数学北师大版八年级下册因式分解公式法.doc

八年级数学因式分解教学设计课题2.3.1 运用公式法第 1 课时教学目的1、使学生了解运用公式法分解因式的意义；2、使学生掌握用平方差公式分解因式.3、使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.4、通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.5、训练学生对平方差公式的运用能力.6、在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.教学重点让学生掌握运用平方差公式分解因式.教学难点将单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.教学方法教具教学过程备 注一、创设问题情境,引入新课在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法公式法.二、新课讲解1.请看乘法公式（a+b）（ab）=a2b2 （1）左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是a2b2=（a+b）（ab） （2）左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？符合因式分解的定义，因此是因式分解.对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.2.公式讲解请大家观察式子a2b2,找出它的特点.是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.如x216=（x）242=（x+4）（x4）. 9 m 24n2=（3 m ）2（2n）2=（3 m +2n）（3 m 2n）3.例题讲解例1把下列各式分解因式：（1）2516x2; （2）9a2b2.解：（1）2516x2=52（4x）2 （2）9a2b2=（3a）2（b）2=（5+4x）（54x） =（3a+b）（3ab）.=（3a+b）（3ab）.例2把下列各式分解因式:（1）9（m+n）2（mn）2; （2）2x38x.解：（1）9（m +n）2（mn）2=3（m +n）2（mn）2=3（m +n）+（mn）3（m +n）（mn）=（3 m +3n+ mn）（3 m +3nm +n）=（4 m +2n）（2 m +4n）=4（2 m +n）（m +2n）（2）2x38x=2x（x24）=2x（x+2）（x2） 说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.补充例题：判断下列分解因式是否正确.（1）（a+b）2c2=a2+2ab+b2c2.（2）a41=（a2）21=（a2+1）（a21）.解：（1）不正确.本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.（2）不正确.错误原因是因式分解不到底，因为a21还能继续分解成（a+1）（a1）.应为a41=（a2+1）（a21）=（a2+1）（a+1）（a1）.三、课堂练习（一）随堂练习1.判断正误（1）x2+y2=（x+y）（xy）;（2）x2y2=（x+y）（xy）;（3）x2+y2=（x+y）（xy）;（4）x2y2=（x+y）（xy）.2.把下列各式分解因式（1）a2b2m2 （2）（ma）2（n+b）2 （3）x2（a+bc）2 （4）16x4+81y4（二）补充练习：把下列各式分解因式（1）36（x+y）249（xy）2;（2）（x1）+b2（1x）;（3）（x2+x+1）21.四.课时小结我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.五.课后作业 习题2.4六.活动与探究把（a+b+c）（bc+ca+ab）abc分解因式解：（a+b+c）（bc+ca+ab）abc=a+（b+c）bc+a（b+c）abc=abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2abc=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2=（b+c）a2+bc+a（b+c）=（b+c）a2+bc+ab+ac=（b+c）a（a+b）+c（a+b）=（b+c）（a+b）（a+c）板书设计1. 复习乘法公式 2. 例题1 3. 例题24. 随堂练习1. 2. 3.5. 课时小结课后作业布置作业习题2.41 . 2课后反思课题2.3.2 运用公式法第 2课时教学目的1、使学生会用完全平方公式分解因式。2、使学生学习多步骤，多方法的分解因式。3、在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力。4、通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力。教学重点让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.教学难点让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.教学方法教具教学过程备 注一、创设问题情境，引入新课因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？在前面我们不仅学习了平方差公式（a+b）（ab）=a2b2而且还学习了完全平方公式（ab）2=a22ab+b2本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.二、讲授新课1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2=（a+b）2;a22ab+b2=（ab）2.便得到用完全平方公式分解因式的公式.请大家互相交流，找出这个多项式的特点.从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.左边的特点有（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.右边特点：这两数或两式和（差）的平方.用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.形如a2+2ab+b2或a22ab+b2的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.练一练.下列各式是不是完全平方式？（1）a24a+4; （2）x2+4x+4y2;（ 3）4a2+2ab+b2; （4）a2ab+b2;2.例题讲解例1把下列完全平方式分解因式：（1）x2+14x+49; （2）（m+n）26（m +n）+9.分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.解：（1）x2+14x+49=x2+27x+72=（x+7）2（2）（m +n）26（m +n）+9=（m +n）22（m +n）3+32=（m +n）32=（m +n3）2.例2把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2;（2）x24y2+4xy.分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“”号，然后再用完全平方公式分解因式.解：（1）3ax2+6axy+3ay2=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2（2）x24y2+4xy=（x24xy+4y2）=x22x2y+（2y）2=（x2y）2三、课堂练习1.随堂练习见书本2.补充练习：把下列各式分解因式：（1）（x+y）2+6（x+y）+9; （2）+n2;（3）4（2a+b）212（2a+b）+9; （4）x2yx4四.课时小结这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：（1）要求多项式有三项.（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式.五.课后作业 习题2.5六.活动与探究写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式.分析：本题属答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：含字母a和b；三项式；提公因式后，再用公式法分解.参考答案：4a3b4a2b2+ab3=ab（4a24ab+b2）