数学人教版八年级上册最短路径问题课件.pptx

林乾华汕头市鮀济中学 最短路径问题 引言 前面我们研究过一些关于1 两点的所有连线中 线段最短 两点之间 线段最短 2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段最短 等的问题我们称它们为最短路径问题 现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题 本节将利用数学知识探究数学史中著名的 将军饮马问题 问题1相传 古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者 名叫海伦 有一天 一位将军专程拜访海伦 求教一个百思不得其解的问题 从图中的A地出发 到一条笔直的河边l饮马 然后到B地 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短 探索新知 如图所示 从A地到B地有三条路可供选择 你会选走哪条路最近 你的理由是什么 两点之间 线段最短 两点在一条直线异侧 已知 如图 A B在直线L的侧 在L上求一点P 使得PA PB最小 A P 思考 为什么这样就能得到最短距离呢 根据 两点之间线段最短 如图 要在燃气管道L上修建一个泵站 分别向A B两镇供气 泵站修在管道的什么地方 可使所用的输气管线最短 P 所以泵站建在点P可使输气管线最短 问题1相传 古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者 名叫海伦 有一天 一位将军专程拜访海伦 求教一个百思不得其解的问题 从图中的A地出发 到一条笔直的河边l饮马 然后到B地 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短 探索新知 精通数学 物理学的海伦稍加思索 利用轴对称的知识回答了这个问题 这个问题后来被称为 将军饮马问题 你能将这个问题抽象为数学问题吗 探索新知 这是一个实际问题 你打算首先做什么 小组讨论 举手发言 将A B两地抽象为两个点 将河l抽象为一条直线 小组合作 1 从A地出发 到河边l饮马 然后到B地 2 在河边饮马的地点有无穷多处 把这些地点与A B连接起来的两条线段的长度之和 就是从A地到饮马地点 再回到B地的路程之和 小组合作 你能用自己的语言说明这个问题的意思 并把它抽象为数学问题吗 对于问题2 如何将点B 移 到l的另一侧B 处 满足直线l上的任意一点C 都保持CB与CB 的长度相等 小组探讨 问题2如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 你能利用轴对称的有关知识 找到上问中符合条件的点B 吗 小组探讨 问题2如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 作法 1 作点B关于直线l的对称点B 2 连接AB 与直线l相交于点C 则点C即为所求 问题2如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 两点在一条直线同侧 小组合作 问题3你能用所学的知识证明AC BC最短吗 证明 如图 在直线l上任取一点C 与点C不重合 连接AC BC B C 由轴对称的性质知 BC B C BC B C AC BC AC B C AB AC BC AC B C 问题3你能用所学的知识证明AC BC最短吗 在 AB C 中 AB AC B C AC BC AC BC 即AC BC最短 三角形任意两边之和大于第三边 若直线l上任意一点 与点C不重合 与A B两点的距离和都大于AC BC 就说明AC BC最小 探索新知 追问1证明AC BC最短时 为什么要在直线l上任取一点C 与点C不重合 证明AC BC AC BC 这里的 C 的作用是什么 探索新知 追问2回顾前面的探究过程 我们是通过怎样的过程 借助什么解决问题的 B 点P的位置即为所求 作法 作点B关于直线l的对称点B 连接AB 交直线l于点P 两点在一条直线同侧 已知 如图 A B在直线L的同一侧 在L上求一点 使得PA PB最小 为什么这样做就能得到最短距离呢 MA MB PA PB 即MA MB PA PB 三角形任意两边之和大于第三边 运用新知 练习如图 一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客 然后将游客送往河岸BC上 再返回P处 请画出旅游船的最短路径 运用新知 基本思路 由于两点之间线段最短 所以首先可连接PQ 线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路 将河岸抽象为一条直线BC 这样问题就转化为 点P Q在直线BC的同侧 如何在BC上找到一点R 使PR与QR的和最小 一点在两相交直线内部 已知 如图A是锐角 MON内部任意一点 在 MON的两边OM ON上各取一点B C 组成三角形 使三角形周长最小 B C D E 分析 当AB BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时 三角形的周长最小 2 如图 C为马厩 D为帐篷 牧马人某一天要从马厩牵出马 先到草地边某一处牧马 再到河边饮马 然后回到帐篷 请你帮他确定这一天的