函数与导数专题练习题.doc

函数与导数一主要数学思想：分类讨论、形数结合、构建应用、函数与方程等。常见讨论：就导数的正负、就系数、就判别式、就根的大小、就对称轴的位置，等等。构建应用：这里主要是指构建出一个函数，把问题转化为考察函数的性质（如最值）来解决，如参数范围中的变量分离法。多个变数时，可利用拼凑、同除等手段构建成某一整块的函数，如。函数与方程：方程解的个数、解的范围等，转化为函数图象的交点个数及范围，反之亦然。二主要解题思路：定义域求导导数的正负？列表判断练习：1（分式函数型）已知函数（1）当时求函数的最小值；（2）若对任意恒成立，试求实数的取值范围。2（三次函数型）设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数.若函数满足下列条件：；对一切实数，不等式恒成立.（）求函数的表达式；（）求证：.3（对数函数+ -次函数型）设函数 （）求函数的极值点； （）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围； （）证明：.4已知（）（）讨论的单调性；（）证明：（，其中无理数）5设,函数.(1) 若，求曲线在处的切线方程；(2) 若无零点,求实数的取值范围；(3) 若有两个相异零点,求证: .6（对数+二次函数型）设函数，其中为常数。（1）当时，求函数的单调区间；（2）证明：对任意不小于的正整数，不等式都成立。7已知函数，（）求证：；（）若恒成立，求实数的值；（）设（）有两个极值点、（），求实数的取值范围，并证明：8、设函数，其中()当判断在上的单调性()讨论 的极值点9（对数+分式型）已知函数（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（2）若函数在上的最小值为3，求实数的值10已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3 求实数的值；若，且对任意恒成立，求的最大值。11（对数+对勾型）已知函数R, . (1) 求函数的单调区间； (2) 若关于的方程为自然对数的底数)只有一个实数根, 求的值.12（乘积型）已知函数，在点处的切线方程是（为自然对数的底）。（1）求实数的值及的解析式；（2）若是正数，设，求的最小值；（3）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.13已知函数，直线与的图象相切（1）求实数a的值；（2）若方程上有且仅有两个解；求实数b的取值范围； 比较的大小14（抽象函数型）已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有。（1）解不等式；（2）若对所有、恒成立。求实数的取值范围。答案 1（分式型）已知函数（）当时求函数的最小值；（）若对任意恒成立，试求实数的取值范围。解：（）当a=时,f(x)=x+,x1,+) f(x)在1,+)上单调递增, 当x=1时f(x)的最小值为. （）当任意x1,+)时，函数f(x)=0恒成立不等式x2+2x+a0对 x1,+)恒成立。 由x2+2x+a0，得 ax22x，令g(x)= x22x=(x+1)2+1 ，则g(x)在 1,+)上递减，当x=1是g(x)最大=3，因此 ，a3 2（三次型）设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数.若函数满足下列条件：；对一切实数，不等式恒成立.（）求函数的表达式；（）求证：.（）解：由已知得：. 由为偶函数，得为偶函数， 显然有. 2分 又，所以，即 又因为对一切实数恒成立，即对一切实数，不等式恒成立 显然，当时，不符合题意. 当时，应满足 注意到 ，解得. 所以.（）证明：因为，所以要证不等式成立,即证. 因为 所以.所以成立. 3（对数函数+一次函数型）设函数 （）求函数的极值点； （）当p0时，若对任意的x0，恒有，求p的取值范围； （）证明：.解：（1）， 当 上无极值点当p0时，令的变化情况如下表：x(0，)+0极大值从上表可以看出：当p0 时，有唯一的极大值点 （）当p0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，要使恒成立，只需， p的取值范围为1，+ （）令p=1，由（）知， 结论成立 4、已知（）（）讨论的单调性；（）证明：（，其中无理数）解：（）当时，由得在单调递增，在单调递减。当且的判别式，即时，对恒成立。在上单调递减。 当时，由得：解得： 由可得：或在上单调递增，在上单调递减。综上所述：当时，在单调递增，在单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减。（）由（）当时，在上单调递减。当时 ，即5、设,函数.(1) 若，求曲线在处的切线方程；(2) 若无零点,求实数的取值范围；(3) 若有两个相异零点,求证: .解：方法一在区间上,. （1）当时，则切线方程为，即（2）若,则,是区间上的增函数, ,函数在区间有唯一零点若,有唯一零点若,令得: .在区间上, ,函数是增函数;在区间上, ,函数是减函数;故在区间上, 的极大值为.由即,解得:. 故所求实数a的取值范围是. 方法二、函数无零点方程即在上无实数解 令，则 由即得： 在区间上, ,函数是增函数;在区间上, ,函数是减函数;故在区间上, 的极大值为. 注意到时，；时；时，故方程在上无实数解.即所求实数a的取值范围是. 注:解法二只说明了的值域是,但并没有证明.(3) 设,原不等式令,则,于是设函数, 求导得: 故函数是上的增函数, 即不等式成立,故所证不等式成立. 6、（对数+二次函数型）设函数，其中为常数。（1）当时，求函数的单调区间；（2）证明：对任意不小于的正整数，不等式都成立。解：（1）当时，函数，此时有惟一极小值点， 则当时，所以在上为减函数，当时，所以在上为增函数（2）由（1）知时，函数，有惟一极小值点，且时，所以在上为减函数。因为当时，所以恒有即恒有。所以当时恒有成立令函数，则，所以当时，又在处连续，所以时为增函数因为当时，所以，即，所以，综上可知，当时不等式都成立 7、已知函数，（）求证：；（）若恒成立，求实数的值；（）设（）有两个极值点、 （），求实数的取值范围，并证明：解：（）G(x) , 在上递减，在上递增 （） 所以的必要条件是，得当时，由(1)知恒成立。 所以（），有两个极值点、等价于方程在上有两个不等的正根 得 （方法1）由得， （） 设，得，所以 （方法2）由得，又所以 得所以 所以 8、设函数，其中()当判断在上的单调性()讨论 的极值点解：(理)由题设函数定义域是函数 ()当时，式的的，又在上的单调递增 ()（1）当时，由()知，在上的单调递增，故无极值点（2）当时，由解得，此时当或时，当时， 当时，时，在上单减，在上单增，为极小值点，无极大值点当时，当或时，时，在上单减，在和上单增，为极大值点，为极小值点综上，时，为极小值点，无极大值点；时，为极大值点，为极小值点；时，无极值点9、（对数+分式型）已知函数（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（2）若函数在上的最小值为3，求实数的值解：（1），在上是增函数，0在上恒成立，即在上恒成立令，则在上是增函数，1所以实数的取值范围为（2）由（1）得，若，则，即在上恒成立，此时在上是增函数所以，解得（舍去）若，令，得当时，所以在上是减函数，当时，所以在上是增函数所以，解得（舍去）若，则，即在上恒成立，此时在上是减函数所以，所以综上所述，10、已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3求实数的值；若，且对任意恒成立，求的最大值。解：（1）因为，所以因为函数的图像在点处的切线斜率为3，所以，即所以（2）由（1）知，所以对任意恒成立，即对任意恒成立令， 则，令， 则，所以函数在上单调递增因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足当，即，当，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增所以所以 故整数的最大值是311、已知函数R, . (1) 求函数的单调区间； (2) 关于的方程为自然对数的底数)只有一个实数根, 求的值.(1)解: 函数的定义域为. . 当, 即时, 得,则. 函数在上单调递增. 当, 即时, 令 得,解得. () 若, 则. , ,函数在上单调递增 ()若,则时, ;时, ,函数在区间上单调递减, 在区间上单调递增.综上所述, 当时, 函数的单调递增区间为; 6分当时, 的减区间为, 增区间为 (2) 解: 由, 得, 化为.令, 则.令, 得.当时, ; 当时, .函数在区间上单调递增, 在区间上单调递减.当时, 函数取得最大值, 其值为.而函数,当时, 函数取得最小值, 其值为 当, 即时, 方程只有一个根12、已知函数，在点处的切线方程是（e为自然对数的底）。（1）求实数的值及的解析式；（2）若是正数，设，求的最小值；（3）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.解：（1）依题意有；故实数（2）， 的定义域为 增函数减函数（3）由(2)知对一切恒成立故实数的取值范围13、（三次函数+对数函数