泰州数学小一模.doc

2015届高三模拟考试试卷(七)数学(满分160分，考试时间120分钟)20152参考公式：s2(x1)2(x2)2(xn)2，(x1x2xn)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 已知A1，3，4，B3，4，5，则AB_(第5题)2. 函数f(x)sin的最小正周期为_3. 复数z满足iz34i(i是虚数单位)，则z_4. 函数f(x)的定义域为_5. 执行如右图所示的流程图，则输出的n为_6. 若数据2，x，2，2的方差为0，则x_7. 袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为_8. 在等比数列an中，a132a60，a3a4a51，则数列的前6项和为_9. 已知函数f(x)是奇函数，则sin_10. 双曲线1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e_11. 若、是两个相交平面，则下列命题中真命题是_(填序号) 若直线m，则在平面内，一定不存在与直线m平行的直线； 若直线m，则在平面内，一定存在无数条直线与直线m垂直； 若直线m，则在平面内，不一定存在与直线m垂直的直线； 若直线m，则在平面内，一定存在与直线m垂直的直线12. 已知实数a，b，c满足a2b2c2，c0，则的取值范围为_13. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若BC且7a2b2c24，则ABC面积的最大值为_14. 在梯形ABCD中，2，|6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足40，|，Q为边AD上的一个动点，则|的最小值为_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点P(3，4)(1) 求sin的值；(2) 若P关于x轴的对称点为Q，求的值16、(本小题满分14分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EFAB，AB2EF，平面BCF平面ABCD，BFCF，点G为BC的中点求证：(1) 直线OG平面EFCD；(2) 直线AC平面ODE.17. (本小题满分14分)如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2 km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形PRQ构成，其中O为PQ的中点现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点A、B在半圆上，ABCDPQ，且AB、CD间的距离为1 km.设四边形ABCD的周长为c km.(1) 若C、D分别为QR、PR的中点，求AB的长；(2) 求周长c的最大值18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：1(ab0)的左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点若直线PQ斜率为时，PQ2.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论19. (本小题满分16分)数列an，bn，cn满足：bnan2an1，cnan12an22，nN*.(1) 若数列an是等差数列，求证：数列bn是等差数列；(2) 若数列bn，cn都是等差数列，求证：数列an从第二项起为等差数列；(3) 若数列bn是等差数列，试判断当b1a30时，数列an是否成等差数列？证明你的结论20. (本小题满分16分)已知函数f(x)lnx，g(x)axb.(1) 若函数h(x)f(x)g(x)在(0，)上单调递增，求实数a的取值范围；(2) 若直线g(x)axb是函数f(x)lnx图象的切线，求ab的最小值；(3) 当b0时，若f(x)与g(x)的图象有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：x1x22e2.(取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4)2015届高三模拟考试试卷(七)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修41：几何证明选讲)如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点B，C，连结EC.求证：DEBDCE.B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A，B，若矩阵AB1对应的变换把直线l变为直线l：xy20，求直线l的方程C. (选修44：坐标系与参数方程)已知在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为(为参数)以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(sincos)1，直线l与圆M相交于A，B两点，求弦AB的长D. (选修45：不等式选讲)已知正实数a，b，c满足abc3，求证：3.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 如图，在长方体ABCDABCD中，DADC2，DD1，AC与BD相交于点O，点P在线段BD上(点P与点B不重合)(1) 若异面直线OP与BC所成角的余弦值为，求DP的长度；(2) 若DP，求平面PAC与平面DCB所成角的正弦值记C为从i个不同的元素中取出r个元素的所有组合的个数随机变量表示满足Ci2的二元数组(r，i)中的r，其中i2，3，4，5，6，7，8，9，10，每一个C(r0，1，2，i)都等可能出现求E.2015届高三模拟考试试卷(七)(泰州)数学参考答案及评分标准1. 3，42. 3. 43i4. 2，)5. 46. 27. 8. 9. 110. 11. 12. 13. 14. 15. 解：(1) 角的终边经过点P(3，4)， sin，cos，(4分) sinsincoscossin.(7分)(2) P(3，4)关于x轴的对称点为Q， Q(3，4)(9分) (3，4)，(3，4)， 334(4)7.(14分)16. 证明：(1) 四边形ABCD是菱形，ACBDO， 点O是BD的中点 点G为BC的中点， OGCD.(3分) OG平面EFCD，CD平面EFCD， 直线OG平面EFCD.(7分)(2) BFCF，点G为BC的中点， FGBC. 平面BCF平面ABCD，平面BCF平面ABCDBC，FG平面BCF，FGBC， FG平面ABCD.(9分) AC平面ABCD， FGAC. OGAB，OGAB，EFAB，EFAB， OGEF，OGEF， 四边形EFGO为平行四边形， FGEO.(11分) FGAC，FGEO， ACEO. 四边形ABCD是菱形， ACDO. ACEO，ACDO，EODOO，EO、DO在平面ODE内， AC平面ODE.(14分)17. (1) 解：连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB， C、D分别为QR、PR的中点，PQ2， CDPQ1. PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边， ROPQ1，NORO. MN1， MO.(3分)在RtBMO中，BO1， BM， AB2BM.(6分)(2) (解法1)设BOM，0.在RtBMO中，BO1， BMsin，OMcos. MN1， CNRN1ONOMcos， BCAD，(8分) cABCDBCAD2sincos(10分)22， 当或时，周长c的最大值为2 km.(14分)(解法2)以O为原点，PQ为y轴建立平面直角坐标系设B(m，n)，m，n0，m2n21，C(m1，m)， AB2n，CD2m，BCAD.(8分) cABCDBCAD2mn(10分)22， 当m，n或m，n时，周长c的最大值为2 km.(14分)18. 解：(1) 设P， 直线PQ斜率为时，PQ2， x3， x2.(3分) 1. e， a24，b22. 椭圆C的标准方程为1.(6分)(2) 以MN为直径的圆过定点F(，0)设P(x0，y0)，则Q(x0，y0)，且1，即x2y4. A(2，0)， 直线PA的方程为y(x2)， M.直线QA的方程为y(x2)， N.(9分)以MN为直径的圆为(x0)(x0)0，即x2y2y0.(12分) x42y， x2y2y20.令y0，x2y220，解得x， 以MN为直径的圆过定点F(，0)(16分)19. 证明：(1) 设数列an的公差为d， bnan2an1， bn1bn(an12an2)(an2an1)(an1an)2(an2an1)d2dd， 数列bn是公差为d的等差数列(4分)(2) 当n2时，cn1an2an12， bnan2an1， an1， an11， an1an. 数列bn，cn都是等差数列， 为常数， 数列an从第二项起为等差数列(10分)(3) 数列an成等差数列证明如下：(证法1)设数列bn的公差为d， bnan2an1， 2nbn2nan2n1an1， 2n1bn12n1an12nan，2b12a122a2， 2nbn2n1bn12b12a12n1an1，设Tn2b122b22n1bn12nbn， 2Tn22b12nbn12n1bn，两式相减得：Tn2b1(222n12n)d2n1bn，即Tn2b14(2n11)d2n1bn， 2b14(2n11)d2n1bn2a12n1an1， 2n1an12a12b14(2n11)d2n1bn2a12b14d2n1(bnd)， an1(bnd)(12分)令n2，得a3(b2d)b1， b1a30， b1a30， 2a12b14d0， an1(bnd)， an2an1(bn1d)(bnd)d， 数列an(n2)是公差为d的等差数列(14分) bnan2an1，令n1，a12a2a3，即a12a2a30， 数列an是公差为d的等差数列(16分)(证法2) bnan2an1，b1a30，令n1，a12a2a3，即a12a2a30，(12分) bn1an12an2，bn2an22an3， 2bn1bnbn2(2an1anan2)2(2an2an1an3) 数列bn是等差数列， 2bn1bnbn20， 2an1anan22(2an2an1an3)(14分) a12a2a30， 2an1anan20， 数列an是等差数列(16分)20. (1) 解：h(x)f(x)g(x)lnxaxb，则h(x)a， h(x)f(x)g(x)在(0，)上单调递增， 对x0，都有h(x)a0，即对x0，都有a. 0， a0，故实数a的取值范围是(，0(4分)(2) 解：设切点，则切线方程为y(xx0)，即yxx0，亦即yx，令t0，由题意得att2，blnx01lnt2t1，(7分)令ab(t)lntt2t1，则(t)2t1，当t(0，1)时，(t)0，(t)在(0，1)上单调递减；当t(1，)时，(t)0，(t)在(1，)上单调递增， ab(t)(1)1，故ab的最小值为1.(10分)(3) 证明：由题意知lnx1ax1，lnx2ax2，两式相加得ln(x1x2)a(x1x2)，两式相减得lna(x2x1)，即a， ln(x1x2)(x1x2)，即ln(x1x2)ln.(12分)不妨令0x1x2，记t1，令F(t)lnt(t1)，则F(t)0， F(t)lnt在(1，)上单调递增，则F(t)lntF(1)0， lnt，则ln， ln(x1x2)ln2.又ln(x1x2)ln(x1x2)ln(x1x2)2ln， 2ln2，即ln1.令G(x)lnx，则x0时，G(x)0， G(x)在(0，)上单调递增又lneln210.851， G()ln1lne，则e，即x1x22e2.(16分)2015届高三模拟考试试卷(七)(泰州)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明： EA与圆O相切于点A.由切割线定理：DA2DBDC. D是EA的中点， DADE. DE2DBDC.(5分) . EDBCDE， EDBCDE， DEBDCE.(10分)B. 解： B， B1， AB1.(5分)设直线l上任意一点(x，y)在矩阵AB1对应的变换下为点(x，y)，则， 代入l，得(x2y)(2y)20，化简，得l：x2.(10分)C. 解：圆O：x2y24，直线l：xy10，(5分)圆心O到直线l的距离d，弦长AB2.(10分)D. 证明： 正实数a，b，c满足abc3， 3abc3， abc1，(5分) 333.(10分)22. 解：(1) 以，为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，由题意，知D(0，0，0)，A(2，0，1)，B(2，2，0)，C(0，2，1)，O(1，1，1)设P(t，t，0)， (t1，t1，1)，(2，0，1)设异面直线OP与BC所成角为，则cos，化简得21t220t40，解得t或t，DP或DP.(5分)(2) DP， P，(0，2，1)，(2，2，0)，.设平面DCB的一个法向量为n1(x1，y1，z1)