复变函数综合练习题.doc

复变函数综合练习题及答案第一部分习题一. 判断下列命题是否正确,如正确, 在题后括号内填,否则填.(共20题)1.在复数范围内有唯一值1.()2.设z=x+iy,则.()3.设则()4.是有界函数.()5.方程有唯一解z=0.()6.设函数)在处可导,则在点处必可导.()7.设函数在处可导,则.()8.设函数在区域D内一阶可导,则在D内二阶导数必存在.()9.设函数在处可导, 则在处必解析.()10.设函数在区域D内可导, 则在D内必解析.()11.设都是区域D内的调和函数,则是D内的解析函数.()12.设n为自然数,r为正实数,则.()13.设为连续函数,则,其中分别为曲线c的起点,终点对应的t值.()14.设函数在区域D内解析,c是D内的任意闭曲线,则.()15.设函数在单连通区域D内解析, c是D内的闭曲线,则对于有.()16.设幂级数在(R为正实数)内收敛,则R为此级数的收敛半径. ()17.设函数在区域D内解析,则.()18.设级数在园环域内收敛于函数,则它是在此环域内的罗朗级数.()19.设是的孤立奇点,如果,则是的极点.()20.设函数在圆周内解析,为其唯一零点,则()二. 单项选择题.(请把题后结果中唯一正确的答案题号填入空白处,共20题)1. 设复数,则的模和幅角的主值分别为_.A.B.C.2.是_区域.A.有界区域B.单连通区域C.多连通区域3.下列命题中, 正确的是_.A.零的幅角为零B.仅存在一个z使C.4.在复数域内,下列数中为实数的是_.A.B.C.5.设,则_.A.sin1ch1B.cos1sh1C.cos1ch16.函数=将区域Re(z)0内解析.9. 若z=a为f(z)的m阶极点,为g(z)的n阶极点(mn),则z=a为f(z)g(z)的_阶极点,为的_阶极点.10. 函数=tgz在z=0处的泰勒展开式的收敛半经为_.11. 函数=在z=0处的罗朗展开式的最小成立范围为_.12. 设,则.13. 积分=_.14. 留数.四.求解下列各题(共6题)1. 设函数=在复平面可导,试确定常数并求.2. 已知试求使为解析函数且满足.3. 试讨论定义于复平面内的函数的可导性.4. 试证是在不包含原点的复平面内的调和函数, 并求使为解析函数且满足.5. 证明在复平面内可导且.6. 证明,其中n为正整数,c是以为圆心,半径为r的圆周.五.求下列积分(共24题)1. 计算,其中c是从原点沿x轴至,然后由沿直线x=1至的折线段.2.,其中c是从点A(1,0)到点B(-1,0)的上半个圆周.3., 其中c为连接A(1,-1),B(0,0)的任意曲线.4.5.6.7.8.,其中c为为不等于1,2的正常数.9.,其中曲线c分别为1)2)10. 设c为任意不通过z=0和z=1的闭曲线,求.11.12.用留数定理计算下列各题.13.,其中为的任意复数.14.15.16.17.18.19.20.21.22.,其中c为实轴与上半圆周所围的闭曲线.23.,其中c同上.24.,其中c为实轴与上半圆周所围的闭曲线.六.求下列函数在奇点处的留数(共8题)1.2.3.4.5.6.7.8.七.将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数(共10题)1.2.3.4.1),2).12,3).25.6.7.8.(写出不为零的前四项)9.(写出不为零的前三项)10.(写出不为零的前三项)第二部分解答一、判断题.(共20题)1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 二、单项选择题.(共20题)1. A. 2. B. 3. C. 4. A. 5. B. 6. A. 7. A. 8. B. 9. C. 10. C.11. B. 12. C. 13. A. 14. B. 15. B. 16. B. 17. A. 18. C. 19. C. 20. B.三、填空题1. )2. ，3.4. ， 5.6. ，7.8.9. ，10.11.12. ，-13.14. ，四、求解下列各题1. 由题意得利用 ，得，得，则 2. 由于 所以，又由 ，即所以 ，（为常数）故 ，将条件 代入可得，因此，满足条件的函数3. 由题意知，由于，可得由函数可导条件知，仅在处可导。4. 由于， ，即所以 是调和函数 ，故有，（为常数）所以由于代入上式可求得，故满足条件的函数5. 因为 ，有，且可微， 同时有，所以， 在全平面处处可导且6. 设C的复数方程为 ，不妨设C的起点对应的参数值为0，有终点对应的参数值为 ，则即五、求下列积分1. 其中： 所以2.(令3. 由于被积函数在全平面处处解析，积分仅与起、终点有关，所以，原式 4.5. 根据柯西积分公式，原式6. 原式7. 由于为被积函数的三阶极点，所以由高阶导数公式有原式8. 当时，在C内解析，；当时，在C内，由高阶导数公式可知 当时，均在C内，根据柯西积分定理 9. 1)当C为时I=2) 当C为时I=(其中分别以为圆心,为半径且互不相交的两个圆) = =10.1).若均不在C内,则I=02).若在C内, 在C外,则I=3).若在C内, 在C外,则I=4).若均在C内,则I=(其中)=(2+e)11.=12.=13. 由于为的任意复数,所以当内时,为被积函数的三阶极点.此时原式=当内时, 被积函数在内为解析函数, 所以原式=0.即14. 原式=,其中均为二阶极点.所以,原式=15.为的三阶极点,将在处展开可得 = =所以,原式16.=17. 令得求得在内仅有奇点且均为简单极点,其中故有18. 被积函数在内仅有奇点且为简单极点,故有=19.=20.=21.=22. =23.=24.=六.求下列函数在奇点处的留数(共8题)1.的奇点为,且为其三阶极点.或 =有2.的奇点为,且 = =所以3.的奇点为且为三阶极点,所以或 =故有4.的奇点为且均为二阶极点, 故有5.当时,是的奇点,其中是的可去奇点,所以均是的一阶极点,所以 6. 显然,z=0,z=1是的奇点且z=0为一阶极点, z=1为二阶极点, 所以7.是的奇点且z=1为二阶极点, z=-1为一阶极点, 所以8.当时,函数无意义,则为被积函数的奇点且均为的一阶极点,其中七.将