2014年考研数学二真题与解析.pdf

Page 1 of 12 2014 年考研数学二真题与解析 一 选择题1 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 当 0 x时 若 lnx21 1 1 cos x 均是比x高阶的无穷小 则 的可能取值范围是 A 2 B 21 C 1 2 1 D 2 1 0 定位 无穷小比较的定义 等价无穷小代换 简单题 详解详解 当 0 x时 xxx2 2 21 ln 2 1 1 2 1 2 1 2 1 cos1 xxx 要满足题目要 求需要 1 2 1 解得 2 1 应该选 B 2 下列曲线有渐近线的是 A xxysin B xxysin 2 C x xy 1 sin D x xy 1 sin 2 定位 求渐近线的问题 属于课堂强调的基本题型 详解详解 对于选项 A 任意点上均有定义 故无铅直渐近线 lim sin x xx 不存在 故无水平渐近线 sinsin lim1lim1 xx xxx k xx 点评 某些同学到此处就得出斜渐近线存在是错误的 必须检查 b 是否存在 lim sin1 limsin xx bxxxx 不存在 故无斜渐近线 对于选项 C 1 sin 11 lim1limsin1 xx x x k xxx 11 lim sin1 limsin0 xx bxx xx 所以存在斜渐近线xy 应该选 C 3 设函数 设函数 xf具有二阶导数 具有二阶导数 xfxfxg 110 则在 则在 10上 上 A 当 当0 xf时 时 xgxf B 当 当0 xf时 时 xgxf C 当 当0 x f时 时 xgxf D 当 当0 x f时 时 xgxf Page 2 of 12 定位 此题考查曲线的凹凸性的定义及判断方法 详解详解 1 如果对曲线在区间 ba上凹凸的定义比较熟悉的话 可以直接做出判断 如果对区间上任意两 点 21 x x及常数10 恒有 1 1 2121 xfxfxxf 则曲线是凹的 点评 很多同学对上述结论感觉陌生 事实上就是同济版课后习题 P183 的 19 题 显然此题中xxx 1 0 21 则 1 21 xfxf 1 1 0 xgxfxf 而 1 21 xfxxf 故当0 x f时 曲线是凹的 即 1 1 2121 xfxfxxf 也就是 xgxf 应该选 D 详解详解 2 如果对曲线在区间 ba上凹凸的定义不熟悉的话 可令 xfxfxfxgxfxF 1 1 0 则0 1 0 FF 且 xfxF 故当0 x f时 曲线是凹的 从而0 1 0 FFxF 即0 xgxfxF 也就是 xgxf 应该选 D 详解 详解 3 结合图形进行速判 0 0 1 1 1 0 fxffxfxfxg 可视为连接点 0 0 1 1 ff 的直线的解 析 而当0 x f时 曲线是凹的 故 xgxf 应该选 D 4 曲线 14 7 2 2 tty tx 上对应于上对应于1 t的点处的曲率半径是 的点处的曲率半径是 50 10 100 10 1010 105 定位 曲率公式 多次强调数二考到的可能性很大 参数方程求导 强调过数一 数二常考 详解详解 曲线在点 xfx处的曲率公式 32 1 y y K 曲率半径 K R 1 本题中 tt t dtdx dtdy dx dy2 1 2 42 3 2 2 2 1 2 2 tt t dtdx dxdy dx yd 对应于1 t的点处13 yy 所以 1010 1 1 32 y y K 曲率半径1010 1 K R 应该选 C Page 3 of 12 5 设函数xxfarctan 若 xfxf 则 2 2 0 xx lim 1 3 2 2 1 3 1 详解详解 由于 xfxf 所以 f x f x 而 2 1 1 x xf 所以可知 x x x xf f arctan 1 1 2 解得 x xx arctan arctan 2 3 1 3 1 lim arctan arctan limlim 3 33 0 2 0 2 2 0 x xoxxx xx xx x x Taylor xx 点评 读者也可以用洛必达求此极限 点评 此题思路上要先考虑求出 2 的表达式 6 设 yxu在平面有界闭区域 D 上连续 在 D 的内部具有二阶连续偏导数 且满足0 2 yx u 及 0 2 2 2 2 y u x u 则 A yxu的最大值和最小值都在 D 的边界上取得 B yxu的最大值和最小值都在 D 的内部取得 C yxu的最大值在 D 的内部取得 最小值在 D 的边界上取得 D yxu的最小值在 D 的内部取得 最大值在 D 的边界上取得 定位 二元函数的极值与最值 有界闭区域上二元函数的最值 详解详解 yxu在平面有界闭区域 D 上连续 所以 yxu在 D 上必然有最大值和最小值 如果在内部存在驻点 00 yxP 则0 00 00 yx yx y u x u 记 2 2 2 2 2 2 00000000 yxyxyxyx xy u yx u B y u C x u A 由已知条件可知0 2 BAC 所以 00 yxP不是 yxu的极值点 当然也不是最值点 所以 yxu的最大值和最小值都在区域 D 的边界上取得 应该选 A Page 4 of 12 7 行列式 dc dc ba ba 00 00 00 00 等于 A 2 bcad B 2 bcad C 2222 cbda D 2222 dacb 定位 四阶行列式的按行 列 展开计算 详解详解 2 0 00 0 0 00 0 00 00 00 00 bcadbcadbcbcadad dc ba bc dc ba ad dc c ba b dc d ba a dc dc ba ba 应该选 B 8 设 321 是三维向量 则对任意的常数lk 向量 31 k 32 l 线性无关是向量 321 线性无关的 A 必要而非充分条件 B 充分而非必要条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 定位 向量组相关无关的判定 详解详解 若向量 321 线性无关 则 31 k 32 l K lk 10 01 321321 对任意的常数lk 矩阵K的秩 都等于 2 即列满秩 所以向量 31 k 32 l 一定线性无关 而当 0 0 0 0 1 0 0 0 1 321 时 对任意的常数lk 向量 31 k 32 l 线性无关 但 321 线性相关 故选择 A Page 5 of 12 二 填空题 本题共 6 小题 每小题 4 分 满分 24 分 把答案填在题中横线上 9 1 2 52 1 dx xx 详解详解 11 1 22 8 3 242 1 2 1 2 1 4152 1 arctan x x dx dx xx 10 设 xf为周期为 4 的可导奇函数 且 2012 xxxf 则 7f 详 解详 解 当 20 x时 Cxxdxxxf 212 2 由00 f可 知0 C 即 xxxf2 2 xf为周期为 4 奇函数 故1 1 1 7 fff 11 设 yxzz 是由方程 4 7 22 zyxe yz 确定的函数 则 2 1 2 1 dz 详解详解 设 4 7 22 zyxezyxF yz 12 22 1 22 yz z yz yx yeFyzeFF 当 2 1 yx时 0 z 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 z x F F x z 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 z y F F y z 所以 2 1 2 1 dzdydx 2 1 2 1 12 曲线L的极坐标方程为 r 则L在点 22 r处的切线的直角坐标方程为 详解详解 法一 写出曲线的参数方程 sinsin coscos ry rx 在 2 时 2 0 yx 2 sincos cossin 22 dx dy 则L在点 2 2 r处的切线方程为 0 2 2 xy 即 2 2 xy 法二 利用微分运算公式 sincos cossin sincos cossin cos sin rr rr drdr drdr rd rd dx dy 此题中 1 dr r d 所以 sincos cossin sincos cossin cos sin drdr drdr rd rd dx dy Page 6 of 12 从而 2 2 dx dy L在点 2 2 r处的切线方程为 0 2 2 xy 即 2 2 xy 点评 大家做惯了隐函数求导 参数方程求导 此题考到了极坐标方程求导 估计会有同学不适应了 13 一根长度为 1 的细棒位于x轴的区间 10 上 若其线密度12 2 xxx 则该细棒的质心坐 标 x 详解详解 质心坐标 20 11 3 5 12 11 12 2 1 0 2 1 0 23 1 0 1 0 dxxx dxxxx dxx dxxx x 14 设 二 次 型 3231 2 2 2 1321 42xxxaxxxxxxf 的 负 惯 性 指 数 是 1 则a的 取 值 范 围 是 详解详解 由配方法可知 2 3 22 32 2 31 3231 2 2 2 1321 42 42 xaxxaxx xxxaxxxxxxf 由于负惯性指数为 1 故必须要求04 2 a 所以a的取值范围是 22 三 解答题 15 本题满分 10 分 求极限 ln lim x x dttet x t x1 1 1 2 1 1 2 定位 o o 型未定式求极限 先用等价无穷小代换简化分母 然后利用洛必达法则求未定型极限 详解详解 法一 11 22 1 2 11 2 1 2 00 1 1 limlimlim 1 1 ln 1 111 limlim 22 xx tt x xxx u uu x uu tet dttet dt x ex x x x eue uu 洛必达 令 洛必达 点评 第一次洛必达后转化为 型 从而想到利用倒代换造分母 这是课堂上强调过的技巧 Page 7 of 12 法二 2 1 1 2 11 lim 1 lim 1 lim 1 1ln 1 lim 22 2 1 21 1 2 2 1 1 2 x x o xx x xex x dttet x x dttet x Taylor x x x t x x t x 点评 此方法用到了 Taylor 展开 运算量较小 非常方便 建议大家牢记常见函数的泰勒展开 比如 sin arcsin tan arctan cos ln 1 x xxxxx ex 16 本题满分 10 分 已知函数 xyy 满足微分方程 yyyx 1 22 且02 y 求 xy的极大值和极小值 详解详解 解 微分方程可转化为 2 2 1 1 y x dx dy 为一阶可分离变量的微分方程 分离变量可得dxxdyy 1 1 22 两边分别积分得通解为 Cxxyy 33 3 1 3 1 由0 2 y得 3 2 C 即233 33 xxyy 令0 1 1 2 2 y x dx dy 得1 x 且可知 32 2222 2 2 1 1 2 1 2 y xyyx dx yd 当1 x时 可解得1 y 01 y 函数取得极大值1 y 当1 x时 可解得0 y 02 y 函数取得极小值0 y 点评 把解微分方程和一元函数求极值结合在一起 给题目制造一点小难度 命题人煞费苦心啊 17 本题满分 10 分 设平面区域 0 0 41 22 yxyxyxD 计算 D dxdy yx yxx sin 22 定位 二重积分的计算 数二数三的高频考题 法一 选择恰当的坐标系 化二重为二次积分 22 2 2 01 2 2 01 sin cos sin cossin cos sin cossin D xxy dxdydrrdr xy drrdr Page 8 of 12 222 000 cossin1cossin cossincossin2cossin4 ddd 由于 上面用到结论 22 00 sin cos fdfd 出现在同济课本上册 P248 例 6 2 2 1 1 22 113 sin cossin sin 3 4 D rrdrrrr xxy dxdy xy 而 所以 法二 先利用对称性进行化简 因为若区域 D 关于yx 对称 则 DD dxdyxyfdxdyyxf 4 3 sin 2 1 1 sin 2 1 sin 2 1 sin sin 2 1 2 0 22 222222 D DDD drrrddxdy yx dxdy yx yxyx dxdy yx yxy dxdy yx yxx 18 本题满分 10 分 设 函 数 uf具 有 二 阶 连 续 导 数 cos yefz x 满 足 xx eyez y z x z 2 2 2 2 2 cos4 若 0 0 0 0 ff 求 uf的表达式 详解详解 2 22 2 cos cos cos cos cos cos xxxxxx zz ey feyey feyfey ey xx 2 22 2 sin cos sin cos cos cos xxxxxx zz ey feyey feyey fey yy 22 2 22 22 4cos cos 4 cos cos xx xxxxx zz zey e xy fey ef eyey e 所以原方程转化为 4 f ufuf uu 从而函数满足方程 对应齐次方程的通解为 uu eCeCuf 2 2 2 1 其中 21 C C为任意常数 对应非齐次方程特解可求得为uy 4 1 故方程 的通解为ueCeCuf uu 4 1 2 2 2 1 将初始条件0 0 0 0 ff代入 可得 16 1 16 1 21 CC Page 9 of 12 所以ueeuf uu 4 1 16 1 16 1 22 点评点评 此题为求函数解析式的问题此题为求函数解析式的问题 此类题型大多数是通过求微分方程的特解得到解析式此类题型大多数是通过求微分方程的特解得到解析式 此题又结合了多元函数的偏导数此题又结合了多元函数的偏导数 把复杂的把复杂的 微分方程化简为大纲要求的类型 微分方程化简为大纲要求的类型 19 本题满分 10 分 设函数 xgxf在区间 ba 上连续 且 xf单调增加 10 xg 证明 1 baxaxdttg x a 0 2 b a dttga a dxxgxfdxxf b a 详解详解 1 证明 因为1 0 xg 由定积分的性质可知 baxdtdttgdx x a x a x a 1 0 即 baxaxdttg x a 0 点评 同学们 考试中心的评分标准到此处给点评 同学们 考试中心的评分标准到此处给 3 分 这就是白送的分 这就是白送的 3 分啊分啊 2 令 x a dttga a duugufduufxF x a 点评 很多同学不知道怎么设辅助函数 事实上就是我们课堂讲过的方法 把积分上限设为点评 很多同学不知道怎么设辅助函数 事实上就是我们课堂讲过的方法 把积分上限设为 x 从而积分不等式转化为函数不等式 从而积分不等式转化为函数不等式 则可知0 aF 且 xgxfdttgafxgxF x a 因为 0axdttg x a 且 xf单调增加 0g x 所以 xfaxafdttgaf x a 从而0 xgxfdttgafxgxF x a bax 也是 xF在 ba 单调减少 则0 aFbF 即得到 b a dttga a dxxgxfdxxf b a 20 本题满分 11 分 设函数 1 0 1 x x x xf 定义函数列 1 xfxf 12 xffxf 1 xffxf nn 设 n S是曲线 xfy n 直线0 1 yx所围图形的面积 求极限 n n nS lim 详解详解 Page 10 of 12 x x x x x x xf xf xf x x xf 21 1 1 1 1 1 1 1 21 31 3 x x xf 由数学归纳法可得 1 nx x xfn 于是 2 1 0 1 0 1 0 1ln 1 1ln 1 1 1 1 1 1 1 n n nn n n dx nxn dx nx x dxxfS nn 所以1 1ln 1limlim n n nS n n n 21 本题满分 11 分 已知函数 yxf满足 12 y y f 且yyyyyfln 21 2 求曲线0 yxf所围图 形绕直线1 y旋转所成的旋转体的体积 详解详解 由 1 2 y y f 所以 2 2 xCyyyxf 其中 xC为待定的连续函数 又因为yyyyyfln 2 1 2 从而可知yyyCln 2 1 所以 21 ln 2 12 2 xxxyyyxf 其所围图形绕直线1 y旋转所成的旋转体的体积为 4 5 2ln2 ln 2 1 2 1 2 1 2 dxxxdxyV 22 本题满分 11 分 设