数学人教版九年级上册二次函数图像及性质.ppt

二次函数复习 一 概念 形如y ax2 bx c a b c是常数 a 0 的函数叫做二次函数 其中二次项为ax2 一次项为bx 常数项c 二次项的系数为a 一次项的系数为b 常数项c 1 下列函数中 哪些是二次函数 1 y 3x 1 2 y 3x2 3 y 3x3 2x2 4 y 2x2 2x 1 5 y x 2 x 6 y x2 x 1 x 二次函数图象及画法 顶点坐标 与X轴的交点坐标 与Y轴的交点坐标及它关于对称轴的对称点 x1 0 x2 0 0 c c x1 x2 O x y c c 二 平移 配方 向左 向右 平移 m 个单位 向上 向下 平移 k 个单位 通过配方 1 将函数y x2 4x 5转化成y a x m 2 k的形式 2 将函数y 2x2 4x 5转化成y a x m 2 k的形式 1 由y 2x2的图象向左平移两个单位 再向下平移三个单位 得到的图象的函数解析式为 2 由函数y 3 x 1 2 2的图象向右平移4个单位 再向上平移3个单位 得到的图象的函数解析式为 y 2 x 2 2 3 2x2 8x 5 y 3 x 1 4 2 2 3 3x2 30 x 70 3 抛物线y ax2向左平移一个单位 再向下平移8个单位且y ax2过点 1 2 则平移后的解析式为 y 2 x 1 2 8 4 将抛物线y x2 6x 4如何移动才能得到y x2 逆向思考 由y x2 6x 4 x 3 2 5知 先向左平移3个单位 再向上平移5个单位 三 开口方向 对称轴 顶点坐标 1 开口方向看a的值 2 求对称轴 直线x m 直线x 3 求顶点坐标 m k 1 y x2 2 y x 1 2 3 y x 1 2 3 4 y 2 x 1 2 3 5 y 2x2 3 6 y 3x2 6x 5 1 求下列函数的顶点坐标 7 y 2x2 4x 5 2 已知二次函数y x2 bx c的顶点坐标 1 2 求b c的值 3 已知二次函数y x2 4x c的顶点坐标在x轴上 求c的值 4 已知二次函数y x2 4x c的顶点坐标在直线y 2x 1上 求c的值 求下列函数的最大值 或最小值 和对应的自变量的值 y 2x2 8x 1 y 3x2 5x 1 四 如何求二次函数的最值 当x m时y最小 大 k 3 y 2 x 1 2 3 4 y 2x2 3 2 已知二次函数y x2 4x c有最小值为2 求c的值 3 已知二次函数y 2x2 bx c 当x 2时函数有最大值为2 求b c的值 五 函数的增减性 2 已知抛物线顶点坐标 m k 通常设抛物线解析式为 3 已知抛物线与x轴的两个交点 x1 0 x2 0 通常设解析式为 1 已知抛物线上的三点 通常设解析式为 y ax2 bx c a 0 y a x m 2 k a 0 y a x x1 x x2 a 0 六 求抛物线解析式常用的三种方法 一般式 顶点式 交点式或两根式 1 已知一个二次函数的图象经过点 0 0 1 3 2 8 求下列条件下的二次函数的解析式 3 已知二次函数的图象的对称轴是直线x 3 并且经过点 6 0 和 2 12 2 已知二次函数的图象的顶点坐标为 2 3 且图象过点 3 2 七 判别a b c b2 4ac 2a b a b c的符号 1 a的符号 由抛物线的开口方向确定 开口向上 a 0 开口向下 a 0 2 C的符号 由抛物线与y轴的交点位置确定 交点在x轴上方 c 0 交点在x轴下方 c 0 经过坐标原点 c 0 3 b的符号 由对称轴的位置确定 对称轴在y轴左侧 a b同号 对称轴在y轴右侧 a b异号 对称轴是y轴 b 0 4 b2 4ac的符号 由抛物线与x轴的交点个数确定 与x轴有两个交点 b2 4ac 0 与x轴有一个交点 b2 4ac 0 与x轴无交点 b2 4ac 0 练一练 已知y ax2 bx c的图象如图所示 a 0 b 0 c 0 abc 0b 2a 2a b 0 2a b 0b2 4ac 0a b c 0 a b c 04a 2b c 0 0 1 1 2 填空 1 抛物线y x2 3x 2与y轴的交点坐标是 与x轴的交点坐标是 2 抛物线y 2x2 5x 3与y轴的交点坐标是 与x轴的交点坐标是 0 2 1 0 和 2 0 0 3 1 0 和 1 5 0 八 如何求二次函数图象与坐标轴的交点 3 坐标轴三个交点围成的三角形面积是 3 75 九 如何求当x为何值时 y 0 y 0 y 0 0 当x x1或x x2时 y 0 当xx2时 y 0 当x10 x1 x2 当x x1或x x2时 y 0 当xx2时 y 0 当x1 x x2时 y 0 2 已知二次函数y x2 4x 5 求当x为何值时 y 0 y 0 y 0 1 如图求当x为何值时 y 0 y 0 y 0 十 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴交点有三种情况 有两个交点 有一个交点 没有交点 当二次函数y ax2 bx c的图象和x轴有交点时 交点的横坐标就是当y 0时自变量x的值 即一元二次方程ax2 bx c 0的根 有两个交点 有两个相异的实数根 b2 4ac 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2 4ac 0 没有交点 没有实数根 b2 4ac 0 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 1 根据下列表格的对应值 判断方程ax2 bx c 0 a 0 a b c为常数 一个解的范围是 3 x 3 23 3 23 x 3 24 3 24 x 3 25 3 25 x 3 26 例题分析 例1 已知一抛物线的顶点坐标为 1 2 且过点 1 2 求该抛物线的解析式 例2 已知抛物线 1 将函数化为的形式 2 说出该函数图象可由抛物线如何平移得到 3 说出该函数的对称轴 顶点坐标 最值情况 例2 已知二次函数 1 当k为何值时 函数图象经过原点 2 当k在什么范围取值时 图象的顶点在第四象限 例3 已知抛物线y x2 2x 8 1 求证 该抛物线与x轴一定有两个交点 2 若该抛物线与x轴的两个交点分别为A B 且它的顶点为P 求 ABP的面积 1 已知二次函数y ax2 5x c的图象如图 1 当x为何值时 y随x的增大而增大 2 当x为何值时 y 0 3 求它的解析式和顶点坐标 练一练 2 函数y ax2 ax 3x 1的图象与x轴有且只有一个交点 那么a的值和交点坐标分别为 9或1 3 写出一个开口向下 对称轴是直线x 3 且与y轴交于 0 2 的抛物线解析式 4 已知函数y x2 2x 3 结合图象 试确定x取何值时 y 0 y 0 y 0 5 已知二次函数的图象的顶点坐标为 2 3 且图象过点 3 2 1 求此二次函数的解析式 2 设此二次函数的图象与x轴交于A B两点 O为坐标原点 求线段OA OB的长度之和 6 把抛物线y 3x2绕着它的顶点旋转1800后所得的图象解析式是 y 3x2 7 已知二次函数y a x h 2 k的图象过原点 最小值是 8 且形状与抛物线y 0 5x2 3x 5的形状相同 其解析式为 y 0 5 x 16 2 8 8 若x为任意实数 则二次函数y x2 2x 3的函数值y的取值范围是 9 若抛物线y ax2 2x c的顶点坐标是 2 3 则a c y 2 0 5 1 10 抛物线y 2x2 4x 1是由抛物线y 2x2 bx c向左平移1个单位 再向下平移2个单位得到的 则b c 11 已知抛物线y 2x2 bx 8的顶点在x轴上 则b 12 若二次函数y m 8 x2 2x m2 64的图象过原点 则m 8 3 8 8 13 如果点P 1 a 和点Q 1 b 在抛物线y x2 1上 那么线段PQ的长为 14 已知y x2 12 k x 12 当x 1时 y随x的增大而增大 当x 1时 y随x的增大而减小 则k的值为 2 10 15 已知二次函数y ax2 bx c的图象经过点 1 2 则a b c的值是 16 直线y 2x 3与抛物线y x2 3m 1 x 2m的对称轴交于点 2 1 则m 2 1 17 抛物线y x m x 3 k m与抛物线y x 3 2 4关于原点对称 则m k 18 已知二次函数的图象过 2 0 6 0 两点 且顶点在直线y 0 75x上 求此二次函数的解析式 9 y 0 75 x 4 2 3 选一选抛物线y x2 4x 3的对称轴是 A直线x 1B直线x 1C直线x 2D直线x 2 2 抛物线y 3x2 1的 A开口向上 有最高点B开口向上 有最低点C开口向下 有最高点D开口向下 有最低点 3 若y ax2 bx c a 0 与轴交于点A 2 0 B 4 0 则对称轴是 A直线x 2B直线x 4C直线x 3D直线x 3 4 若y ax2 bx c a 0 与轴交于点A 2 m B 4 m 则对称轴是 A直线x 3B直线x 4C直线x 3D直线x 2 c B C A x 5 在同一直角坐标系中 一次函数y ax c和二次函数y ax2 c的图象大致为 B 例1 已知二次函数y ax2 bx c的最大值是2 图象顶点在直线y x 1上 并且图象经过点 3 6 求a b c 解 二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为2又 抛物线的顶点在直线y x 1上 当y 2时 x 1 顶点坐标为 1 2 设二次函数的解析式为y a x 1 2 2又 图象经过点 3 6 6 a 3 1 2 2 a 2 二次函数的解析式为y 2 x 1 2 2即 y 2x2 4x 综合创新 1 已知抛物线y ax2 bx c与抛物线y x2 3x 7的形状相同 顶点在直线x 1上 且顶点到x轴的距离为5 请写出满足此条件的抛物线的解析式 解 抛物线y ax2 bx c与抛物线y x2 3x 7的形状相同 a 1或 1又 顶点在直线x 1上 且顶点到x轴的距离为5 顶点为 1 5 或 1 5 所以其解析式为 1 y x 1 2 5 2 y x 1 2 5 3 y x 1 2 5 4 y x 1 2 5 2 若a b c 0 a 0 把抛物线y ax2 bx c向下平移4个单位 再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是 2 0 求原抛物线的解析式 分析 1 由a b c 0可知 原抛物线的图象经过 1 0 2 新抛物线向右平移5个单位 再向上平移4个单位即得原抛物线 答案 y x2 6x 5 练习1 已知抛物线y ax2 bx 1的对称轴是x 1 最高点在直线y 2x 4上 1 求此抛物线的顶点坐标 2 求抛物线解析式 3 求抛物线与直线的交点坐标 解 二次函数的对称轴是x 1 图象的顶点横坐标为1又 图象的最高点在直线y 2x 4上 当x 1时 y 6 顶点坐标为 1 6 例2 已知抛物线y ax2 bx c与x轴正 负半轴分别交于A B两点 与y轴负半轴交于点C 若OA 4 OB 1 ACB 90 求抛物线解析式 解 点A在正半轴 点B在负半轴OA 4 点A 4 0 OB 1 点B 1 0 又 ACB 90 OC 2 点C 0 2 设y a x x 得 a a y x x 问题2这位同学身高1 7m 若在这次跳投中 球在头顶上方0 25m处出手 问 球出手时 他跳离地面的高度是多少 尝试成功 如图 有一次 我班某同学在距篮下4m处跳起投篮 球运行的路线是抛物线 当球运行的水平距离2 5m时 达到最大高度3 5m 然后准确落入篮圈 已知篮圈中心到地面的距离为3 05m 3 05m 2 5m 3 5m 问题1建立如图所示的直角坐标系 求抛物线的解析式 4m 试一试 你知道吗 平时我们在跳绳时 绳甩到最高处的形状可近似的看为抛物线 如图所示 正在甩绳的甲 乙两名学生拿绳的手间距为4米 距地面均为1米 学生丙 丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米 2 5米处 绳子甩到最高处时 刚好通过他们的头顶 已知学生丙的身高是1 5米 请你算一算学生丁的身高 1m 2 5m 4m 1m 甲 乙 丙 丁 0 1 4 1 1 1 5 练习 在矩形荒地ABCD中 AB a BC b a b 0 今在四边上分别选取E F G H四点 且AE AH CF CG x 建一个花园 如何设计 可使花园面积最大 D C A B G H F E a b b 2 如图 在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆 围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃 设花圃的宽AB为x米 面积为S平方米 1 求S与x的函数关系式及自变量的取值范围 2 当x取何值时所围成的花圃面积最大 最大值是多少 3 若墙的最大可用长度为8米 则求围成花圃的最大面积 解 1 AB为x米 篱笆长为24米 花圃宽为 24 4x 米 3 墙的可用长度为8米 2 当x 时 S最大值 36 平方米 S x 24 4x 4x2 24x 0 x 6 0 24 4x 84 x 6 当x 4m时 S最大值 32平方米 3 某企业投资100万元引进一条产品加工生产线 若不计维修 保养费用 预计投产后每年可创利33万 该生产线投产后 从第1年到第x年的维修 保养费用累计为y 万元 且y ax2 bx 若第1年的维修 保养费用为2万元 到第2年为6万元 1 求y的解析式 2 投产后 这个企业在第几年就能收回投资 解 1 由题意 x 1时 y 2 x 2时 y 2 4 6 分别代入y ax2 bx 得a b 2 4a 2b 6 解得 a 1 b 1 y x2 x 2 设g 33x 100 x2 x 则g x2 32x 100 x 16 2 156 由于当1 x 16时 g随x的增大而增大 故当x 4时 即第4年可收回投资 问题4 某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售