数学人教版八年级上册最短路径教学设计.doc

13.4 课题学习 最短路径问题（第一课时）广州市天河外国语学校 王洁凌【内容选材】 人民教育出版社实验教科书八年级上册第十三章13.4【课时安排】 2个课时【教学对象】八年级学生【学情分析】本课属于13.4 课题学习 最短路径问题的第一课时，在学习本课之前学生已经学习过如何作轴对称图形，并且对尺规作图有良好掌握.学生整体水平较好，能够自学课本，通过作图完成课本提出两个基本问题，但是学生对于选址造桥问题的证明方法以及这两个最短路径的解决思路的来源并不清楚，知识运用上还没有达到熟练迁移的程度，而这也是本课时需要解决的问题.【教学目标】 知识与技能（1）利用轴对称变换或平移变换解决最短路径问题；（2）证明所求的距离即为最短路径. 过程与方法（1）把现实问题抽象为数学的线段和最值问题，通过逻辑推理证明所求距离最短；（2）体会图形变换在问解决最值问题中的作用，感悟化归思想方法. 情感态度价值观体会数学源于实际，高于实际，运用于实际的科学价值与文化价值.【教学重点】利用轴对称或者平移变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题【教学难点】1.合理分析问题条件，选择合适的变换将问题转化并解决 2.证明所求距离最短【教学策略】先根据导学案预习，预习分为三个部分，看书（找知识点，找问题），基础知识训练，综合运用. 针对以上的重难点分析，本节课的例题讲解教给学生完成，三道例题的讲解按照“讲作法讲证明讲思路”来进行.掌握变形与基础模型的转化之后，练习题的讲解则按照“讲思路讲作法讲证明”进行.画图的作法，在中考当中一般是不做要求的，但是对辅助线的构造却十分重要，将作法说明放在平时的训练当中，提高学生对图形构造的理解；证明与思路的讲解，是关键也是难点，仅知道作法是不够的，理解作图方法仅仅是达到了模仿的水平，遇到了比较困难的题目学生就无法将所学知识进行有效迁移，因此，知其然更加应该知其所以然，需要学生通过讨论交流，共同将证明与思路叙述清楚.【导学案设计】最短路径问题的导学案设计共有四页，分为两个课时，第一课时让学生弄懂基础最短路径问题的作法，证明以及思路；第二课时为课后练习，用于第二课时的巩固复习所用.本课时为第一课时，三道例题与练习之间的关系如下图.【教学过程设计】教学环节教 学 内 容教师活动学生活动设 计意 图问题引入【开卷有益】阅读课本P85-P87，完成以下问题.1.如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的小溪l饮马，然后小溪对岸的B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？为什么？作法：连结AB交直线l于点P 点P即为所求证明：在直线l上任取P异于点P 在APP中，AP+BPAB=AP+PB初步归纳本题最短路径问题的特点是？1. 动点P在线段AB上（两点之间，线段最短）2. 动点P在直线l上两个条件都必须符合，因此,最终点P的位置的唯一的.引导学生讲作法，讲证明，讲思路.本题为最短路径问题当中的基本模型，引导学生分析此题目的特点，归纳此类问题的特征.学生讲做法，证明之后，用几何画板展示作法和证明过程，进一步规范表述.学生对此题作法完全熟悉，能够自主讲作法，讲证明，讲思路.本题的理由说明，只说两点之间线段最短是可以的，因为AB之间有直线l上的点分析此题目的特点，归纳此类问题的特征. 此题作为最短路径问题的基础模型，本课学习的所有问题都能够通过还原成为此模型进行解决.问题变形一2.如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的小溪l饮马，然后返回到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？请证明.作法：作B关于直线l对称点B 连结AB交直线l于P 则点P为所求证明： 在直线l上任取P异于点P 由作法中可知， l垂直平分BB,PB=PB,PB=PB AP+PB=AP+PB, AP+PB=AP+PB在APB中， AP+BPAB=AP+PB小结怎么想到运用轴对称变换的？本题的两个定点存在于定直线的同侧，没有办法直接运用“两点之间，线段最短”，因此，作轴对称变换引导学生讲作法，讲证明，讲思路. 学生讲做法，证明之后，用几何画板展示作法和证明过程，进一步规范表述.学生讲作法，讲证明，讲思路.与第1题不同的是，此题不能单纯以“两点之间线段最短”来简单说明，因为线段AB上并没有符合条件的点，必须通过另取一点，以比较的方法进行证明，为后面的造桥问题的最短路径证明作出铺垫.问题变形二3. 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？ 请说明理由.作法： 1.把点A沿MN方向平移MN长度至A 2.连结AB交直线b于点N 3.把MN沿NN方向平移至MN 在MN处建桥即可证明： 由作法可知，AM平移至AN处，AM平移至AN处 AM+MN+NB=AN+MN+NB AM+MN+MB=AM+MN+NB 在ANB中，AN+NBAN+NB 故AM+MN+NBAM+MN+MB小结怎么想到运用平移变换的？与基础模型相比本题的“定直线”变成了“有宽度的河流”，因此，需要将“有宽度的河流”转变成“没有宽度的直线”，需要借助平移变换.本题的作法和证明过程均为重难点.配合几何画板的作图展示，将作法与证明，由学生口述，教师在黑板上进行详细板书.完成证明之后，通过折纸，几何画板平移的展示，进一步引导学生思考，是怎么样想到这个作法的.学生讲作法，讲证明，讲思路.选址造桥问题，学生通过阅读课本基本上都能够找出位置.此题设计对学生做出更高的要求，首先是规范作法，学生口述，教师板书，讲作法明确. 给出具体的证明方法，能够作出图形仅仅是模仿，此问题需要通过明确证明，思考到底为什么要平移，平移在证明过程当中有何作用.归纳总结总结梳理，归纳以三道题之间的关系，三道题的条件有何不同，具体是通过转化将所有变形问题转化为基础模型.1.基本模型特征有两个顶点，一条定直线，确定一个动点位置；2.变形一两个定点在同侧，因此需要通过轴对称变换还原成基本模型；3.变形二相当于定直线有了“宽度”需要通过平移变换还原成基本模型.根据学生的归纳进一步梳理三个模型之间的关系，板书整理.思考，分析，分享三个模型之间的关系.整理三个模型的不同点，如何将两个变形转化为基础模型。最短路径问题的三个模型的讲解到此完成，整理三个模型的不同点，如何将两个变形转化为基础模型，为完成变式练习作好准备.学以致用4.牧马人先从A地出发，先到草地某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径，并给出证明.小结本题是如何想到做轴对称的？此题点AB在同侧，与变式一特点对应，因此运用轴对称变换. 并且要满足在两条直线上找到两个动点，因此要作两次轴对称变换.针对以上的讲解和分析，引导学生讲解练习4,5思路，讲作法，讲证明.小组讨论练习4,5.请同学讲思路，讲作法，讲证明.此部分练习需要由学生先由条件特征判断如何转化为基础模型，再进行解答.第4题与变形一相似，不同之处在于需要进行两次轴对称变换.巩固提升5.如图所示，点A,点B为直线l外的固定点，线段EF=0.5cm在直线l上移动，假设移动时EF长度不变，当EF平移至何处时，四边形的AEFB的周长最小？请画出此时EF所在位置.引导学生讲思