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是 （ ） A.8 B.7 C.6 D.5答案 C二、填空题3.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是 .答案 4.正三棱锥P-ABC外接球的球心为O，半径为1，且=0则VP-ABC= .答案 5.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PAAB，PAAD，且体积为则其全面积为 .答案 2+6.一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，则这个三棱锥的体积为 .（写出一个可能的值即可）答案 （其中之一）7.在三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G在AC上，且AG=2GC，则截面EFG分三棱锥A-BCD所成的上下两部分的体积比是 .答案 158.在平面上有结论“正三角形内部任一点到三边距离之和等于定值”，此结论在空间上的类比命题是 .答案 正四面体内部任一点到四个面的距离之和等于定值9.若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为 “黄金圆锥”.已知某黄金圆锥的侧面积为S，则这个圆锥的高为 .答案 三、解答题10.如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1C1C是面积为的菱形，ACC1为锐角，侧面ABB1A1侧面AA1C1C，且A1B=AB=AC=1.(1)求证：AA1BC1；(2)求三棱锥A1-ABC的体积.（1）证明 因为四边形AA1C1C是菱形，所以有AA1=A1C1=C1C=CA=1.从而知AA1B是等边三角形.设D是AA1的中点、连结BD，C1D，则BDAA1，由S菱形AACC=知C1到AA1的距离为AA1C1=60，所以AA1C1是等边三角形，且C1DAA1，所以AA1平面BC1D.又BC1平面BC1D，故AA1BC1.（2）解 由（1）知BDAA1，又侧面ABB1A1侧面AA1C1C，所以BD平面AA1C1C，即B到平面AA1C1C 的距离为BD.又SAAC=菱形=，BD=所以VA-ABC=VB-AAC=AACBD=故三棱锥A1-ABC的体积为11.如图所示，在边长为12的正方形中，点B、C在线段AA上，且AB=3，BC=4，作BB1AA1，分别交A1A1、AA1于点B1、P，作CC1AA1，分别交A1A1、A