人教版数学必修一习题.doc

集合与函数单元成果测评一、选择题(本大题共8小题，每题 4分，共32分) 1. 设全集U=0，1，2，3，4，A=0，1，2，3，B=2，3，4，则等于( )A. B. 0，1 C. 0，1，4 D. 0，1，2，3，42. 下列表示图形中的阴影部分的是( )AB.C D.3.已知a，b，则满足条件的集合A的个数为( )A. 8 B. 7 C. 4 D. 34. 已知集合M=x|-1x2，N=x|xa，若，那么实数a的取值范围是( )A. a|a2 B. a|a-1 C. a|-1a1 D. a|a-15. 下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A. B. C. D. 6. 已知函数f(x)=x2-3x+2，x-1，1，则函数y=f(x2)的值域为( )A. 0，2 B. 1，6 C. 0，1 D. -1，17.为偶函数，则的值是( )A. B. C. D. 8.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A. B.C. D. 二、填空题(本大题共8小题，每题4分，共32分，请把答案填在题中横线上)9. 集合A=y|y=-x2，xR，集合，则集合AB=_.10. 已知集合A=x|2x-3|7，B=x|xa，若AB=B，则实数a的取值范围为_.11. 已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，则f(2)=_.12. 设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=x2-2x+2，则当xR时，f(x)=_.13. 函数f(x)是定义在(-3，3)上的减函数，且f(a2)f(3a+4)，则实数a的取值范围是_.14. 若函数是偶函数，则的递减区间是_.15. 已知函数，若f(x)=3，则x的值是_.16. 已知函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式(x2-1)f(x)0的解集为_.三、解答题(本大题共4小题，每题 9分，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17. 设A=x|4ax2+(a+3)x+1=0，B=x|x0，若，求实数a的取值范围。18. 已知函数f(x)=-x2+2ax-a2+1(1)若函数f(x)在区间0，2上是单调的，求实数a取值范围；(2)当x-1，1时，求函数f(x)的最大值g(a)，并画出最大值函数y=g(a)的图象。19. 已知实数，将函数f(x)=ax2-2x+1在区间1，3上的最大值和最小值分别表示为a的函数M(a)，N(a)，令g(a)=M(a)-N(a).(1)求g(a)的表达式；(2)判断函数g(a)在区间上的单调性，并求出g(a)的最小值。20. 已知，判断函数y=f(x2)+f(x)的单调性，指出其单调区间，并求该函数的值域。参考答案1.C 2.A 3.B 4.B 5.D 6.A 7.B 8.D9. -5，010. (5，+) 11. -2612. 13. 14. 15. 16. 17. 解：(1)a=0时，符合题意；(2)a0且0时，1a9；(3)；综上，a0.18. (1)(2)当a-1时，f(x)的最大值为f(-1)=-a2-2a 当-1a1时，f(x)的最大值为f(a)=1 当a1时，f(x)的最大值为f(1)=-a2+2a 所以19.解：(1)f(x)的对称轴为：，分以下两种情况讨论；当M(a)=f(3)=9a-5，当，M(a)=f(1)=a-1，综上， (2)当单调递减，当单调递增20.解： 其中 所以g(x)的值域为，分以下四种情况列表讨论如下：-2x-1-1x00x11x2g(x)的值域(-，-2)(2，+)g(x)的单调性h(x)的单调性y=hg(x)的单调性 所以所求函数的值域为.指数式大小比较方法谈 一、单调性法1.设，则（ ） 解析：，在上是增函数，故选（）二、中间量法2.比较与的大小解：，点评：中间量法是指利用性质不易比较时，运用等中间量进行比较，从而使问题获解三、分类讨论法3.比较与（，且）的大小分析：解答此题既要讨论幂指数与的大小关系，又要讨论底数与的大小关系解：（1）令，得，或 当时，有，从而有； 当时，（2）令，得，（3）令，得 当时，有，从而有； 当时，点评：分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准四、比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：若；当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可4.若，试比较与的大小解：， 又，则，又，即经典例题透析类型一、指数运算、化简、求值1.计算：(1)；(2)(3)；解：(1)原式=；(2)原式=；(3)原式=-5+6+4-(3-)=2；注意：1运算顺序(能否应用公式)；2指数为负先化正；3根式化为分数指数幂.举一反三：【变式1】计算下列各式：(1)；(2).解：(1)原式=；(2)原式.【变式2】计算下列各式：(1)；(2).解：(1)原式；(2)原式.2.化简下列各式.(1) ；(2)；(3).思路点拨：(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.解：(1)(2)(3)举一反三：【变式1】化简：(1)；(2)； (3)解：(1)原式= (2)原式=.(3)由有意义可得-a0， 则a0， a-10， 原式.注意：当n为偶数时，.【变式2】化简分析与解答：应注意到之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，原式 .总结升华：根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式3】化简下列式子：(1) (2) (3)解：(1)原式(2)由平方根的定义得：(3).【变式4】找出下面化简过程中的错误，并给出正确解法.化简.错解：原式.分析与解答：错解中在化简含分母参数的指数式时，没考虑字母参数的范围， 由于题中出现了，所以-a0，即a0则.正确解法：由于存在，所以-a0，故a-1b时， =a-b.当a=b时，=0.当ab时， .总结升华：本题在求解过程中要注意：要对所求的式子先进行化简；等式=的灵活运用.举一反三：【变式1】(1)已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值.(2)已知x+y=12， xy=9，且xy，求的值.解：(1)8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3(2) 又 x+y=12， xy=9， (x-y)2=(x+y)2-4xy=122-49=108.又 x0， b0， 且ab=ba， b=9a，求a的值.思路点拨：熟练掌握幂的运算是关键问题.解：(1)由得x+x-1=23，则有；(2)答案：；，(下略).(3)a0， b0， 又 ab=ba， .类型二、函数的定义域、值域4求下列函数的定义域、值域.(1) (2)y=4x-2x+1 (3) (4)(a为大于1的常数)解： (1)函数的定义域为R (对一切xR，2x-1). ，又 2x0， 1+2x1， ， ， ， 值域为(0，1).(2)定义域为R， 2x0， 即 x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数， 值域为).(3)定义域为R，|x|0， -|x|0， ， 值域为(0，1.(4) 定义域为(-，-1)1，+)，又 ， ， 值域为1，a)(a，+).总结升华：求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y0的条件， 第(4)小题中不能遗漏.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1) (2)(3) (4)解：(1)R(2)需满足3-x0，即(3) 为使得函数有意义，需满足2x-10，即2x1，故x0(4)a1时，；0a1时，.总结升华：本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.类型三、指数函数的单调性及其应用5(利用指数函数的单调性比较大小)判断下列各数的大小关系：(1)1.7a与1.7a+1；(2)0.8-0.1与0.8-0.2；(3)(4)22.5，(2.5)0，(5)1.080.3与0.983.1 (6)解：(1) 1.7a1，所以函数y=1.7x为单调增函数，又因为aa+1，所以1.7a1.7a+1.(2)0.8-0.110.983.1 (6)a1时， 0a1时，总结升华：(1)注意利用单调性解题的规范书写；(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)；(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是0和1).举一反三：【变式1】比较大小：(1)22.1与22.3 (2)3.53与3.23 (3)0.9-0.3与1.1-0.1 (4)0.90.3与0.70.4(5).思路点拨：1辅助函数单调性； 2数形结合； 3搭桥找一个中介值.解：(1)22.122.3(2)3.533.23.观察两函数值，底数不同，而指数不变不是指数函数，而是y=x3，它为增函数.(3)由0.9-0.3，00.91， -0.31， 1.11， -0.1001.1-0.11.1-0.1；(4)由指数函数图象相对位置关系数形结合，0.90.30.70.4.(5)，又函数为减函数， ， ， 为增函数，时，y1，.另解：幂函数为增函数，则有，(下略).【变式2】比较1.5-0.2， 1.30.7， 的大小.解：先比较的大小.由于底数(0，1)， 在R上是减函数， ， ，再考虑指数函数y=1.3x， 由于1.31， 所以y=1.3x在R上为增函数1.30.71.30=1， .总结升华：在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0，1等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.6求函数(x-3，2)的单调区间，并求出它的值域.解：令， 则， x-3，2， ， ， 值域为，57， 再求单调区间.(1) 即 即x1，2时，是单调减函数， 是单调减函数，故是单调增函数.(2)即即x-3，1时，是单调减函数， 是单调增函数，故是单调减函数， 函数的单调增区间是1，2，单调减区间是-3，1.总结升华：形如y=Aa2x+Bax+C(a0，且a1)的函数若令ax=u，便有y=Au2+Bu+C，但应注意u0.举一反三：【变式1】求函数的值域及单调区间.思路点拨：1复合函数分解为：u=-x2+3x-2， y=3u；2利用复合函数单调性判断方法求单调区间；3求值域.解：设u=-x2+3x-2， y=3u，其中y=3u为R上的单调增函数，u=-x2+3x-2在上单增，u=-x2+3x-2在上单减，则在上单增，在上单减.又u=-x2+3x-2， 的值域为.【变式2】(复合函数的单调性)求函数的单调区间.解：当a1时，外层函数y=au在上为增函数，内函数u=x2-2x在区间上为减函数，在区间上为增函数，故函数上为减函数，在区间上为增函数；当0a0，且a1，当x满足什么条件时，y11时，为使得y1y2，需满足2x2-3x+1x2+2x-5即：2x3；当0a1时，为使得y1x2+2x-5，即x3.9证明函数在定义域上为增函数.解：定义域为xR，任取x11， x1x2， ， ， f(x1)1且x2-x10， .总结升华：指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数.因此，在学习中，尽量体会从一般到特殊的过程.类型四、判断函数的奇偶性10判断下列函数的奇偶性： (j(x)为奇函数)解：f(x)定义域关于原点对称(j(x)定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是j(x)定义域除掉0这个元素)，令，则 g(x)为奇函数， 又 j(x)为奇函数， f(x)为偶函数.举一反三：【变式1】判断函数的奇偶性：.思路点拨：1函数的定义域x|xR且x0； 2计算f(-x)等价形式.解：定义域x|xR且x0，又， f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数.类型五、指数函数的图象问题11为了得到函数的图象，可以把函数的图象()A向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度思路点拨：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断解：，把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选C总结升华：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等12已知函数f(x)=ax+b的图象过点(1，3)，且将其图象关于直线y=x翻折后图象过点(2，0)，求函数f(x)的解析式解：因为函数f(x)=ax+b的图象过点(1，3)，所以a+b=3又因为其图象关于直线y=x翻折后图象过点(2，0)，所以函数f(x)=ax+b的图象过点(0，2)，得b=1所以a=2所以函数f(x)的解析式为y=2x+1.学习成果测评基础达标一、选择题： 1.化简，结果是（ ）A. B. C. D.2.等于（ ）A.B. C. D. 3.若，且，则的值等于（ ）A. B. C. D.24.函数在R上是减函数，则的取值范围是（ ）A.B. C. D.5.下列函数式中，满足的是( )A. B.C.D.6.下列是（ ）A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数7.已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)； (5)中恒成立的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.函数是（ ）A.奇函数 B.偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数9.函数的值域是（）A. B. C. D.10.已知，则函数的图像必定不经过（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.是偶函数，且不恒等于零，则( )A.是奇函数 B.可能是奇函数，也可能是偶函数C.是偶函数 D.不是奇函数，也不是偶函数12.一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（ ）A.B.C.D.二、填空题：13.若，则_.14.函数的值域是_.15.函数的单调递减区间是_.16.若，则_.三、解答题：17.设，解关于的不等式.18.已知，求的最小值与最大值.19.设，试确定的值，使为奇函数.20.已知函数，求其单调区间及值域.21.若函数的值域为，试确定的取值范围.22.已知函数，(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明是上的增函数.能力提升1. 某甲以每股17.25元购进股票一万股，一年后以每股18.96元抛售，该年银行月利率是，按月计复利，试问某甲在买股票与存入银行之间何者获利较大？2.某种产品的成本原来是万元，近几年来，由于搞技术创新，降低了能耗，使得该产品的成本每年平均比上一年降低了试画出成本随时间变化的函数图象，并从图中求出多少年后该产品成本降为原来的一半以下综合探究1.某工厂今年月，月，月生产某产品分别为万件，万件，万件为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份数的关系模拟函数可以选二次函数或函数（其中，为常数）已知月份该产品的产量为万件，请问，用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由答案与解析基础达标一、选择题 题号123456789101112答案ACCDDBCADAAD二、填空题13. 14.，令， ， 又为减函数，.15.，令， 为增函数， 的单调递减区间为.16. 0，三、解答题：17.， 在上为减函数， ， .18.， ， . 则当，即时，有最小值；当，即时，有最大值57.19.要使为奇函数， ，需， ，由， 得，.20.令，则是关于的减函数，而是上的减函数， 上的增函数，在上是增函数，而在上是减函数， 又， 的值域为.21.，依题意有 即， 由函数的单调性可得.22.（1）定义域为，且是奇函数；（2）即的值域为；（3）设，且， (分母大于零，且) 是上的增函数.能力提升1. 答案：存入银行获利较大解：只需考虑每股的情形，即抛售一股每年可获利：（元）而存入银行获利：（元），故存入银行获利较大2.答案：年后该产品成本降为原来的一半以下解析：设经过年，成本为，由题意得，即根据这个函数关系式，可以列表如下：10.890.7920.7050.6270.5580.497画出指数函数的图象，从图上可以看出，要使，只需，即年后该产品成本降为原来的一半以下 综合探究1.答案：用函数作为模拟函数较好解析：设，则，解得，再设，则，解得，经比较可知，用作为模拟函数好对数与对数函数撰稿：江用科 审稿：严春梅 责编：张杨一、目标认知学习目标1. 掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数；2. 掌握对数函数的概念、图象和性质.重点对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用；理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.难点正确使用对数的运算性质；底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.二、知识要点梳理知识点一、对数及其运算我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算对数运算.(一)对数概念:1. 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底 数，N叫做真数.2. 对数恒等式：3. 对数具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即；(2)1的对数为0，即；(3)底的对数等于1，即.(二)常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e为底的对数叫做自然对数， .(三)对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.(四)积、商、幂的对数已知(1)； 推广：(2)；(3).(五)换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a0， a1， M0的前提下有:(1) 令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即:.(2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 即， 即，即当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:.知识点二、对数函数1. 函数y=logax(a0，a1)叫做对数函数.2. 在同一坐标系内，当a1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0a1时，对数函数的图 象随a的增大而远离x轴.(见图1)(1)对数函数y=logax(a0，a1)的定义域为(0，+)，值域为R(2)对数函数y=logax(a0，a1)的图像过点(1，0)(3)当a1时，三、规律方法指导容易产生的错误(1)对数式logaN=b中各字母的取值范围(a0 且a1， N0， bR)容易记错.(2)关于对数的运算法则，要注意以下两点：一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：loga(MN)=logaMlogaN，loga(MN)=logaMlogaN，loga.(3)解决对数函数y=logax (a0且a1)的单调性问题时，忽视对底数a的讨论.(4)关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a， N同侧时，logaN0；当a，N异侧时，logaN0经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1.将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1) (2) (3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值2求值： 解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，cR+，且不等于1，N0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3.已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式1】求值(1) (2)lg2lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2lg50+(lg2)2 解：(1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明： .【变式4】已知：a2+b2=7ab，a0，b0. 求证：.证明： a2+b2=7ab， a2+2ab+b2=9ab，即 (a+b)2=9ab， lg(a+b)2=lg(9ab)， a0，b0， 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb 2lg(a+b)-lg3=lga+lgb即 .类型四、换底公式的运用4.(1)已知logxy=a， 用a表示； (2)已知logax=m， logbx=n， logcx=p， 求logabcx.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底. 方法一：am=x， bn=x， cp=x ， ； 方法二：.举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1)；(2)；(3)法一： 法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5.求值(1) log89log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 举一反三：【变式1】求值：解：另解：设 =m (m0). ， ， ， lg2=lgm， 2=m，即.【变式2】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=?解： ，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6. 求下列函数的定义域：(1)； (2).思路点拨：由对数函数的定义知：x20，4-x0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x20，即x0，所以函数；(2)因为4-x0，即x4，所以函数.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y= (2) y=ln(ax-k2x)(a0且a1，kR).解：(1)因为， 所以， 所以函数的定义域为(1，)(，2).(2)因为 ax-k2x0， 所以()xk. 1当k0时，定义域为R； 2当k0时， (i)若a2，则函数定义域为(k，+)； (ii)若0a2，且a1，则函数定义域为(-，k)； (iii)若a=2，则当0k1时，函数定义域为R；当k1时，此时不能构成函数， 否则定义域为.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为-1，1，求y=f(log2x)的定义域.思路点拨：由-1x1，可得y=f(x)的定义域为，2，再由log2x2得y=f(log2x)的定义域为，4.类型七、函数图象问题7作出下列函数的图象：(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.解：(1)如图(1)； (2)如图(2)； (3)如图(3). 类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：比较大小；解不等式；判断单调性；求单调区间；求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.8. 比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)loga5.1，loga5.9(a0且a1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4log28.5； 解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.48.5，所以log23.4log28.5； 解法3：直接用计算器计算得：log23.41.8，log28.53.1，所以log23.4log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.82.7，所以log0.31.8log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小. 解法1：当a1时，y=logax在(0，+)上是增函数，且5.15.9，所以，loga5.1loga5.9当0a1时，y=logax在(0，+)上是减函数，且5.15.9，所以，loga5.1loga5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=loga5.1，则，令b2=loga5.9，则当a1时，y=ax在R上是增函数，且5.15.9所以，b1b2，即当0a1时，y=ax在R上是减函数，且5.15.9所以，b1b2，即.举一反三：【变式1】若logm3.5logn3.5(m，n0， 且m1， n1)，试比较m ，n的大小.解：(1)当m1， n1时，3.51，由对数函数性质：当底数和真数都大于1时，对同一真数， 底数大的对数值小，nm1.(2)当m1，0n1时，logm3.50， logn3.50， 0n1m也是符合题意的解.(3)当0m1，0n1时，3.51，由对数函数性质，此时底数大的对数值小， 故0mn1. 综上所述，m，n的大小关系有三种：1mn或0n1m或0mn1.9. 证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1x2 则 又y=log2x在上是增函数 即f(x1)f(x2) 函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(logax)=(a0且a1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=logax(xR+， tR).当a1时，t=logax为增函数，若t1t2，则0x1x2， f(t1)-f(t2)=， 0x1x2， a1， f(t1)f(t2)， f(t)在R上为增函数，当0a1时，同理可得f(t)在R上为增函数. 不论a1或0a1， f(x)在R上总是增函数.10求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4. y=t为减函数，且0t4， y=-2，即函数的值域为-2，+.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+30，即-1x3. t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在1，3)上递减，而y=t为减函数. 函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为1，3.类型九、函数的奇偶性11. 判断下列函数的奇偶性.(1) (2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行. 解：由 所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称 又 所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由 所以函数的定义域为R关于原点对称 又 即f(-x)=-f(x)；所以函数.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型十、对数函数性质的综合应用12已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+10的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是. 解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+10的解集为R， 当a=0时，此不等式变为2x+10，其解集不是R； 当a0时，