数学人教版九年级上册一元一次方程的根与系数的关系.doc

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系南宁市仙葫学校 陈小波一、教学内容解析虽然课标（2011年版）规定本节为选学内容，但从一元二次方程理论的完整性、初高中衔接角度考虑，本节课是需要进行教学的。一元二次方程根与系数的关系是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引进的。它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。解决计算和证明有关两数和、两数积的有关问题时，常常要用到它，在高中代数、三角、解析几何中，它也有广泛的应用。一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空、选择、解答题的形式出现，考查的频率较高。也常与几何、二次函数等问题结合考察，是考试的热点。基于以上分析，我确定本节课的教学重点是：一元二次方程根与系数的关系。2、 教学目标1、 知识与技能目标：熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。2、过程与方法目标：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。3、情感态度目标：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。三、学生学情分析针对九年级的学生从认知状况来说，学生在此之前已经学习了一元二次方程的解法和根的判别式的内容，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于一元二次方程的根的理解与应用，仍然是部分学生所存在的困惑，所以在教学过程中通过让学生自主探究，解决问题，能够使学生更加深入地理解一元二次方程根与系数的关系。从认识能力角度看，学生具备了一定的分析问题和解决问题的能力，对已有知识具备直接运用的能力，但由于年龄、心理特点，刚上九年级的学生在数学思维上尚不够成熟，归纳能力也尚不足，缺乏冷静，深刻，因而不够严谨，缺乏全面分析问题的能力。如一元二次方程根与系数的关系的推导和归纳，都是学生比较难处理的问题，对学生的数学素养、学习能力要求较高。基于以上分析，我把握了本节课教学难点是：对根与的系数的关系的理解和推导。4、 教学策略分析在构思这节课时，感到教材中所提供的方法固然能更加直接地引出根与系数的关系。但忽略了定理最初形成的过程。因此我根据前面所学内容，让学生先填写一个有关两根之和、两根之积、a与b之间的关系、a与c之间的关系的表格，引导学生观察并猜想根与系数的关系，并推及到韦达定理的出现与证明，加入对数学家韦达的介绍，激发学生的爱科学，用科学的情感，提高学生对学习的兴趣。然后讲例题做练习巩固，最后，再由学生自主小结，谈体会，给整节课画上圆满的句号。5、 教学过程（一）复习回顾1.一元二次方程的一般形式是什么？2.一元二次方程的求根公式是什么？设计意图：复习一元二次方程的一般形式及求根公式，使学生进一步明确求根公式是方程的根与系数之间的一种关系，并为本节课根与系数的关系的推导作准备。（二）自主探究1、填写下表：方程两个根两根之和两根之积a与b之间关系a与c之间关系 猜想：如果一元二次方程 的两个根分别是 、 ，那么2、 验证:3、 归纳总结：如果一元二次方程 的两个根分别是 、 ，那么这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.设计意图：通过观察、猜想、验证、归纳，让学生经历从特殊到一般的探究过程，明确一元二次方程的根与系数的关系。4、介绍韦达其人轶事，激发学生爱科学的情感.5、在使用根与系数的关系时，应注意：（1）不是一般式的要先化成一般式；（2） 在使用 时， 注意“ ”不要漏写。设计意图：介绍韦达其人轶事，激发学生爱科学的情感. 强调应用根与系数的关系时易错的地方。（三）、运用新知，巩固拓展例1、（根与系数的关系的直接应用）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？设计意图：加强对一元二次方程的根与系数的关系，并进一步熟悉根与系数关系的应用。例2、已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 练习1、已知方程3x21x+k=0的一个根是1，求它的另一个根及k的值。设计意图：已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系求另一个根及系数，进一步巩固对根与系数的关系的认识。练习、（根与系数的关系的间接应用）设 x1 、 x2是方程 利用 根与系数的 关系，求下列各式的值 设计意图：求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.（四）、梳理小结，提高升华1.一元二次方程根与系数的关系是什么?2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式. 3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当 时，才能应用根与系数的关系.设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心一元二次方程的根与系数关系，并体验教学活动充满着探索性与创造性。5、 作业巩固1、 设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值.2、 利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（1）平方和；（2）倒数和3、 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值. 4、方程 的两根互为倒数，求k的值.5、（选作题）（2013荆州）已知：关于x的方程 kx2(3k1)x+2(k1)=0（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1