高等数学(上册)第3章(2)习题答案_吴赣昌_人民大学出版.pdf

4 求下列函数的最大值 最小值 1 3128 24 x xxy 2 20 cossin x xy 3 151 x xxy 4 21 1ln 2 xy 知识点知识点 导数的应用 思路思路 求函数 xf在闭区间上最值的基本方法是先求0y 的点或者 y 不存在的点 然后求这些点处 的函数值及其闭区间端点处的函数值 比较函数值 最大的即是 xf在该闭区间上的最大值 最小的即 是 xf在该闭区间上的最小值 解解 1 在 31 上令 3 4160yxx 得0 1 x 2 2 x 5 1 y 2 0 y 14 2 y 11 3 y 比较可得3128 24 x xxy的最小值为14 2 y 最大值为11 3 y 2 在 20 上 令cossin0yxx 得 4 1 x 4 5 2 x 1 0 y 2 4 y 2 4 5 y 1 2 y 比较可得 20 cossin x xy 的最小值为2 4 5 y 最大值为2 4 y 3 在 15 上 2 11 0 2 1 x y x 得 4 3 x 65 5 y 4 5 4 3 y 1 1 y 比较可得151 x xxy的最小值为65 5 y 最大值为 4 5 4 3 y 4 在 21 上令 2 2 0 1 x y x 得0 x 2ln 1 y 0 0 y 5ln 2 y 比较可得 21 1ln 2 xy 的最小值为0 0 y 最大值为5ln 2 y 5 求下列数列的最大项 1 n n 2 10 2 n n 知识点知识点 导数的应用 思路思路 求数列 nf的最大项最小项问题可转化为求函数 xf在区间 1 内的最值问题 若 0 xx 为 xf在区间 1 内的最小值点 则 0 xfnf 与 1 0 xfnf中最小的一个为数 列 中 的 最 小 项 若 0 xx 为 xf在 区 间 1 内 的 最 大 值 点 则 0 xfnf 与 1 0 xfnf中最大的一个为数列中的最大项 解解 设 x x xf 2 10 则在区间 1 内 令 9 10 ln2 0 2x xx fx 得唯一驻点 2ln 10 x 由 822 9020 ln2ln 2 2x xxx fx 得 8 10 ln2 10 10 10 ln2 0 ln2 2 f 或者说 当 10 ln2 x 时 0fx 当 10 ln2 x 时 0fx 2ln 10 x为 x x xf 2 10 在区间 1 内唯一的极大值点 也是最大值点 14 2ln 10 14 2ln 10 且1003231 2 15 2 14 15 10 14 10 当14 n时 n n 2 10 取得最大项 2 设 x xxf 1 则在区间 1 内 令 1 2 1 ln 0 x x fxx x 得唯一驻点ex 当ex 0时 有0y 当ex 时 有0y ex 为 x xxf 1 在区间 1 内唯一的极大值点 也是最大值点 2 e 31 e 且 6 3 28 1 93 当3 n时 n n取得最大项 6 从一个边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形 然后按虚线把四边折起来做成一个 无盖的盒子 见图 问要截去多大的小方块 才能使盒子的容量最大 知识点知识点 求最值问题 思路思路 根据题意建立数学函数模型 根据实际意义 确定自变量范围 在所确定的范围上求最值 特别地 xf在某个区间内可导且只有一个驻点 0 x 且 0 x是函数 xf的极值点 则当 0 xf是极大值时 0 xf就是 xf在该区间上的最大值 当 0 xf是极小值时 0 xf就是 xf在该区间上的最小 值 xf在某个区间内可导且只有一个驻点 0 x 且 xf在该区间上确实存在最值 则 0 xf就是 xf在该区间上的最值 解解 设截去的小正方形的边长为x 则根据题意 得 2 2 xaxxV 2 0 a x 令0 6 2 xaxa dx dV 得 2 a x 舍去 6 a x 3 27 2 6 0 2 0 0 a a V a VV 可得 当一个边长为a的正方形的四角上截去一块边长为 6 a 的小方块 才能使盒子的容量最大 7 欲制造一个容积为V的圆柱形有盖容器 问如何设计可使材料最省 解解 设圆柱形容器的底为r 高为h 则表面积 2 22 r rhS 又h rV 2 得 r r r V rS02 2 2 令 2 2 40 V S r r r 得唯一的驻点 3 2 V r 又由 3 4 4 V S r r 知 3 2 120 V r S r 3 2 V r 为 rS的极小值点 也是最小值点 x a 图 3 5 6 当 3 2 V r rh2 时 可使材料最省 即圆柱形容器的底和半径相等时 可使材料最省 8 从一块半径为R的圆片中应切去怎样的扇形 才能使余下的部分卷成的漏斗 见图853 容 积为最大 解解 设漏斗的半径为r 高为h 容积为V 根据题意 得 R r 2 R h 2 4 22 从而有 20 24 4 3 1 2 2223 2 R h rV 令 3222 2 4 0 24 R V 得0 舍去 3 8 舍去 3 8 漏斗的最大容积确实存在 即 V 2 0 最大值确实存在 又 V 2 0 的驻点唯一 3 8 时 V 2 0 取得最大值 即当切去圆心角为 3 8 2 的扇形时 余下的 部分卷成的漏斗容积最大 9 设有重量为kg5的物体 置于水平面上 受力F的作用而开始移动 见图953 设磨擦系 数250 问力F与水平线的交角 为多少时 才可使力F的大小为最小 解解 根据题意 得 FP F sin cos 从而有 2 0 sincos P F 即 2 0 25sin 0cos 25 1 F 令 25sin 0cos f 则由 sin0 25cos0f 得 f在 2 0 内唯一的驻点 250arctan 5 2 25sin 0 2 cos 25 1 2 F 25 1 25sin0 0cos0 25 1 0 F 且213 1 an 0 25 25sin arct 0 0 25 cos arctan 25 1 25 0 arctan F 力F与水平线的交角 250arctan 时 才可使力F的大小为最小 10 有一杠杆 支点在它的一端 在距支点m 10处挂一重量为kg49的物体 加力于杠杆的另一端 使杠杆保持水平 见图1053 如果杠杆的线密度为kg m5 求最省力的杆长 解解 设杠杆长为x 则根据题意和力的平衡关系 得 2 51049 x x xF 即 0 2 594 x x x xF 令 2 22 4 9559 8 0 22 x F x xx 0 x 得唯一的驻点41 5 89 x 最省力的杠杆长确实存在 当杠杆长m x41 时最省力 11 光源S的光线射到平面镜Ox的哪一点再反射到点A 光线所走的路径最短 见图 1153 解解 设入射点为xM OM 则S所走的路程 0 2222 xx bxaMASMy 令 2222 0 x x y axb x 得y在区间 0 内的唯一驻点 ba a x 0 最短的距离确实存在 当入射点M在Ox上的点为 ba a x 0 时 光源S的光线所走的路径最短 容易验证 此时入射角 记为 等于反射角 记为 即 a x ba b ba a b x tantan 00 此为著名的光的反射定律 A b S a x 图 3 5 11 MO x F 0 1m kg49 图 3 5 10 F kgP5 图 3 5 9 O R 图 3 5 8 12 甲船以每小时20里的速度向东行驶 同一时间乙船在甲船正北82里处以每小时16里的速度 向南行驶 问经过多少时间两船距离最近 解解 设两船的距离为S 且经过t小时两船距离最近 则根据题意得 0 20 1682 22 ttttS 令 22 6561312 0 82 16 20 t S t tt 得 tS在区间 0 内唯一的驻点2 t 两船最短的距离确实存在 2 t时 22 82 16 20 0 S tttt 取得最小值 即经过 2小时后两船距离最近 内容概要内容概要 名称 主要内容 3 6 3 6 函 数图形 的描绘 渐近线的概念 1 水平渐近线 若函数 xfy 的定义域是无穷区间 且Cxf x lim 则称直线 Cy 为曲线 xfy 的水平渐近线 2 铅直渐近线 若函数 xfy 在 0 x处间断 且 lim 0 xf xx 则称直线 0 xx 为曲 线 xfy 的铅直渐近线 3 斜渐近线 设函数 xfy 若0 lim baxxf x 则称baxy 为 xfy 的斜渐近线 其中 lim 0 limaxxfba x xf a xx 注 若 x xf x lim 不存在 或虽然它存在但 limaxxf x 不存在 则 xfy 不存在斜 渐近线 函数图形描绘的步骤 1 确定函数 xf的定义域 求出函数的一阶导数 fx 和二阶导数 fx 2 求出 fx 和 fx 的全部零点 xf的间断点 fx 和 fx 不存在的点 用这些 点把函数定义域划分成若干个部分区间 3 确定在这些部分区间内 fx 和 fx 的符号 并由此确定函数的增减性和凹凸性 极值 点和拐点 4 确定函数图形的渐近线以及其他变化趋势 5 算出 fx 和 fx 的全部零点及其不存在时的点所对应的函数值 并在坐标平面内描出 相应的点 有时适当补充一些辅助点 根据以上步骤画出函数大致图形 习题习题 3 3 6 6 1 求下列曲线的渐近线 1 x ey 1 2 x e y x 1 3 x exy 知识点知识点 渐近线的概念 思路思路 求出函数 xf定义域 在间断点处或无穷大时 讨论 xf的极限情况 用以求出 f x的水平 渐近线和垂直渐近线 讨论 x xf axxf 无穷大时的极限 用以求出斜渐近线 解解 1 x ey 1 的定义域为 0 0 x x e 1 0 lim 1lim 1 x x e 0 x为铅直渐近线 1 y为水平渐近线 容易验证该函数没有斜渐近线 2 x e y x 1 的定义域为 1 1 x e x x 1 lim 1 0 1 lim x e x x 1 x为铅直渐近线 0 y为水平渐近线 容易验证该函数没有斜渐近线 3 x exy 的定义域为 e x x x lim 函数不存在铅直渐近线及水平 渐近线 而a x ex x x 1lim baxex x x 0 lim xy 为函数 x exy 的斜渐近线 2 描绘下列函数的图形 1 1 2 2 2 x x y 2 2 1x x y 3 1 4 3 2 x x y 4 xxy 3 5 x x y ln 知识点知识点 函数的性质及导数的应用 思路思路 根据函数的定义域 周期性 奇偶性 单调性和极值 凹凸性和拐点 渐近线及其关键点的坐标 描绘函数图形 解解 1 1 1 2 2 2 x x y的定义域为 1 11 1 2 令 22 2222 4 1 224 0 1 1 x xxxx y xx 得 驻点0 x 1 x时 y 不 存在 2 23 124 0 1 x y x 无解 3 现列表讨论其单调性和极值 凹凸性和拐点 x 1 1 01 0 10 1 1 fx 不存在 0 不存在 fx 不存在 不存在 xf 不存在 极 大 值点 不存在 4 1 2 lim 2 2 1 x x x 1 2 lim 2 2 1x x x 1 2 lim 2 2 1x x x 1 2 lim 2 2 1 x x x 2 1 2 lim 2 2 x x x 1 x为铅直渐近线 2 y为水平渐近线 容易验证 函数 1 2 2 2 x x y没有斜渐近线 5 根据以上讨论 可描绘出函数 1 2 2 2 x x y的图形如下 注注 也可以利用函数的奇偶性 只讨论函数在 1 10 内的情况 描绘出此区间上函数图形 然 后再利用图像的对称性 将函数图形补充完整 0 11 2 x y 图 3 6 2 1 2 1 2 1x x y 的定义域为 2 令 22 2222 121 0 1 1 xxxx y xx 得驻点1 21 x 令 3 23 26 0 1 xx y x 得 3 43 x 0 5 x 3 2 1x x y 为奇函数 在 0 内列表讨论其单调性和极值 凹凸性和拐点 x 10 1 31 3 3 fx 0 fx 0 xf 极大点 2 1 1 f 拐点 4 3 3 f 4 0 1 lim 2 x x x 0 y为水平渐近线 容易验证 函数 2 1x x y 没有斜渐近线 5 根据以上讨论和函数 2 1x x y 的奇偶性 可描绘出该函数的图形如下 3 1 1 4 3 2 x x y的定义域为 1 1 2 令 2 3 1 0 4 1 xx y x 得驻点1 1 x 3 2 x 1 3 x时 y 不存在 3 8 0 4 1 y x 无解 0 1 3 1 2 4 3 x y 图 3 6 2 2 3 现列表讨论其单调性和极值 凹凸性和拐点 x 1 1 1 1 1 1 3 3 3 fx 0 不存 在 0 fx 不存 在 xf 极大点 不存 在 极小 点 4 1 4 3 lim 2 1 x x x 1 4 3 lim 2 1 x x x 1 x为铅直渐近线 容易验证 函数 1 4 3 2 x x y没有水平渐近线 而a xx x x 4 1 1 4 3 lim 2 4 5 4 1 1 4 3 lim 1 4 3 lim 22 x x x ax x x xx 4 5 4 1 xy为斜渐近线 又0 3 2 1 ff 5 根据以上讨论 可描绘出该函数的图形如下 4 1 xxy 3的定义域为 3 2 令 163 30 2 32 3 x yxx xx 得驻点2 x 3 2 x时 y 不存在 4 5 4 1 xy 1 1 3 4 5 5 2 x 0 y 图 3 6 2 3 3 2 1 3 3 63 312 2 3 0 2 3 4 3 xx x x y x x 在 3 上无解 3 现列表讨论其单调性和极值 凹凸性和拐点 x 2 2 2 3 3 fx 0 不存在 fx 不存在 xf 极大值 点 0 4 容易验证 函数xxy 3没有渐近线 又0 0 0 3 2 2 fff 5 根据以上讨论 可描绘出该函数的图形如下 5 1 x x y ln 的定义域为 0 2 令 2 1 ln 0 x y x 得驻点ex 1 令 3 2ln3 0 x y x 得 2 3 2 ex 3 现列表讨论其单调性和极值 凹凸性和拐点 x 0 e e 2 3 e e 2 3 e 2 3 e fx 0 fx 0 23 0 x y 图 3 6 2 4 xf 极大值 点 拐点 4 x x x ln lim 0 0 ln lim x x x 0 x为铅直渐近线 0 y为水平渐近线 函数无斜渐近线 5 根据以上讨论 可描绘出该函数的图形如下 内容概要内容概要 名称 主要内容 3 7 3 7 曲率 弧微分计算公式 dxyds 2 1 其中 xss 为弧函数 其性质为单调增加 曲率计算公式 设曲线方程为 xfy xf具有二阶导数 则曲线 xfy 在点x处 的曲率计算公式为 2 3 2 1 y y K 1 曲率圆与曲率半径 设曲线 xfy 在点 yxM处的曲率为 0 KK 在点M处 的曲线的法线上 在凹的一侧取点D 使得 K DM 1 以D为圆心 为半径 的圆成为曲线在点M处的曲率圆 曲率圆的圆心D称为曲线在点M处的曲率圆心 曲率 圆的半径 称为曲线在点M处的曲率半径 2 xfy 在点 yxM处的曲率圆的圆心记为 则其计算公式为 2 2 1 1 y y y y yy x 0 e 2 3 e 1 e 2 3 2 3e x y 图 3 6 2 5 习题习题 3 3 7 7 1 求曲线xyln 的最大曲率 知识点知识点 曲率的计算公式及最值的应用 思路思路 根据曲率计算公式 计算函数的导数及其二阶导数 代入公式 得关于x的曲率函数 然后求该函 数的最大值 便得原来函数的最大曲率 最小值便为原来函数的最小曲率 解解 1 y x 2 1 y x 得函数 xyln 在x处的曲率为 2 333 22 222 2 1 0 1 1 1 1 yx x K xx yx x 下面求 0 K xx 的最大值 由 2 355 222 222 13 21 2 0 1 2 1 1 xx K xx xxx 得 2 2 x 舍去 2 2 x 当 2 0 2 x 时 0K x 当 2 2 x 时 0K x 当 2 2 x 时 xK在 0 内取得极大值 22 23 3 K 也是 xK在 0 内的最 大值 即曲线xyln 的最大曲率为 33 2 2 求抛物线23 2 xxy在点1 x处的曲率和曲率半径 知识点知识点 曲率和曲率半径的计算公式 思路思路 利用曲率及曲率半径的公式即可 解解 23yx 2y 函数23 2 xxy在x处的曲率和曲率半径分别为 33 22 22 2 1 1 23 y K x yx 1 xK xR 将1 x分别代入 xK xR中 得曲率和曲率半径为 2613 1 K 2613 R 3 计算摆线 cos1 sin tay tt ax 在 2 t 处的曲率 解解 222 sin 1 1 cos ttt dyy tt dxx tt 22 22 222 sin1cos 1 cos sin11 1 cos 1 cos 1 cos ttt d ytttt dxtx ttata 在 2 t 处的曲率为 33 2 22 1 2 4 1 1 1 ya K a y 4 曲线弧 0 sin xxy 上的哪一点处的曲率半径最小 求出该点处的曲率半径 知识点知识点 同 1 思路思路 同 1 解解 cosyx sinyx 得函数xysin 在x处的曲率半径为 33 22 22 1 1 1 cos 0 sin yx R xx K xyx R x和ln R x的单调性一致 可通过求ln R x的最值得到 R x的最值 2 3 ln ln 1 cos lnsin 0 2 R xxxx 22 22 32cos sincoscos 3sin1 cos ln 0 21 cossin 1 cos sin xxxxxx R x xxxx 得唯一的驻点 2 x 当 2 0 x 时 ln 0R x 当 x 2 时 ln 0R x 当 2 x 时 ln R x也是 R x在 0 内取得极小值1 2 R 也是 xR在 0 内的最小 值 即曲线弧 0 sin xxy 在 2 x 处的曲率半径最小 且该点处的曲率半径为1 2 R 注注 此题也可通过求曲率 K x的最大值点和最大值得到结果 5 求曲线 1ln 2 xxy 在 00 处的曲率 解解 1 1 1 0 2 0 xx x dx dy 0 1 0 2 3 2 0 2 2 xx x x dx yd 曲线 1ln 2 xxy 在 00 处的曲率为 33 2 22 0 0 1 1 1 y K y 6 汽车连同载重共t 5 在抛物线拱桥上行驶 速度为km h 621 桥的跨度为m10 拱的矢高为 m 250 求汽车越过桥顶时对桥的压力 知识点知识点 曲率在物理中的应用 思路思路 根据题意 利用数学知识 结合物理问题 建立数学模型 解解 取桥顶为原点 垂直向下为y轴正向 则抛物线方程为 0 2 aaxy 从而桥端点坐标为 2505 在抛物线上 010 5 250 2 a 2 010 x y 0 0 0 0 02y y 顶点处抛物线的曲率半径 3 2 2 0 1 050 x y R y 利用物理知识 得顶点处汽车的离心力 3600 6060 10621 50 105 2 332 N R mv F 得汽车越过桥顶时对桥的压力为FmgG 945400360089105 3 N 7 求曲线xyln 在其与x轴的交点处的曲率圆方程 知识点知识点 曲率圆的概念和计算公式 思路思路 先根据曲率半径公式 计算曲率圆半径 然后再根据渐屈线的方程求曲率圆的圆心 得出曲率圆方 程 解解 xyln 与x轴的交点为 01 11 1 1 xx y x 11 2 1 1 xx y x 3 2 2 1 2 2 1 y K y 曲率圆的半径为22 1 K R 又由渐屈线方程的参数方程得 2 10 10 2 10 10 1 3 1 2 yy x y y y y 即曲率圆的圆心为 23 从而曲线xyln 在其与x轴的交点处的曲率圆方程为8 2 3 22 yx 8 求曲线pxy2 2 的渐屈线方程 知识点知识点 渐屈线的概念 思路思路 根据渐屈线的参数方程公式求方程 解解 由pxy2 2 得22yyp p y y 2 23 pyp y yy 2 1 yy x y p py yp ypyp p y 2 23 1 2 22 32 22 223 232 1 1 yp yy yy ypyp 即所求渐屈线的参数方程为 2 3 22 2 23 p y p py y为参数 总习题三总习题三 1 证明下列不等式 1 设10 nba 证明 11 banababanb nnnn 2 设0 ba 证明 b ba b a a ba ln 知识点知识点 拉格朗日中值定理 思路思路 关键是寻找 xfy 用公式 f bf a f ba 当确定了 f 的范围 即可定 f bf a ba 的范围 从而证明结论 证明证明 设 n f xx 易见 f x在 b a连续 在 b a可导 且 1 n fxnx 由拉格朗日中 值定理可知 至少存在一 b a 使 f af bf 即b an ba nnn 1 又 0ba ab 故 11 banababanb nnnn 2 设 xf在 10 上可导 且1 0 xf 对于任何 10 x 都有 1fx 试证 在 10 内 有且仅有一个数 使 f 知识点知识点 零点定理 罗尔中值定理或者单调性的应用 思路思路 从结论出发构造辅助函数 利用零点定理证明存在性 利用反证法和罗尔中值定理证明唯一性 或 者是利用单调性证明唯一性 证明证明 1 存在性 设 F xf xx 易见函数在 10 上连续 且 0 0 0Ff 1 1 10Ff 由零点定理可知 至少存在一点 0 1 使 0F 即 f 2 唯一性 假设存在另一点 0 1 使 f 则 F x在 上连续 在相应开区间内可导 且 0FF 由罗尔定理可知 至少存在某 1 0 使 0F 从而 10f 1f 这与1 xf 矛盾 故有且仅有一个数 使 f 3 若ba 时 可微函数 xf有 0 0 0f af b f a f b 则方程 0fx 在 a b内 A 无实根 B 有且仅有一实根 C 有且仅有二实根 D 至少有二实根 知识点知识点 极限的保号性 零点定理 罗尔中值定理 思路思路 根据保号性及零点定理 可得 xf在 a b内有零点 再两次利用中值定理便得结论 解解 由 0f a 得 ax afxf ax 0 lim 根据保号性 知0 0 2 0 b a 当 0 axa 时 有 ax afxf 0 从而有0 afxf 取 00 a ax 则有0 0 xf 同理 由 0f b 可知 0 1 2 1 b a 当bx b 1 时 有0 bfxf 取 11 b bx 则有0 1 xf 由零点定理 至少有一点 10 x x 使0 f 易知 xf在 a b在上连续 在 a b内可导 由罗尔中值定理 知至少有一点 1 a 2 b 使得 1 0f 2 0f 故选 D 4 设 xf于 0 上连续 于 0 内可导 求证 存在 0 使得 cotf f 知识点知识点 罗尔定理 思路思路 设置辅助函数 使其满足罗尔定理 解解 设 s i nFxf xx 则 F x在 0 上连续 在 0 内可导 且00sin 0 0 fF 0sin f F 即 0 FF 由罗尔定理 至少存在一 0 0F 即 sin cos0ff 又sin0 0 故 f fcot 注注 辅助函数可通过如下推导获得 cos cot sin fxx fxf xx f xx ln lnsin f xx ln sin 0 sin 0f xxf xx 设 sinF xf xx 5 设 xf在 10 上连续 在 10 可导 且1 1 0 0 ff 试证 对任意给定的正数a b在 10 内存在不同的 使 ab ab f f 知识点知识点 拉格朗日中值定理 思路思路 证明在 a b至少存在不相等的 满足某种关系式 一般不构造辅助函数 而是依据结论中 各部分的特点分别利用微分中值定理 证明证明 显然 10 ba a 又由 xf在 10 上连续 且1 1 0 0 ff 根据介值定理 至少存在一点 10 使 ba a f 易知 xf在 0 1 上满足拉格朗日中值定理 从而存在 1 0 分别使 0 0 a f f f f ab 1 1 1 1 1 a ff ff ab 2 将 1 2 两式相加 消去 即得 ab ab f f 6 设 xf在 a b上连续 在 a b内可导 证明 在 a b内存在点 和 使 2 ab f f 知识点知识点 同 5 思路思路 同 5 证明证明 易知 xf 2 xxg 在 a b上满足柯西中值定理 从而 a b 使得 22 2 f bf af ba 1 又由朗格朗日中值定理知 a b 使得 f bf a f ba 2 由 1 2 两式相比得 1 1 2 f baf 即 2 ab f f 7 证明多项式axxxf 3 3 在 10 上不可能有两个零点 知识点知识点 罗尔中值定理 思路思路 反证法 解解 假设axxxf 3 3 在 10 上有两个零点 12 x x 不妨设 12 xx 易知 f x在 12 x x上连续 在 12 x x上可导 且 12 0 0f xf x 由罗尔定理 至少存在一 12 0 1 x x 使得 0f 即 2 330 但 2 330 0 1 矛盾 故多项式axxxf 3 3 在 10 上不可能有两个零点 8 设 xf可导 试证 xf的两个零点之间一定有函数 f xfx 的零点 知识点知识点 拉格朗日中值定理 思路思路 对于证明至少有一点 a b 使得0 f 一般从结论出发 构造辅助函数 F x 然后 根据具体的条件使用零点定理 证明 0F 或者使用罗尔中值定理 证明 0F 0 1 fx f xfxf xfx f x ln ln 0 0 xx f xxf x ef x e 故可构造辅助函数 x exfxF 证明证明 设 xf的两个零点 12 x x 不妨设 12 xx 再令 x exfxF 易知 xF在 21 x x上 连续 在 21 x x内可导 又0 21 xfxf 从而0 21 xFxF 由罗尔中值定理知 至少有一点 21 x x 使得 0F 又 xxx F xfx ef x efxf x e 从而有 e0f f 0 e 0f f 结论成立 9 设0 12 1 3 12 1 n aa a nn 证明方程 0 12cos 3coscos 21 xnaxaxa n 在 2 0 内至少有一个实根 知识点知识点 罗尔中值定理 思路思路 构造辅助函数 证明辅助函数有驻点 证明证明 设 12n sin3xsin 2n 1 x a sinxaa 321 f x n 易知 f x在 0 2 上连续 在 2 0 上可导 且 0 0f n 1 2n 1 aa a 1 0 232n 1 f 由罗尔中值定理知 至少存在 0 2 使得 0f 又 12 coscos3cos 21 n fxaxaxanx 故 0 12cos 3coscos 21 xnaxaxa n 在 2 0 内至少有一个实根 10 设在 1 上处处有 0fx 且 1 2 1 3f f 证明在 1 内方程 0 xf仅有一实根 知识点知识点 零点定理及其函数的单调性 思路思路 利用零点定理 或者证明0 xf有实根 再利用函数单调性证明根唯一 证明证明 由泰勒公式得 22 1 1 1 1 35 1 22 f f f xffxxxx 在 1 上处处有 0fx 2 1 0 2 f x 从而53 xxf 取2 0 x 则有 2 3 2510f 又02 1 f 由零点定理知 21 使得0 f 根的存在性成立 下证唯一性 在 1 上处处有 0fx fx 在 1 上单调递减 从而在 1 上 有 1 3fxf xf在 1 上严格单调递减 从而0 xf仅有一实根 11 设 xf在 21 上具有二阶导数 fx 且0 1 2 ff 若 1 xfxxF 证 明 至少存在一点 21 使得 0F 知识点知识点 罗尔中值定理 思路思路 证明至少存在一点 a b 使得0 f n 的命题 可考虑连续n次使用罗尔中值定理 证明证明 由题意可知 xF在 21 上连续 在 21 上可导 且 0 2 1 FF 由罗尔定理 至少存在 21 使得 0F 又 1 F xf xxfx 由题意 F x 在 1 上连续 在 1 上可导 且 1 1 00Ff 即 1 0FF 由罗尔定理 至少存在 21 1 使得 0F 12 设函数 xf在 a b上可导 且 0fafb 则在 a b内存在一点 使得 0f 知识点知识点 费马引理 思路思路 可导的极值点必为驻点 所以证明在 a b内存在极值点即可 证明证明 0fafb 不妨设 0fa 0fb lim0 xa f xf a fa xa 由极限的保号性知 0 1 当 1 axa 时 有0 ax afxf 即有 afxf 1 同理由 0fb 知 0 2 当bx b 2 时 有0 bx bfxf 即有 bfxf 2 易知 xf在 a b上连续 从而 xf在 a b上必有最值 且由 1 2 知 xf的最小值点 必在 a b内取得 设为 则由费马引理知 0f 结论成立 13 用洛必达法则求下列极限 1 xx x x cossec 1ln lim 2 0 2 2 tan 1 lim 1 x x x 3 2ln 1 1 1 lim 1 xx x 4 x x x x cos1 1 0 sin lim 5 x x x ex 1 0 sinlim 6 2 1 0 sin lim x x x x 知识点知识点 洛必达法则 思路思路 注意洛必达法则的适用范围 该法则解决的是未定型的极限问题 基本形式为 0 0 型与 型未定 式 对于这种形式可连续使用洛必达法则 对于 型与 0型的未定式 可通过通分或者取倒数的 形式化为基本形式 对于 0 0型 1型与 0 型的未定式 可通过取对数等手段化为未定式 此外 还可 以结合等价无穷小替换 两个重要的极限 换元等手段使问题简化 解解 1 1 sincos2 2 lim cos1 lim cos1 1ln cos lim cossec 1ln lim 0 2 2 0 2 2 0 2 0 xx x x x x xx xx x xxxx 2 x x x x x x x x xxxx 2 2 sin 2 1 lim 2 cos 1 lim 2 cos 2 sin 1 lim 2 tan 1 lim 1111 3 2 111 1 1 2ln lim 11ln 1 1 2ln lim 2ln 1 1 1 lim x xx xx xx xx xxx 2 1 2 1 2 1 lim 1 2 1 2 1 lim 11 xx x x x xx 4 x xx x x x xx x x x x x x x eee x x 1 sin cos 0 2 1 lnsinln 0 sin ln cos1 1 0 cos1 1 0 limlimlim sin lim 2 3 1 3 sin 0 sincos 0 sin sincos 0 232 limlimlim eeee x xx x x xxx x xx xxx x 5 方法一方法一 2 sin cos 0 ln sin 1 0 1 0 limlim sinlimeeeex x x x ex ex x ex x x x x x 方法二方法二 x ex ex x x x x x x x exex 1sin 1sin 1 0 1 0 1 sin1 lim sinlim 又eex x ex x x 1sin 1 0 1 sin1 lim 2limlimlim 1 0 sin 0 x 1sin 0 x e x x x x ex x xx 故 2 1 0 sinlimeex x x x 6 xx xxx x x xx x x x xx x x x eee x x sin2 sincos 0 2 1 sin cos 0 lnsinln 0 1 0 222 limlimlim sin lim 6 1 6 sin 0 2 sincos 0 23 limlim eee x xx x x xxx x 14 设lim x fxk 求 limxfaxf x 知识点知识点 拉格朗日中值定理 思路思路 结论中含有函数改变量 可联想到利用中值定理求得结论 解解 由朗格朗日中值定理得 f xaf xf a 介于x与ax 之间 从而有 lim lim lim xx f xaf xf af ak a 15 当a与b为何值时 0 3sin lim 23 0 b x a x x x 知识点知识点 极限和洛必达法则 思路思路 根据题意和已有的结论得关于a与b等式 求得a与b的值 解解 由题意知b x axx x 3 0 3sin lim 在该式左边应用洛必达法则可得 b x ax x 2 0 3 3cos3 lim 上式成立 必须 0 3cos3 lim 0 ax x 故3 a 代入上式后 左边再应用洛必达法则 得 b x x x x x 2 9 6 39 6 3sin9 lim 0 从而有3 a 2 9 b 16 设 11 1ln xxxf 由拉格朗日中值定理得 x 10 0 使得 1 ln 1 ln 1 0 1 xx x 证明 0 1 lim 2 x 知识点知识点 拉格朗日中值定理 思路思路 根据已知条件 求出 的表达式 再利用求极限的方法求出极限 证明证明 由题意知 1ln 1ln xx xx 2 000 ln 1 ln 1 limlimlim ln 1 xxx xxxx xxx 00 1 1 1 1 limlim 22 1 2 xx x x xxx 17 设 xf在0 0 x的某个邻域内有二阶导数 且 3 1 0 1 lime x xf x x x 求 0 0 0 f f f 知识点知识点 导数的定义 思路思路 求抽象函数在具体某一点处的导数值 根据题意和导数定义 分别求出各阶导数值 解解 由 3 1 0 1 lime x xf x x x 可得0 lim 0 x xf x 从而0 lim 0 xf x xf在0 0 x的某个邻域内有二阶导数 有0 lim 0 0 xff x 从而有 00 0 0 limlim 0 xx f xff x f xx 0 再由 3 2 0 1 0 2 2 2 1 lim 1 lime x xfx x xf x x xfx xfx x x x x 知 2 2 00 2 limlim3 2 xx xf xxfx xx 0 lim4 x fx x 从而有 00 0 0 limlim4 0 xx fxffx f xx 18 求xexf x cos 的三阶麦克劳林公式 知识点知识点 麦克劳林公式 思路思路 利用公式直接展开 解解 10cos 0 0 ef 0 0 cossin 1 x x fexx 0 0 2sin0 x x fex 0 0 2 sincos 2 x x fexx xexf x cos4 4 从而得xexf x cos 的三阶麦克劳林公式为 4 234 0 0 0 0 2 3 4 fff x f xffxxxx 10 6 cos 3 1 1 43 x xe xx x 19 证明 10 1 16 8 1 2 1 11 2 5 3 2 x x xxx 证明证明 设xxf 1 则1 0 f 0 11 0 22 1 x f x 3 2 0 11 0 1 44 x fx 5 2 3 1 8 fxx 从而有 23 0 1 0 0 2 3 ff x xffxxx 10 1 16 8 1 2 1 1 2 5 3 2 x x xx 20 设 2 0 x 证明 2 cos1 22 x x x 知识点知识点 麦克劳林公式的应用 思路思路 泰勒公式 麦克劳林公式 可以应用于证明不等式 将函数展开到适当的形式 然后利用已知条件 和结论得到结果 证明证明 由麦克劳林公式 得 10 4 cos 2 1cos 4 2 x xx x 从而有 24 cos 2 1 24 cos 2 cos1 224 2 x x xx xx x 2 0 x 2 24 cos 2 1 x x 1 3 1 96 32 96 10 96 48 9696 48 2 24 1 2 1 2 2 又0 4 cos 4 x x 有 2 cos1 22 x x x 结论成立 21 证明不等式 2 0 1 sin2 x x x 知识点知识点 导数的应用 思路思路 拉格朗日中值定理 函数单调性 泰勒公式等都是常用的证明不等式的方法 根据此题特点 可以 用拉格朗日中值定理或函数单调性的判定定理 证明证明 方法一方法一 令 1 sin x x xF 0 2 0 x x 则易知 xF在 2 0 上连续 当 2 0 x 时 有 2 cos tan 0 x xx F x x 由拉格朗日中值定理 易知 0 0 222 F xFF xx 即有 FxF 2 2 又有 0 0 0 0 F xFFxx 即 1 0 FxF 从而由 知 当 2 0 x 时 有 0 2 FxF F 即1 sin2 x x 结论成立 方法二方法二 令 1 sin x x xF 0 2 0 x x 则易知 xF在 2 0 上连续 当 2 0 x 时 有 2 cos tan 0 x xx F x x F x严格单调降 2 0 1 2 FF xF 得证 22 利用函数的泰勒展开式求下列极限 1 1 1ln lim 2 x xx x 2 1ln cos lim 2 2 0 2 xxx ex x x 知识点知识点 泰勒公式的应用 思路思路 间接展开法 利用已知的结论将函数展开到适当的形式 然后利用极限的运算性质得到结果 解解 1 由泰勒公式得 1 1 2 11 1 1ln 22 x o xxx 有 2 1 1 2 1 lim 1 1 2 11 lim 1 1ln lim 2 2 22 22 x ox x o xx xx x xx xxx 2 由泰勒公式得 2 1ln 2 2 xo x xx 4 2 1cos 5 42 xo xx x 82 1 2 2 2 1 4 42 4 2 2 2 2 2 xo xx xo x x e x 2 1 12 1 2 82 1 4 2 1 1ln cos 44 44 22 2 4 42 5 42 2 2 2 xox xox xxo x xo xx o x xx xxx ex x 从而 6 1 2 1 12 1 1ln cos lim 44 44 2 2 0 2 xox xox xxx ex x x 23 求一个二次多项式 2 xp 使 xoxp x 2 2 2 式中 2 xo代表0 x时比 2 x高阶的 无穷小 知识点知识点 泰勒公式的应用 思路思路 将函数 x 2的麦克劳林公式展开 再根据已知条件即得结果 解解 由麦克劳林公式得 2 2ln 2ln12 22 2 2ln xoxxe xx 再由 xoxp x 2 2 2 可知 2 2 2 2 2ln 2ln1 xxxp 24 求下列函数的单调区间 1 0 2 3 2 axaaxy 2 00 xnexy xn 3 xxy2sin 知识点知识点 导数的应用 思路思路 利用一阶导数符号判断函数的单调性 求函数的单调区间 用导数为零的点及不可导点 将定义域 划分成若干个区间 然后在每个区间上判断函数的单调性 如果划分定义域的点有两个或以上 可列表讨 论 使得思路更清晰一些 解解 1 0 2 3 2 axaaxy的定义域为 令 2211 3333 2 3 2223 2 2 0 33 2 ax yxaaxxaax xaax 得驻点为 ax 3 2 1 不可导点为 2 2 a x ax 3 列表讨论如下 x 2 a 3 2 2 a a 3 2 a a a fx xf 由上表可知 0 2 3 2 axaaxy在 3 2 a a 内严格单增 而在 3 2 a a内 严格单减 2 00 xnexy xn 令 11 0 nxnxnx ynxex exenx 得0 1 x nx 2 当nx 0时 0y 当nx 时 0y 00 xnexy xn 的单增区间为 0 n 单减区间为 n 3 由xxy2sin 知 sin2 2 sin2 sin2 2 xxnxn yxx xxnxn 12cos2 2 1 2cos2 2 xnx y xnxn 当 2 n xn 时 令0y 得n x 3 并且当n xn 3 时 0y 函数单调递增 当n xn 23 时 0y 函数 单调递减 当 2 n xn 时 令0y 得n x 6 5 并且当n x n 6 5 2 时 0y 函数单调递增 当n xn 6 5 时 0y 函数单调递减 综上可知 函数的增区间为 322 n n 函数的减区间为 2232 n n 25 证明下列不等式 1 当0 x时 22 1 1ln 1xxxx 2 当0 x时 xxxx sin 3 1 3 知识点知识点 函数单调性的应用 思路思路 利用函数单调性是证明不等式常用的方法 证明证明 1 令 22 1 1ln 1 xxxxxf 则 xf在 0 内连续 可导 22 22 ln 1 ln 1 0 11 xx fxxxxx xx 22 1 1ln 1 xxxxxf 在 0 上严格单增 从而0 0 fxf 即 22 1 1ln 1xxxx 结论成立 2 令xxxfsin 则 xf在 0 内连续 可导 1 cos0fxx 且 0fx 仅在可数的孤立点处成立 xxxfsin 在 0 上严格单增 从而0 0 fxf 即 0 sin xxx 令 3 3 1 sin xxxxg 则 xg在 0 内连续 可导 且 2 cos1g xxx 0 0 222 sin2 22 222 x xx x x x 从而 xg在 0 上严格单增 从而0 0 gxg 即 0 3 1 sin 3 xxxx 综上可知xxxx sin 3 1 3 结论成立 26 设 ab0 证明 ba ab a b 2 ln 知识点知识点 导数的应用 思路思路 可以将b看作变量x 利用函数单调性证得结论 证明证明 设 2 ln ln axxaaxxf ax 则 1 lnln 2 lnln 1 a fxaxxaxa xx 22 11 lnln 20 axa fxaxxaxa xxxx fx 在 a 内严格单调递增 0fxf a 从而有 2 ln ln axxaaxxf 在 a 内严格单调递增 当ab 时 有0 2 ln ln afabbaabbf 即有 ba ab a b 2 ln 结论成立 27 求下列函数图形的拐点及凹凸区间 1 7ln12 4 xxy 2 x xey 3 3 21 xy 知识点知识点 导数的应用 思路思路 利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性 求拐点和凹凸区间 用二阶导数为零的点及不可导点 将 定义域划分成若干个区间 然后在每个区间上判断函数的凹凸性 如果划分定义域的点有两