2010年高考数学易错典型习题专练函数与导数2.doc

高考资源网（） 您身边的高考专家2010高考数学易错典型习题专练：函数与导数典型习题导练14.（2009江西卷文）（本小题满分12分）设函数 （1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围 解：(1) , 因为, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.15.（2009江西卷理）（本小题满分12分）设函数（1）求函数的单调区间；（2）若，求不等式的解集解： (1) , 由,得 .因为 当时,； 当时,； 当时,；所以的单调增区间是:； 单调减区间是: .(2) 由 , 得：. 故：当 时, 解集是：；当 时，解集是： ；当 时, 解集是：. 16.（2009天津卷文）（本小题满分12分）设函数（）当曲线处的切线斜率（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数有三个互不相同的零点0，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。【答案】（1）1（2）在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=【解析】解：当所以曲线处的切线斜率为1. （2）解：，令，得到因为当x变化时，的变化情况如下表：+0-0+极小值极大值在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=（3）解：由题设， 所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得因为若，而，不合题意若则对任意的有则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得 综上，m的取值范围是【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。17.(2009湖北卷理)(本小题满分14分) （注意：在试题卷上作答无效） 在R上定义运算（b、c为实常数）。记，.令.如果函数在处有极什,试确定b、c的值；求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；记的最大值为.若对任意的b、c恒成立，试示的最大值。 解当得对称轴x=b位于区间之外 此时由 若于是 若，则，于是综上，对任意的b、c都有而当，时，在区间上的最大值 故对任意的b，c恒成立的k的最大值为 18.（2009四川卷文）（本小题满分12分）已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。（I）求函数的解析式；（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.【解析】（I）由已知,切点为(2,0),故有,即又，由已知得联立，解得.所以函数的解析式为 4分（II）因为令当函数有极值时，则，方程有实数解，由，得.当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值当时，有两个实数根情况如下表：+0-0+极大值极小值所以在时，函数有极值；当时，有极大值；当时，有极小值；12分19.（2009全国卷理）(本小题满分12分)设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明： 20.（2009湖南卷文）（本小题满分13分）已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.（）求b的值；（）若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。解: （）.因为函数的图象关于直线x=2对称，所以，于是 （）由（）知，.（）当c 12时，此时无极值。 （ii）当c12时，有两个互异实根,.不妨设，则2.当x时， 在区间内为增函数； 当x时，在区间内为减函数;当时，在区间内为增函数. 所以在处取极大值，在处取极小值.因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以.于是的定义域为.由 得.于是 .当时，所以函数在区间内是减函数，故的值域为 21.（2009福建卷理）（本小题满分14分）已知函数,且 (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点Q(n ,f(n), x n1时, 当x变化时，与的变化情况如下表：x+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.()由得令得由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。观察的图象，有如下现象：当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp的m正负有着密切的关联；Kmp=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；线段MP的斜率Kmp当Kmp=0时，解得直线MP的方程为 令当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。当时，.所以存在使得即当MP与曲线有异于M,P的公共点综上，t的最小值为2.（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为解法二：（1）同解法一.（2）由得，令，得由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N() () 直线MP的方程为由得线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(1,m)上有根,即函数上有零点.因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.等价于 即又因为,所以m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2.22.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）设，且曲线yf（x）在x1处的切线与x轴平行。（I） 求a的值，并讨论f（x）的单调性；（II） 证明：当 解：（）.有条件知， ，故. 2分 于是. 故当时，0； 当时，0. 从而在，单调减少，在单调增加. 6分 （）由（）知在单调增加，故在的最大值为，最小值为. 从而对任意，有. 10分 而当时，. 从而 12分23.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）已知函数f(x)=xax+(a1)，。（1）讨论函数的单调性； （2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。解：(1)的定义域为。2分（i）若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数 则由于1a5,故，即g(x)在(4, +)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有12分24.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）已知函数（I） 如，求的单调区间；（II） 若在单调增加，在单调减少，证明6. （21）解：（）当时，故 当当从而单调减少.()由条件得：从而因为所以将右边展开，与左边比较系数得，故又由此可得于是 25.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）已知函数求的单调区间； 若在处取得极值，直线y=my与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。解析：（1）当时，对，有当时，的单调增区间为当时，由解得或；由解得，当时，的单调增区间为；的单调减区间为。（2）因为在处取得极大值，所以所以由解得。由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值。因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，结合的单调性可知，的取值范围是。26.(2009陕西卷理)（本小题满分12分）已知函数，其中若在x=1处取得极值，求a的值；求的单调区间；（）若的最小值为1，求a的取值范围。 27.（2009四川卷文）（本小题满分12分）已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。（I）求函数的解析式；（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.【