高中数学教程----数列与不等式命题新亮点.doc

分享智慧泉源 智爱学习 传扬爱心喜乐数列与不等式命题新亮点高考中,比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现.数列解答题的命题热点是与不等式交汇,呈现递推关系的综合性试题.其中,以函数与数列、不等式为命题载体,有着高等数学背景的数列解答题是未来高考命题的一个新的亮点,而命题的冷门则是数列的应用性解答题.此外,高考也一定会出现解不等式的传统题目. 例1 把数列一次按第一个括号一个数,按第二个括号两个数,按第三个括号三个数,按第四个括号一个数,循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(23) ,则第50个括号内各数之和为_.解析:讲三个括号作为一组,则由知第50个括号应为第17组的第二个括号,即第50个括号中应是两个数.又因为每组中含有6个数,所以第48个括号的最末一个数为数列的第项,第50个括号的第一个数应为数列的第98项,即为,第二个数为,故第50个括号内各数之和为.答案:392.点评:恰当的分组,找到各数之间的内在联系是解决之道.此外,这种题对观察能力有较高的要求.例2 设是由正数构成的等比数列, ,则( )A. B. C. D. 解析:设其公比为,则,当时, ;当且时, ,故.点评:此题较易入手,利用作差法即可比较大小,考察数列的递推关系.例3 若对,不等式恒成立,则实数的取值范围( )A. B. C. D. 解析:由已知得.设,由于,则.于是,有,便得,解得.答案:A.点评:在含参数的不等式中求参数取值范围,是高考命题的一个趋势.如何变形?如何转化?函数观点,结合系数分类法,降元化归为二次区间上恒成立,或选择主元,构造函数,形助数构建不等式,这些都是多参数问题求解的思维方法.此题采用的是第一种方案,少去了讨论的麻烦.例4四棱锥S-ABCD的所有棱长均为1米,一只小虫从S点出发沿四棱锥的棱爬行,若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能的.设小虫爬行米后恰好回到S点的概率为(1)求、的值;(2)求证: (3)求证: 解析:(1) 表示从S点到A(或B、C、D)点,然后再回到S点的概率,所以;因为从S点沿SA棱经过B点或D点,然后再回到S点的概率为,所以.(2)设小虫爬行米后恰好回到S点的概率为,那么表示爬行米后恰好没回到S点的概率,则此时小虫必在A(或B、C、D)点,所以,即.(3)由,可得,从而,所以 .点评:以鲜活的生活实际为背景,编制应用性问题是高考命题的原则.故特列举此“爬行问题”,以检测同学们运用所学数学知识,进行分析和解决实际问题的能力.例5 已知函数.(1)数列满足: ,若对任意的恒成立,试求的取值范围;(2)数列满足: ,记,为数列的前项和, 为数列的前项积,求证.解析:(1)因为,所以.于是, 为等比数列,所以,从而,有 .故.(2)因为 ,所以, ,.即有.由,显然,知,即.因为,所以 .点评:题目立意新颖,将函数、导数、数列的性质及求和的各种方法融为一体构成综合性推理题,考察同学们阅读理解、逻辑分析、运算求解能力及应用意识.这类题型是近几年高考命题的一个方向,要引起高度重视.例6 (1)证明: (2)数列中. ,且; 证明: 解析:(1)设,则. 所以在内是减函数, . 又在处连续,所以. 即(2) 用数学归纳法证之.a.当时, ; b.假设时, ;当时, ,结论成立.综上,对一切,有.由及已知得,所以 .所以,又由(1)得,所以,.相加,得,故不等