上海高考数学命题的改革历程.doc

上海高考数学命题的改革历程上海考试院 陈家驹（根据陈家驹报告整理）指导思想：1. 破除题海，减轻过重负担 （避免陈题）2.配合课程教材改革，推进素质教育改革目标1.促进学生学习方式的转变（接受性、研究性学习并存）2.引导学生关注探究过程 （过程与方法）3.架构创新精神和实践张力的评价体系能力立意评价的理论基础两因素论斯皮尔曼（一般能力+特殊能力（数学）G.S因素 两种张力并举考查目标上海特点成功智力理论斯滕伯格（分析性、创造性、实践性智力）具体呈现的行为目标1.独立获取信息，把握和理解数学问题及其背景2.由已知条件出发，探索研究解决问题的策略3.应用已有知识，达到分析问题解决问题的目标4.在上述基础上，能提出新的有实际意义的数学问题改革历程一、建立能力立意的评价体系二、创建评价研究性学习能力的平台三、探索开放性研究型问题的评价机制一、建立能力立意的评价体系数学学习能力学习概念（点到直线的距离到点到线段的距离）、学习规则（平面的法向量）、学习方法数学探究能力1.寻找问题规律：图形的位置关系或数量关系21已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，是对应的焦点。（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。 解：（1） ，于是，所求“果圆”方程为，（2）由题意，得 ，即，得又 （3）设“果圆”的方程为，记平行弦的斜率为当k=0时，直线与半椭圆的交点是，与半椭圆的交点是 的中点满足 得 ， 综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上当k0时，以k为斜率过的直线与半椭圆的交点是由此，在直线右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上当k0)的最小值是2,则2=6, b=log29. (2)设0x1x2,y2y1=.当x1y1, 函数y=在,+)上是增函数；当0x1x2时y20),其中n是正整数.当n是奇数时,函数y=在(0,上是减函数,在,+) 上是增函数,在(,上是增函数, 在,0)上是减函数.当n是偶数时,函数y=在(0,上是减函数,在,+) 上是增函数,在(,上是减函数, 在,0)上是增函数.F(x)= +=因此F(x) 在 ,1上是减函数,在1,2上是增函数.所以,当x=或x=2时, F(x)取得最大值()n+()n；当x=1时F(x)取得最小值2n+1.（2006秋第22题）3.给出结论，探究相应的条件21.对定义域是、的函数、，规定：函数。（1）若函数，写出函数的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域；（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明。解：（1）（2）当若其中等号当x=2时成立，若其中等号当x=0时成立，函数（3）解法一令则于是解法二令，则于是（2005秋第21题）4. 探索结论是否成立或符合条件的数学对象是否存在OCBA20.通常用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径. (1) 如图，在以为圆心、半径为2的中，和是的弦，其中，求弦的长； (2) 在中，若是钝角，求证：； (3) 给定三个正实数，其中. 问：满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在、存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)？在存在的情况下，用表示解 (1) 的外接圆半径为2，在中， 3分 . 6分证明 (2) ，由于是钝角，都是锐角，得 ， ， ， ，即. 10分解 (3) ）当或时，所求的不存在. ）当且时，所求的只存在一个，且.）当且时，且都是锐角，由，唯一确定. 因此，所求的只存在一个，且. 14分 ）当时，总是锐角，可以是钝角也可以是锐角，因此，所求的存在两个. 由，得 当时， .当时， . 18分（2007春第20题）数学应用能力1.数学知识和方法的直接应用2.运用熟悉的数学模型对实际问题作定量分析3.建立数学模型解决实际问题4.根据实际问题找出数学表达式与实际意义间的关系21.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药。对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与这次清洗前残留的农药量之比为函数（1）试规定的值，并解释其实际意义； （2）试根据假定写出函数应该满足的条件和具有的性质； （3）设，现有a（a0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？请说明理由解：（1）表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样（2）函数应该满足的条件和具有的性质是：，在上单调递减，且（3）设仅清洗一次，残留的农药量为清洗两次后，残留的农药量为，则，于是当时当时当时（2001秋第21题）数学创新能力1.运用类比的方法来发现新的结论22.已知倾斜角为的直线过点和点，在第一象限，.(1) 求点的坐标；(2) 若直线与双曲线相交于、两点，且线段的中点坐标为，求的值；对于平面上任一点，当点在线段上运动时，称的最小值为与线段的距离. 已知点在轴上运动，写出点到线段的距离关于的函数关系式（3）若为正整数，证明：22. (1) 直线方程为，设点，由及，得，点的坐标为。（2）由得，设，则，得。（3）(解法一)设线段上任意一点坐标为，记，当时，即时，当，即时，在上单调递减，；当，即时，在上单调递增，。综上所述，(解法二) 过、两点分别作线段的垂线，交轴于、，当点在线段上，即时，由点到直线的距离公式得：；当点的点在点的左边，时，；当点的点在点的右边，时，。综上所述，（2003春第22题）2.运用从特殊到一般的归纳方法发现新的结论19.已知数列（n是正整数）是首项为公比为的等比数列（1）求和：（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明（2003秋第19题）3.将已知性质、定理、公式进行推广拓展后得到新的结论（2002秋第22题）（抱歉，没找到相关题目）对给出模型的检验和解释20.有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。（1） 证明：当时，掌握程度的增加量总是下降；（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。（2009秋第20题）实际问题与数学形式的互相转换17.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ D ）（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 （C）丙地：中位数为2，众数为3 （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3（2009秋第17题）建立合理的数学模型解决问题（2009秋第13题）13.某地街道呈现东西、南北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点，为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）_（3，3）_为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 数学学习能力的命题视角从给出陈述性知识切入（相对程序性容易）20.在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在B B1、DD1上，且AEA1B，AFA1D（1）求证：A1C平面AEF；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小（用反三角函数值表示）证：（1）因为，所以在平面上的射影为由，得同理可证因为，所以解（2）过作的垂线交因为，所以设所成的角为，则即为平面与平面所成的角由已知，计算得如图建立直角坐标系，则得点因为与所成的角为，所以，由定理知，平面与平面所成角的大小为（2001春第20题）从多种学习理论切入1.范例理论10如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 36 。（2006秋第10题）2.联想理论16如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”已知常数0，0，给出下列命题：若0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；若0，且0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有2个；若0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个上述命题中，正确命题的个数是 （ D ）（A）0； （B）1； （C）2； （D）3（2006秋第16题）3.假设检验理论12.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。设是公比为的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组（写出所有符合要求的组号）， （2004秋第12题）从给出程序性知识切入11.方程x2+x10的解可视为函数yx+的图像与函数y的图像交点的横坐标，若x4+ax40的各个实根x1，x2，xk (k4)所对应的点(xi ,)（i1,2,k）均在直线yx的同侧，则实数a的取值范围是 （2008秋第11题）数学创新能力（推广的手段）的命题视角从形式上的推广切入已知两个圆：，则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程。将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例。推广的命题为 设圆方程：，（或）则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程 （2001秋第11题）从给出推广的形式切入，研究其推广后所产生的一些新的结论（2002秋第22题）（抱歉，没找到相关题目）从数学对象本质的推广入手，运用推广后的性质解决新情景中的问题22.已知函数有如下性质：如果常数0，那么该函数在0，上是减函数，在，上是增函数。（1）如果函数（0）的值域为6，求的值；（2）研究函数（常数0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数和（常数0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间，2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）。解(1) 函数y=x+(x0)的最小值是2,则2=6, b=log29. (2)设0x1x2,y2y1=.当x1y1, 函数y=在,+)上是增函数；当0x1x2时y20),其中n是正整数.当n是奇数时,函数y=在(0,上是减函数,在,+) 上是增函数,在(,上是增函数, 在,0)上是减函数.当n是偶数时,函数y=在(0,上是减函数,在,+) 上是增函数,在(,上是减函数, 在,0)上是增函数.F(x)= +=因此F(x) 在 ,1上是减函数,在1,2上是增函数.所以,当x=或x=2时, F(x)取得最大值()n+()n；当x=1时F(x)取得最小值2n+1.（2006秋第22题）把握基本要求，服务于能力立意的环节 坚持基本方法，突出能力立意 介绍解决数学问题的科学方法 观察法 试验法 分类讨论 演绎法 归纳法 类比法 直接证法 反证法（ 点差法尽可能避免）高考数学（上海）卷框架 二、创新评价研究性学习能力的平台l 测量研究性学习能力的特点自主性学习、探索和研究过程的自主活动开放性探索和研究方法，策略多元化，结论不唯一新颖性背景新颖，思维方式独特，结论富有创新精神过程性思维链较长，非一问一答式l 研究性学习能力的测量目标在已有知识结构基础上，拓展新的认知领域，自主探索其性质等在知识、方法之间的联系中，探索和归纳数学任务的内在规律在各种变形、变换和思维形态中，感悟、认识和研究数学对象的本质在质疑或反思过程中，发现和提出问题，并能提出初步的结论通过实验方法和操作手段，探索数学对象的性质和解决问题的方法（如 江苏立体几何的考查）在较全面、深入研究的基础上，能提出新的认识，并能将结果较完整、正确地表达出来（如 数学小论文）考查主题示例l 探究新的数学概念所具有的属性 （09.22题）l 通过类比、归纳、演绎等方式，拓展推广已知命题，得到新的命题 （04春20题、04.22题）l 通过质疑反思发现问题，进一步提出需要研究的问题（07春17题）l 研究和探索数学对象的规律 （06春22题）介绍一个试题的命题轨迹三、探索开放性研究型问题的评价机制可观察的学习成果结构SOLO(Structure of the Observed Learning Outcome)前结构（prestucture）单点结构 (unistrueture)多点结构 (multistructure)关联结构 (relation structure)拓展抽象结构 (extended abstract structure)高考数学科开放性研究型问题评价结构E级：解答错误，不能正确理解试题要求。D级：尚能理解试题要求，但在阐述自己的结论时，仅在原有框架中将单个知识点（材料）机械地作某种变化。（如将某些对象的数字改成字母等），在考查目标的层面上没有实质性地体现试题要求。C级：能基本理解试题要求，能运用多个知识点（材料），从某个角度准确地阐述自己的结论。B级：能把握试题要求，能综合运用多个知识点（材料），从不同的角度准确地阐述自己的结论，并能够把握问题的线索和知识点（材料）之间的联系。A级：能准确把握试题要求，能在新情境中灵活地综合多个知识点（材料），从不同的角度准确地阐述自