1-2命题与充要条件.ppt

第二节命题与充要条件 1 命题的概念可以 用文字或符号表述的语句叫作命题 其中判断为 的语句叫真命题 判断为 的语句叫假命题 2 四种命题及其关系 1 四种命题 2 四种命题间的逆否关系 3 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题 它们有 的真假性 两个命题互为逆命题或互为否命题 它们的真假性 3 充分条件与必要条件 1 如果p q 则p是q的 q是p的 2 如果p q q p 则p是q的 4 特别注意 命题的否命题是既否定命题的条件 又否定命题的结论 而命题的否定是否定命题的结论 答案 1 判断真假真假2 1 若q 则p若綈p 则綈q若綈q 则綈p 2 逆命题否命题逆否命题 3 相同没有关系3 1 充分条件必要条件 2 充要条件 例1 把下列命题改写成 若p 则q 的形式 并写出它们的逆命题 否命题 逆否命题 1 正三角形的三内角相等 2 全等三角形的面积相等 3 已知a b c d是实数 若a b c d 则a c b d 分析 先找出原命题的条件p和结论q 然后根据四种命题之间的关系直接写出 解析 1 原命题即是 若一个三角形是正三角形 则它的三个内角相等 逆命题 若一个三角形的三个内角相等 则这个三角形是正三角形 或写成 三个内角相等的三角形是正三角形 否命题 若一个三角形不是正三角形 则它的三个内角不全相等 逆否命题 若一个三角形的三个内角不全相等 那么这个三角形不是正三角形 或写成 三个内角不全相等的三角形不是正三角形 2 原命题即是 若两个三角形全等 则它们的面积相等 逆命题 若两个三角形面积相等 则这两个三角形全等 或写成 面积相等的三角形全等 否命题 若两个三角形不全等 则这两个三角形面积不相等 或写成 不全等的三角形面积不相等 逆否命题 若两个三角形面积不相等 则这两个三角形不全等 3 原命题即是 已知a b c d是实数 若a b c d 则a c b d 其中 已知a b c d是实数 是大前提 a与b c与d都相等 是条件p a c b d 是结论q 所以逆命题 已知a b c d是实数 若a c b d 则a与b c与d都相等 否命题 已知a b c d是实数 若a与b c与d不都相等 则a c b d 逆否命题 已知a b c d是实数 若a c b d 则a与b c与d不都相等 评析 已知原命题 写出它的其他三种命题 首先把原命题改写成 若p 则q 的形式 然后找出其条件p和结论q 再根据四种命题的定义写出其他命题 逆命题 若q 则p 否命题 若綈p 则綈q 逆否命题 若綈q 则綈p 对写出的命题也可简洁表述 对于含有大前提的命题 在改写命题形式时 大前提不要动 分别写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断它们的真假 1 若q 1 则方程x2 2x q 0有实根 2 设a b为实数 若ab 0 则a 0或b 0 3 若x2 y2 0 则x y全为零 解析 1 逆命题 若方程x2 2x q 0有实根 则q 1 逆命题为真命题 否命题 若q 1 则方程x2 2x q 0无实根 否命题为真命题 逆否命题 若x2 2x q 0无实根 则q 1 逆否命题为真命题 2 逆命题 若a 0或b 0 则ab 0 逆命题为真命题 否命题 若ab 0 则a 0且b 0 否命题为真命题 逆否命题 若a 0且b 0 则ab 0 逆否命题为真命题 3 逆命题 若x y全为零 则x2 y2 0 逆命题为真命题 否命题 若x2 y2 0 则x y不全为零 否命题为真命题 逆否命题 若x y不全为零 则x2 y2 0 逆否命题为真命题 评析 四种命题的关系 若 p q为原命题 则 q p 綈p 綈q 綈q 綈p分别为原命题 的逆命题 否命题 逆否命题 互为逆否命题 是等价命题 也互为逆否命题 也是等价命题 因此 应写准一个命题的逆命题 否命题 逆否命题 同时掌握四种命题之间的关系 例2 1 两个三角形全等 是 这两个三角形相似 的什么条件 2 如果p是q的充分而不必要条件 r是q的充要条件 s是r的必要而不充分条件 那么s是p的什么条件 3 2 x 5是2x2 5x 3 0的什么条件 4 已知A和B是两个命题 如果A是B的充分条件 那么綈B是綈A的什么条件 解析 1 两个三角形若全等则它们一定相似 但相似不一定全等 两个三角形全等 是 这两个三角形相似 的充分而不必要条件 2 p q r s r q 则p q r s 但q p 故s p s是p的必要而不充分条件 评析 分清条件和结论 然后根据充要条件的定义进行判断 1 2009 湖北文 sin 是 cos2 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 A 2 2009 湖南理 对于非零向量a b a b 0 是 a b 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 考查平面向量平行的条件 a b 0 a b a b 反之 a 3b时也有a b 但a b 0 故选A 3 2009 四川理 已知a b c d为实数 且c d 则 a b 是 a c b d 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 本小题主要考查不等式的性质和充要条件的概念 由a c b d变形为a b c d 因为c d 所以c d 0 所以a b 0 即a b a c b d a b 而a b并不能推出a c b d 所以a b是a c b d的必要而不充分条件 故选B 4 2009 陕西理 m n 0 是 方程mx2 ny2 1表示焦点在y轴上的椭圆 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 C 例3 求证 关于x的方程x2 mx 1 0有两个负实根的充要条件是m 2 分析 证明分为两个环节 一是充分性 二是必要性 证明时 不要认为它是推理过程的 双向书写 而应该施行由条件到结论 由结论到条件的两次证明 解析 证明 1 充分性 因为m 2 所以 m2 4 0 方程x2 mx 1 0有实根 设x2 mx 1 0的两个实根为x1 x2 由根与系数的关系知x1x2 1 0 所以x1 x2同号 又因为x1 x2 m 2 所以x1 x2同为负根 评析 有关充要条件的证明问题 要分清哪个是条件 哪个是结论 由结论 条件是证明命题的必要性 由条件 结论是证明命题的充分性 证明要分两个环节 一是充分性 二是必要性 已知数列 an 的前n项和Sn pn q p 0且p 1 求数列 an 成等比数列的充要条件 分析 由充要条件的定义 可先由Sn pn q p 0且p 1 an 是等比数列即为充分性 再由 an 是等比数列 Sn pn q即为必要性 评析 探求充分条件 往往是先从已知条件得出某个结论 然后再证明这个结论是命题成立的充分条件 有关充要条件的证明问题 要分清哪个是条件 哪个是结论 由结论 条件是证明题的必要性 由条件 结论是证明命题的充分性 证明要分两个环节 一是充分性 二是必要性 分析 1 用集合的观点考察问题 先写出綈p和綈q 然后由綈q 綈p 但綈p綈q来求m的取值范围 2 将綈p是綈q的必要不充分条件转化为p是q的充分不必要条件再求解 评析 涉及参数的问题解决起来较为困难时 注意本题方法二的等价转化 转化后就显得好理解了 在涉及到求参数的取值范围又与充分 必要条件有关的问题 常常借助集合的观点来考虑 已知p A x x a 0 且非p是非q的充分条件 则a的取值范围为 A 16D a 1或a 6 答案 B 解法3 用等价命题构建不等式组求解 非p是非q的充分条件等价命题为q是p的充分条件 集合观念认识充分条件化归子集关系构建不等式组求解 解不等式切入 A a 4 a 4 B 2 3 由q是p的充分条件知 1 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时 必须保留大前提 也就是大前提不动 对于由多个并列条件组成的命题 在写其它三种命题时 应把其中一个 或n个 作为大前提 2 数学中的定义 公理 公式 定理都是命题 但命题与定理是有区别的 命题有真假之分 而定理都是真的 3 对 四种命题 的理解由于原命题和它的逆否命题是等价的 所以当一个命题的真假不易判断时 往往可以转化为判断它的逆否命题的真假 有的命题不易直接证明时 就可以改证它的逆否命题成立 所以反证法的实质就是证明 原命题的逆否命题成立 要注意 否命题与命题的否定是不同的 4 充分条件 和 必要条件 是数学中重要的概念 它讨论 若p则q 的命题中的条件和结论的逻辑关系 因此 必须真正弄懂它并善于应用它去分析和解决有关问题 5 由于 充分条件与必要条件 是四种命题的关系的深化 它们之间存在着密切的联系 故在判断命题的条件的充要性时 可考虑 正难则反 的原则 即在正面判断较难时 可转化应用该命题的逆否命题进行判断 6 一个结论成立的充分条件可以不止一个 必要条件也可以不止一个 7 判断命题充要条件的三种方法是 定义法 等价法 即利用A B与綈B 綈A B A与綈A 綈B A B与綈B 綈A的等价关系 对于条件或结论是不等关系 否定式 的命题 一般运用等价法 利用集合间的包含关系判断 若A B 则A是B的充分条件或B是A的必要条件 若A B 则A是B的充要条件 1 2009 浙江理 已知a b是实数 则 a 0且b 0 是 a b 0且ab 0 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 本小题主要考查不等式性质及充要条件 当a 0且b 0时 a b 0且ab 0 当ab 0时 a b同号 又a b 0 a 0 且b 0 故选C 2 2009 安徽理 下列选项中 p是q的必要不充分条件的是 A p a c b d q a b且c dB p a 1 b 1 q f x ax b a 0 且a 1 的图像不过第二象限C p x 1 q x2 xD p a 1 q f x logax a 0 且a 1 在 0 上为增函数 答案 A 解析 本题考查不等式的性质及充分条件 必要条件等基础知识 验证 A中 如a 1 b 2 c 3 d 1 a c 1 3 b