圆锥曲线的知识点、结论、易错点、真题.doc

(一)椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|，则这样的点不存在；若距离之和等于|，则动点的轨迹是线段.2.椭圆的标准方程：（0），（0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.4.求椭圆的标准方程的方法： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(二)椭圆的简单几何性质1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为（0）. 范围： -axa，-bxb，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里. 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0e1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e1时，这个动点的轨迹是椭圆. 准线：根据椭圆的对称性，（0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径. 设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.4.椭圆的参数方程 椭圆（0）的参数方程为（为参数）. 说明: 这里参数叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角与直线OP的倾斜角不同：； 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 椭圆的参数方程是.5.椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部.6. 椭圆的切线方程 (1)椭圆上一点处的切线方程是. （2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）椭圆与直线相切的条件是(三)双曲线及其标准方程1. 双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|，则动点的轨迹是两条射线；若2a|，则无轨迹. 若时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程：和（a0，b0）.这里，其中|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(四)双曲线的简单几何性质1.双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率1，离心率e越大，双曲线的开口越大.2. 双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.双曲线的焦半径公式，.4.双曲线的内外部(1)点在双曲线的内部.(2)点在双曲线的外部.5.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）.6. 双曲线的切线方程(1)双曲线上一点处的切线方程是.（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）双曲线与直线相切的条件是.(五)抛物线的标准方程和几何性质1抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。2抛物线的方程有四种类型：、.对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。3抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例（1）范围：x0；（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；（5）准线方程；（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p0）： （7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（pO）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为，则有|AB|=x+x+p以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，当a0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。4.抛物线上的动点可设为P或 P，其中 .5.二次函数的图象是抛物线：（1）顶点坐标为；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是.6.抛物线的内外部(1)点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.(2)点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.(3)点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.(4) 点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.7. 抛物线的切线方程(1)抛物线上一点处的切线方程是.（2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）抛物线与直线相切的条件是.(六).两个常见的曲线系方程(1)过曲线,的交点的曲线系方程是(为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆; 当时,表示双曲线.(七)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或（弦端点A，由方程 消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）. (八).圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是.四基本方法和数学思想1.椭圆焦半径公式：设P（x0,y0）为椭圆（ab0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则（e为离心率）；2.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线（a0,b0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则:（1）当P点在右支上时，；（2）当P点在左支上时，；（e为离心率）；另：双曲线（a0,b0）的渐进线方程为；3.抛物线焦半径公式：设P（x0,y0为抛物线y2=2px(p0)上任意一点，F为焦点，则；y2=2px(p0)上任意一点，F为焦点，；4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；5.共渐进线的双曲线标准方程为为参数，0）；6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长 ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为，焦准距为p=，抛物线的通径为2p，焦准距为p; 双曲线（a0，b0）的焦点到渐进线的距离为b;8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax2+Bx21；9.抛物线y2=2px(p0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),则有如下结论：（1）x1+x2+p;（2）y1y2=p2，x1x2=;10.过椭圆（ab0）左焦点的焦点弦为AB，则，过右焦点的弦；11.对于y2=2px(p0)抛物线上的点的坐标可设为（，y0）,以简化计算;12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆（ab0）上不同的两点，M(x0,y0)是AB的中点，则KABKOM=；对于双曲线（a0，b0），类似可得：KAB.KOM=；对于y2=2px(p0)抛物线有KAB13.求轨迹的常用方法：（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)0，是求轨迹的最基本的方法；（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2. PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.6. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.8. 椭圆（ab0）的焦半径公式：9. ,( , ).10. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFNF.11. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.12. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，13. 即。14. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.15. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.二、双曲线1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.2. PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）5. 若在双曲线（a0,b0）上，则过的双曲线的切线方程是.6. 若在双曲线（a0,b0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7. 双曲线（a0,bo）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.8. 双曲线（a0,bo）的焦半径公式：( , 9. 当在右支上时，,.10. 当在左支上时，,11. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFNF.12. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.13. AB是双曲线（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。14. 若在双曲线（a0,b0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.15. 若在双曲线（a0,b0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）椭 圆1. 椭圆（abo）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.2. 过椭圆 (a0, b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.3. 若P为椭圆（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则.4. 设椭圆（ab0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记, ,，则有.5. 若椭圆（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0e时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6. P为椭圆（ab0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.8. 已知椭圆（ab0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.9. 过椭圆（ab0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.10. 已知椭圆（ ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.11. 设P点是椭圆（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .12. 设A、B是椭圆（ ab0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .13. 已知椭圆（ ab0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 17. （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）18. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.19. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线1. 双曲线（a0,b0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.2. 过双曲线（a0,bo）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.3. 若P为双曲线（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则（或）.4. 设双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记, ,，则有.5. 若双曲线（a0,b0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1e时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6. P为双曲线（a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.7. 双曲线（a0,b0）与直线有公共点的充要条件是.8. 已知双曲线（ba 0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.9. （1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.10. 过双曲线（a0,b0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.11. 已知双曲线（a0,b0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.12. 设P点是双曲线（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .13. 设A、B是双曲线（a0,b0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).14. (2) .(3) .15. 已知双曲线（a0,b0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.16. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.17. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.18. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).19. (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).20. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.21. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：2、直线的一般式方程：任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。3、知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)与直线垂直的直线可表示为。4、两平行线间的距离为。5、若直线与直线平行则 （斜率）且（在轴上截距） （充要条件）6、圆的一般方程：，特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆。二元二次方程表示圆的充要条件是且且。7、圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元：；8、为直径端点的圆方程切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为（）9、弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.习题部分例题1求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。错解：设所求直线方程为。（2，1）在直线上， 又，即ab = 8 ， 由、得a = 4，b = 2。故所求直线方程为x + 2 y = 4 。剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，而不是ab。故所求直线方程应为：x + 2 y = 4，或（+1）x - 2（-1）y 4 = 0，或（- 1）x - 2（+1）y +4 = 0。例题2已知三角形的三个顶点为A（6，3），B（9，3），C（3，6），求A。错解： kAB = 0 ，k AC = = -1， tanA=1.又0A1800， A=450。剖析：本题的“陷阱”是公式的选取，上述解法中把“到角”与“夹角”的概念混为一谈，错误地选用了夹角公式。事实上，所求角应是直线AB到AC（注意：不是AC到AB）的角。 tanA= - 1，A=1350。例题3求过点A（-4，2）且与x轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程。错解：设直线斜率为k，其方程为y 2 = k（x + 4），则与x轴的交点为（-4-，0），解得k = -。故所求直线的方程为x + 5y 6 = 0 。剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线，落入“陷阱”。其实x = - 4也符合题意。例题4求过点（1，1）且横、纵截距相等的直线方程。错解：设所求方程为，将（1，1）代入得a = 2，从而得所求直线方程为x + y 2 = 0。剖析：上述错解所设方程为，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点（1，1）的直线y = x 也符合条件。例题5已知圆的方程为x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ，一定点为A（1，2），要使过A点作圆的切线有两条，求a的取值范围。错解：将圆的方程配方得： ( x + )2 + ( y + 1 )2 = 。其圆心坐标为C（，1），半径r 。当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则 r 。即 。即a2 + a + 9 0，解得aR。剖析：本题的“陷阱”是方程x2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出 r ，即a2 + a + 9 0，却忽视了a的另一制约条件4 3 a2 0。事实上，由a2 + a + 9 0及4 3 a2 0可得a的取值范围是（）。例题6已知直线L：y = x + b与曲线C：y =有两个公共点，求实线b的取值范围。错解：由消去x得：2y2 - 2by + b2 1 = 0。 （ * ） L与曲线C有两个公共点， = 4b2 8 ( b2 1 ) 0，解得b剖析：上述解法忽视了方程y =中y 0 ， 1 x 1这一限制条件，得出了错误的结论。事实上，曲线C和直线L有两个公共点等价于方程（*）有两个不等的非负实根。解得1 b 。例题7等腰三角形顶点是A（4，2），底边的一个端点是B（3，5），求另一个端点C的轨迹方程。错解：设另一个端点的坐标为（ x ，y ），依题意有：=，即：= （x - 4）2 + (y - 2) 2 = 10即为C点的轨迹方程。这是以A（4，2）为圆心、以为半径的圆。剖析：因为A、B、C三点为三角形三个顶点，所以A、B、C三点不共线，即B、C不能重合，且不能为圆A一直径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出现增解，造成的解题错误。事实上，C点的坐标须满足，且，故端点C的轨迹方程应为（x - 4）2 + ( y-2 )2 = 10 ( x3,y5；x5,y1)。它表示以（4，2）为圆心，以为半径的圆，除去（3，5）（5，-1）两点。例题8求z = 3 x + 5 y的最大值和最小值，使式中的x ，y满足约束条件： 错解：作出可行域如图1所示，过原点作直线L0：3 x + 5 y = 0 。由于经过B点且与L0平行的直线与原点的距离最近，故z = 3 x + 5 y在B点取得最小值。解方程组，得B点坐标为（3，0）， z最小3350=9。由于经过A点且与L0平行的直线与原点的距离最大，故z = 3x + 5y在A点取得最大值。 解方程组，得A点坐标为（，）。 z最大35= 17 。 剖析：上述解法中，受课本例题的影响，误认为在对过原点的直线L0的平行移动中，与原点距离最大的直线所经过的可行域上的点，即为目标函数Z取得最大值的点。反之，即为Z取得最小值的点，并把这一认识移到不同情况中加以应用，由此造成了解题失误。事实上，过原点作直线L0：3x + 5y = 0，由于使z = 3x + 5y 0的区域为直线L0的右上方，而使z = 3x + 5y 0的区域为L0的左下方。由图知：z = 3x + 5y应在A点取得最大值，在C点取得最小值。解方程组，得C（2，1）。 z最小3（2）5（1）= 11。例题9已知正方形ABCD 对角线AC所在直线方程为 .抛物线过B，D两点 （1）若正方形中心M为（2，2）时，求点N(b,c)的轨迹方程。（2）求证方程的两实根，满足解答：（1）设 因为 B,D在抛物线上 所以两式相减得 则代入（1） 得 故点的方程是一条射线。 （2）设 同上 （1）-（2）得 （1）+（2）得 （3）代入（4）消去得 得 又即的两根满足 故。易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。例题10已知双曲线两焦点，其中为的焦点，两点A (-3,2) B (1,2)都在双曲线上，（1）求点的坐标；（2）求点的轨迹方程，并画出轨迹的草图；（3）若直线与的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数 t的取值范围。 解答：（1）由得：，故（2）设点，则又双曲线的定义得又或点的轨迹是以为焦点的椭圆除去点或除去点 图略。（3）联列：消去得 整理得：当时 得 从图可知：，又因为轨迹除去点 所以当直线过点时也只有一个交点，即或5易错原因：（1）非标准方程求焦点坐标时计算易错；（2）求点的轨迹时易少一种情况；（3）对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。例题11已知圆，圆都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。 错解：圆O2：，即为 所以圆O2的圆心为,半径, 而圆的圆心为,半径, 设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r 则且，所以 即，化简得即为所求动圆圆心的轨迹方程。剖析：上述解法将=3看成,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致。 事实上，|表示动点M到定点及的距离差为一常数3。 且,点M的轨迹为双曲线右支，方程为例题12点P与定点F（2，0）的距离和它到直线x=8的距离比是1：3,求动点P与