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第三节概率运算 一 概率的加法公式二 条件概率与概率的乘法公式 一 概率的加法公式 概率的加法可以推广有限个事件和的情形 推论2对于任意事件A 有 定理1对于任意两个事件 有 推论1如果事件 互不相容 则 两人同时向目标射击 甲击中目标的概率0 8 乙击中目标的概率0 85 两人同时击中目标的概率0 68 求目标被击中的概率 有定理1概率加法公式 解 例1 设 有 在打靶中 若 命中10环 的概率是0 40 命中8环或9环 的概率是0 45 求 至少命中8环 的概率 例2 解 设 某人有5把钥匙 其中有一把是办公室门的 但他忘了是哪一把 只好逐把试开 试完不放回 求三次内把办公室门打开的概率 两两互不相容 例3 解 设 有 贷中装有4个黑球和一个白球 每次从贷中随机摸出一球 并换入一个黑球 连续进行 求第3次摸到黑球的概率 这是一种有放回的摸球 连续摸3次球 基本事件的总数为5 5 5 125 事件相当于第一次和第二次都摸到黑球 第三次摸到白球 包含的基本事件数为 例4 解 设 由加法公式推论2可知 注意在概率的计算问题中 有的直接运算比较困难 可以把直接问题转化成相反问题计算容易的多 二 条件概率与概率的乘法公式 定义1 若 则把事件B已发生的条件下 事件A的概率称为条件概率 记为 1 条件概率在实际问题中 有时需要求在事件B已发生的条件下 事件A的概率 由于增加了条件 事件B已发生 所以称之为条件概率 解 一批同类产品共14件 共中由甲厂提供的6件中有4件优质品 由乙厂提供的8件中有5件优质品 试考察下列事件的概率 1 从全部产品中任取一件是甲厂的产品 2 从甲厂提供的产品中任取一件 而且恰是优质品 3 从全部产品中任取一件是甲厂的优质产品 例5 2 这里考察的是在事件B发生的条件下事件A的概率 从全部事件中任取一件是甲厂的优质产品 本例不难发现 定理2 对事件 若 2 概率的乘法公式 以上公式从大量的实验总结有 对于个事件 则有 某地区气象资料表明 邻近的甲乙两城市中的甲市全年雨天比例为12 乙市全年雨天比例为9 两城市中至少有一市为雨天比例为16 8 试求下列事件的概率 1 甲市为雨天的条件下 乙市也为雨天 2 在乙市为无雨的条件下 甲市也无雨 例6 解 两市至少有一市为雨天 设 概率加法公式有 某种动物活到20岁的概率为0 8 活到25岁的概率为0 4 问现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率是多少 因为 活到25岁 一定要 活过20岁 所以 于是 根据事件积的关系 例7 解 设 显然 例8 取得红球的概率 2 3次内取得红球 每次抽取一球 试求下列事件的概率 1 第三次才 一个口袋盛有8个白球 5个
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