数学人教版八年级上册14.2.1平方差公式.doc

14.2.1平方差公式一、教材分析：14.2.1平方差公式这节课主要是探究平方差公式并运用公式进行整式的乘法运算。学生在本节经历从特殊到一般、从具体到抽象的推导过程，得到平方差公式，在提高学生观察、探究、发现、归纳的思维能力同时领会数学思想方法。平方差公式的学习，为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容的学习奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了探究方法。因此，平方差公式在初中阶段的教学中具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式。2、 学情分析： 在前面的学习中，学生已经学习了有理数运算、整式的加减及整式乘法等知识，掌握了多项式乘法的法则，也经历过对幂的乘法、多项式乘法的推导过程，有一定的逻辑思维，能够有条理的分析问题，但在进行多项式乘法运算时常常会确定错某些项符号及漏项等问题。学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解。因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解。三、教学目标： 1、认识平方差公式并了解公式的几何意义，理解平方差公式的结构特征，会用平方差公式简化计算解决简单的实际问题。 2、在探究平方差公式的过程中，体验从“特殊到一般”的研究数学问题的方法，培养符号感和推理能力，培养学生观察、归纳、概括的能力。 3、在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美。通过对平方差公式的几何意义的了解，体会代数与几何的内在统一。四、教学重难点教学重点：平方差公式的推导和应用教学难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算五、教法、学法。教学方法：采用启发式、探索式教学方法。学习方法：学生积极参与、大胆猜想、自主探索和合作交流六、教、学具准备多媒体课件辅助教学七、教学过程一、创设情境,导入新课1、回顾整式乘法中多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号表示：（m+b)(n+a)= mn+ma+bn+ba2、出示情景：我们学校今年翻修了学校的围墙，修整后学校围墙长503米。宽497米。你能用简便方法计算一下我们学校的占地面积吗？学生思考尝试运用乘法运算律计算。教师点拨：如何计算结果？请同学们用多项式乘法法则进行计算。设计意图：教学时，可先让学生按算式503497，发现这种算法十分繁琐。然后告诉学生学过本章相关内容后，将有简单的笔算方法，以激发学生学习本章的兴趣。二、自主探究，得出结论1、提出问题：计算下列各题（1） （x+4）（x4）； （2）（2+3a）（23a）（3）（x+5y）（x5y）；（4）（2y+z）（2yz）观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？学生独立计算后与同伴交流结果是否相同，然后讨论规律。教师提示：依照以上四道题的计算回答下列问题：式子的左边具有什么共同特征？它们的结果有什么特征？能不能用字母表示你的发现？。设计意图：通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，学生在计算过程中发现规律，体会规律的一般性，提出自己的猜想，并尝试用数学语言进行描述.既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫。根据“最近发展区”理论，在学生已掌握的多项乘法法则的基础上,探索具有特殊形式的多项式乘法平方差公式，这样更加自然、合理。先让学生观察后独立思考，再进行小组内交流讨论，由学生代表发言，全班统一认识。2、你能用文字语言表示所发现的规律吗？师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律：式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差学生自己再举一些类似的多项式相乘的情形，并计算验证自己的猜想.设计意图：提供充分的时间，鼓励学生用自己的语言表述到公式表示的过过渡，教师巡回引导，并集思广益。从而提高学生观察归纳、语言表达、合作交流等能力。学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件.三、数形结合，几何说理 在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形（如图）.你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗？ a b 教师提示：a2-b2与(a+b)(a-b)都可表示该图形的面积。学生自主选择方法验证公式，教师巡视指导，有意识引导学生选择不同的方法。展示交流中，要求学生说出公式的合理性，进一步分析公式结构特征。设计意图：通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系引导学生学会从多角度、多方面来思考问题四、剖析公式，发现本质在平方差公式 中，其结构特征为： 左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即 ； 让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b的广泛含义，归纳得出：a和b可能代表数或式设计意图：通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果。五、巩固运用，内化新知1、下列两个多项式相乘，哪些可以用平方差公式？哪些不能用？(1)(2x-3y)(3y-2x)(2)(-2x+3y)(2x+3y)(3)(2x-3y)(2x-3y)(4)(2x+3y)(2x-3y)设计意图：学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件巩固平方差公式，进一步体会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解。2、运用平方差公式计算：(1)(3x2 )( 3x2 ) ；(2)(-x+2y)(-x-2y).(3)(b+2a)(2ab);思考：你是如何运用平方差公式解决以上的问题？在确定把哪个式子看成公式中“a”和“b”,应注意什么问题？要求学生板演解题过程，对比课本例题规范解题步骤和格式。3、我们学校今年翻修了学校的围墙，修整后学校围墙长503米。宽497米。你能用简便方法计算一下我们学校的占地面积吗？这个问题你会用我们今天学习的知识解决了吗？谁能以最快的速度计算出结果？说说你的算法。设计意图：把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，此题体现了转化的思想和数式通性。同时与导入扣题。4、计算：（y+3）(y-3)-(y-2)(y-4)学生板演。教师追问：计算（y+3）(y-3)与计算(y-2)(y-4)方法一样吗？说出你的理由。教师强调：只有符合平方差公式结构特征的多项式乘法才可以运用公式简化计算，不能乱用公式。学生板演，暴露问题，相互纠错，熟练运用，掌握公式。六、回顾反思，小结延伸1、学生自主小结：这节课有哪些收获？2、教师强调：运用平方差公式时，应注意以下几个问题：(1)公式左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项相同，另一项相反。(2)公式右边是相同项的平方减去相反项的平方。(3)公式中的a和b可以是数，也可以是单项式或多项式；3.质疑：以下的计算可以用平方差公式计算吗？（x+2）(x+2)（a+b）(a+b)设计意图：使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识也为完全平方公式的学习提供了探究的方法。7、 布置作业:必做题：课本P112习题14.2 第1题 选做题：1、证明两个连续偶数的平方差能够被4整除；2、利用平方差公式计算：（1）（3x +2y）（3x2y）； （2）（-7+2m2）（-7-2m2）设计意图：作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展。一、达标测试.1、下列运算正确的是：（）A、（x+2）(x2)=x22 B、(x+3y)(x3y)=x23y2C、(x+y)2=x2+y2D、(-3a2)(3a2)=49a22、在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式的是：（）A、(2a+b)(2ab) B、(2a+b)(b2a)C、(2a+b)(-2ab) D、(2ab)(-2ab)3、 (x+2)(x2)(x2+4)的计算结果是：（ ）A、x2+16B、x416C、x41D、16x44、