2013年高考文理科数学数列练习题.doc

等差数列1递推关系与通项公式是数列成等差数列的充要条件。2等差中项：若成等差数列，则称的等差中项，且；成等差数列是的充要条件。3前项和公式 ； 是数列成等差数列的充要条件。4等差数列的基本性质反之，不成立。仍成等差数列。5判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：是等差数列中项法：是等差数列通项公式法：是等差数列前项和公式法：是等差数列等比数列1 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为。2 递推关系与通项公式3 等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件。4 前项和公式5 等比数列的基本性质， 反之不真！ 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。 仍成等比数列。6 等比数列与等比数列的转化 是等差数列是等比数列； 是正项等比数列是等差数列； 既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。7 等比数列的判定法定义法：为等比数列；中项法：为等比数列； 通项公式法：为等比数列；前项和法：为等比数列。一求数列的最大、最小项的方法：1、比差法： 2、比商法： ()3、利用函数的单调性： 研究函数的增减性二数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。1、分组法求数列：通项虽然不是等差等比数列，但通过拆分可以化为由等差、等比的和的形式，再分别用公式法求和。例：已知数列的通项为：，求2、错位相减法：利用等比数列前项和公式的推导方法求解，一般可解决一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和。说明：（1）一般地，如果数列是等差数列，是等比数列且公比为，求数列的前项和时，可采用这一思路和方法。具体做法是：乘以常数，然后错位相减，使其转化为等比数列问题求解。要善于识别题目类型，特别是当等比数列部分中公比为负数的情形更值得注意。（2）在写出“”与“”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“”的表达式；3、裂项相消法：将数列的通项裂成两项之差求和时，正负相消，剩下首尾若干若。常见裂项有：、4、倒序相加法：利用等差数列前项和公式的推导方法求解，将数列正着写，倒着写再相加。典例精析一、 错位相减法求和例1：求和： 解： 由得：点拨：若数列是等差数列，是等比数列，则求数列的前项和时，可采用错位相减法； 当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论； 当将与相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。二、 裂项相消法求和例2：数列满足=8， （） 求数列的通项公式；则所以，=8（1）（2）102 对一切恒成立。故的最大整数值为5。点拨：若数列的通项能转化为的形式，常采用裂项相消法求和。 使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项。典例精析例一：已知正项数列的前项和为，的等比中项， 求证：数列是等差数列； 若，数列的前项和为，求 在的条件下，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，试求出；若不存在，说明理由。解：的等比中项， 所以数列是等差数列。 所以当且仅当3+=0，即=3时，数列 为等比数列。通项与前n项和的关系任意数列的前n项和；注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：（1）求，（2）求出当n2时的，（3）如果令n2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.题型一 归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 7，77，777，7777，1，3，3，5，5，7，7，9，9解析：将数列变形为，将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，。可得数列的通项公式为点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。题型二 应用求数列通项例2已知数列的前项和，有，求其通项公式.解析：当，当又不适合上式，故 经典例题精析类型一：迭加法求数列通项公式1在数列中，求.解析：，当时， ，将上面个式子相加得到：（），当时，符合上式故.例：已知数列，求.【答案】类型二：迭乘法求数列通项公式2设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.解析：由题意，又，当时，当时，符合上式.例：在数列中，求.【答案】类型三：倒数法求通项公式3数列中，,，求.思路点拨：对两边同除以得即可.解析：，两边同除以得，成等差数列，公差为d=5，首项，.例：数列中，,，求.【答案】.类型四：待定系数法求通项公式4已知数列中，求.解：设，解得即原式化为设，则数列为等比数列，且例：已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.【答案】，设，则，即，数列是以为首项，3为公比的等比数列，. .类型五：和的递推关系的应用5已知数列中，是它的前n项和，并且,.(1)设,求证：数列是等比数列；(2)设，求证：数列是等差数列；(3)求数列的通项公式及前n项和.解析：（1）因为，所以 以上两式等号两边分别相减，得 即，变形得 因为，所以 由此可知，数列是公比为2的等比数列. 由, 所以, 所以, 所以.（2），所以 将代入得 由此可知，数列是公差为的等差数列，它的首项， 故.（3），所以 当n2时， 由于也适合此公式， 故所求的前n项和公式是.例：若,()，求.【答案】当n2时，将代入, , 整理得 两边同除以得（常数） 是以为首项，公差d=2的等差数列， ， .1在正整数100至500之间能被11整除的个数为（）A34B35C36D372在数列an中，a1=1，an+1=an21（n1），则a1+a2+a3+a4+a5等于（）A1B1C0D23an是等差数列，且a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39，则a3+a6+a9的值是（）A24B27C30D334等差数列an中，已知a1=6，an=0，公差dN*，则n（n3）的最大值为（）A5B6C7D85设an=n2+10n+11，则数列an从首项到第几项的和最大（）A第10项B第11项C第10项或11项D第12项6已知等差数列an的公差为正数，且a3a7=12，a4+a6=4，则S20为（）A180B180C90D90设函数f（x）满足f（n+1）=（nN*）且f（1）=2，则f（20）为（）A95B97C105D192由公差为d的等差数列a1、a2、a3重新组成的数列a1+a4， a2+a5， a3+a6是（）A公差为d的等差数列B公差为2d的等差数列C公差为3d的等差数列D非等差数列考查等差数列的性质已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是（ ）A B C D 10数列的通项公式,若此数列满足(),则的取值范围是A, B, C, D,11等差数列,的前项和分别为,若,则=A, B, C, D,12三个数成等比数列，且，则的取值范围是 （ ） （A） （B） （C） （D）13在数列an中，a1=1，an+1=（nN*），则是这个数列的第_项14在等差数列an中，已知S100=10，S10=100，则S110=_15在9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为21的等差数列，则n=_16等差数列an，bn的前n项和分别为Sn、Tn，若=，则=_17已知函数 （1）求的反函数，并指出其定义域； （2）若数列an的前n项和Sn对所有的大于1的自然数n都有，且a1 =1，求数列an的通项公式； （3）令18已知数列an满足 （1）求证：an为等比数列； （2）记为数列bn的前n项和，那么：当a=2时，求Tn；当时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由.19已知数列an的前n项和为Sn，且 （）求证：数列为等差数列；（）求满足的自然数n的集合.20已知数列为等差数列，其前n项和为 （I）若成立，并将其整合为一个等式； （II）一般地，若存在正整数k，使，我们可将（I）中的结论作相应推广，试写出推广后的结论，并推断它是否正确.21已知数列满足递推式，其中 （）求； （）求数列的通项公式； （）求数列的前n项和.22已知等差数列，公差d大于0，且是方程的两个根，数列的前n项和为。（1）求数列、的通项公式；（2）记创新试题1. 在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列.求点的坐标；设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：.2. 设数列an的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式 3tSn(2t+3)Sn1=3t(t0,n=2,3,4) (1)求证 数列an是等比数列；(2)设数列an的公比为f(t)，作数列bn，使b1=1,bn=f()(n=2,3,4)，求数列bn的通项bn；(3)求和 b1b2b2b3+b3b4+b2n1b2nb2nb2n+11【答案】C解析：观察出100至500之间能被11整除的数为110、121、132、它们构成一个等差数列，公差为11，数an=110+（n1）11=11n+99，由an500，解得n364，nN*，n362【答案】A解析：由已知：an+1=an21=（an+1）（an1），a2=0，a3=1，a4=0，a5=13【答案】D解析：a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9成等差数列，故a3+a6+a9=23945=334【答案】C解析：an=a1+（n1）d，即6+（n1）d=0n=+1dN*，当d=1时，n取最大值n=75【答案】C解析：由an=n2+10n+11=（n+1）（n11），得a11=0，而a100，a120，a7a3a7=2，a3=6，从而得a1=10，d=2，S20=1807【答案】B解析：f（n+1）f（n）=相加得f（20）f（1）=（1+2+19）f（20）=95+f（1）=978【答案】B 解析：（a2+a5）（a1+a4）=（a2a1）+（a5a4）=2d（a3+a6）（a2+a5）=（a3a2）+（a6a5）=2d依次类推9【答案】D 解析： 设三边为则，即 得，即10【答案】D 解析：1由,恒成立,有,得。11【答案】B 解析： 2。12【答案】D解析：设，则有。当时，而，；当时，即，而，则，故。13【答案】6解析：由已知得=+，是以=1为首项，公差d=的等差数列=1+（n1），an=，n=614【答案】110解析：S100S10=a11+a12+a100=45（a11+a100）=45（a1+a110）=90a1+a110=2S110=（a1+a110）110=11015【答案】5解析：21=，n=516【答案】解析：=17解：（1）定义域为： （2）又而a1 = 1符合上式，故 （3）18解：1）当n2时， 整理得所以an是公比为a的等比数列.（4分）（2）当a=2时，两式相减，得（9分）因为1a0，所以：当n为偶数时，当n为奇数时，所以，如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数.当所以所以当当故存在正整数m=8，使得对于任意正整数n都有19解：（）为首项，1为公差的等差数列. （）由（）知，当 由，解得，而故所求n的集合为6. 20解：（I）；对任意 （II）推广：设等差数列的前n项和为Sn，若存在正整数k，使则对任意设的公差为故推广后的结论正确.21解：（1）由知解得：同理得 （2）由知构成以为首项以2为公比的等比数列；为所求通项公式 （3）22解：（1）设的公差为d，由题意得：（2）创新试题答案1解：（1）（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：把代入上式，得，的方程为：。，=2解 (1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)(2t+3)=3t a2= 又3tSn(2t+3)Sn1=3t，3tS