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高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 1 第一章第一章 函数 极限 连续函数 极限 连续 第第 1 节节 函数函数 基本内容学习基本内容学习 一一 基本概念和性质基本概念和性质 1 函数的定义函数的定义 设有两个变量和 变量的变域为 如果对于中的每一个值 xyxDDx 按照一定的法则 变量有一个确定的值与之对应 则称变量为变量的函yyx 数 记作 yf x 2 函数概念的两要素函数概念的两要素 定义域 自变量 的变化范围 对应关系 给定 值 求值的方法 xxy 3 函数的三种表示方法函数的三种表示方法 显式 形如的称作显式 它最直观 也是初等函数一般采用的 yf x 形式 隐式 有时有些关系用显式无法完全表达 这时要用到隐式 形如 如椭圆函数 0F x y 22 22 1 xy ab 参数式 形如平抛运动的轨迹方程称作参数式 参数式将两个 2 1 2 xvt ygt 变量的问题转化为一个变量的问题 从而使很多难以处理的问题简化 4 函数的四个基本性质函数的四个基本性质 奇偶性 设函数在对称区间上有定义 如果对于恒有 f xXxX 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 2 f xfx 或 则称为偶函数 或奇函数 注 偶函数图形 f xfx f x f x f x 关于轴对称 奇函数的图形关于坐标原点对称 y f x 有界性 设函数在区间上有定义 如果 使得对一切 恒 f xX0M xX 有 则称在区间上有界 若不存在这样的 则称在 f xM f xX0M f x 区间上无界 注 函数有无界是相对于某个区间而言的 X f x 周期性 设函数在区间上有定义 若存在一个与 无关的正数 f xXxT 使对任一 恒有 则称是以为周期的周期函数 把满xX f xTf x f xT 足上式的最小正数称为函数的周期 T f x 单调性 设函数在区间上有定义 如果对 恒有 f xX 1212 x xX xx 或 则称在区间上是单调增加 或单调减少 的 12 f xf x 12 f xf x f xX 如果对于 恒有 或 则称在区间 1212 x xX xx 12 f xf x 12 f xf x f x 上是严格单调增加 或严格单调减少 的 X 5 其它函数定义其它函数定义 复合函数 设函数的定义域为 而函数的定义域是 yf u f D ux 值域为 若 则称函数为 的复合函数 它的定义D Z f DZ yfx x 域是 这里表示空集 x f xDxD 且 反函数 设函数的值域为 如果对于中任一值 从关系 yf x f Z f Zy 式中可确定唯一的一个 值 则称变量 为变量的函数 记为 yf x xxy 其中称为函数的反函数 习惯上的反函数记为 xy y yf x yf x 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 3 1 yfx 6 初等函数初等函数 常值函数 为常数 CCxR 幂函数 定义域由确定 但不论如何 在内总 yxR 0 有定义 指数函数 且 x ya 0a 1a xR 对数函数 且 logx a y 0a 1a 0 x 三角函数 如 sin yx xR cos yx xR tanyx 等 22 xkkkZ cot x 1 xkk kZ 反三角函数 arcsin yx 1 1 x arccos yx 1 1 x arctanyx xR arccotyx xR 以上六类函数称基本初等函数 由基本初等函数经有限次加 减 乘 除 复合而成的函数称初等函数 7 分段函数分段函数 一个函数在其定义域内 对应于不同的区间段有着不同的表达式 则该函 数称为分段函数 分段函数仅是说函数的表示形式 并不是说它是几个函数 常见的分段函数 符号函数 10 sgn00 10 x yxx x 当 当 当 取整函数 表示不超过 的最大整数 当 其中 为 xx xn 1nxn n 整数 狄利克莱 Dirichlet 函数 1 0 x yf x x 当为有理数时 当为无理数时 绝对值函数 0 0 xx x xx 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 4 基本题型训练基本题型训练 一一 典型例题典型例题 1 判断函数的等价性判断函数的等价性 例 1 1 下列各题中 函数与是否相同 为什么 f x g x 1 2 2 lg 2lg f xxg xx 2 f xxg xx 3 4 3433 1f xxxg xx x 22 1 sectanf xg xxx 解 1 不相同 因为的定义域是 而的定义域是 2 lg x 0 0 2lg x 0 2 不相同 因为两者对应法则不同 当时 0 x g xx 3 相同 因为两者定义域 对应法则均相同 4 不相同 因为两者定义域不同 2 求函数的定义域求函数的定义域 例 1 2 设的定义域为则的定义域为多少 1 f x 0 0 a a f x 解 函数的定义域是指 的变化范围 即 1 f x x 故对函数而言 的变化范围为 01 1 11xatxta 令则 f xt 1 1 a 由函数表达式的 变量无关性 知 的定义域为 f x 1 1 a 常见错误 主要是对定义域所指的变量取值范围理解不深 误认 1 1 a 为 由此得到 01xa 11xa 3 判断函数奇偶性判断函数奇偶性 例 1 4 下列函数中哪些是奇函数 哪些是偶函数 哪些是非奇非偶函数 1 2 2 sin x yex 2 log 1 a yxx 0 1 aa 解 1 因为为奇函数 为偶函数 所以为奇函数 sin x 2 x 2 sin x yex 2 22 2 1 log 1 loglog 1 1 aaa fxxaxxf x xx 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 5 故为奇函数 f x 4 判断函数的周期性判断函数的周期性 例 1 5 下列哪些是周期函数 对于周期函数 指出其周期 1 2 cos 2 yx 1 sinyx 解 1 是周期函数 周期为 cos 2 yx 2 2 是周期函数 周期是 21 sinyx 5 判断函数单调性判断函数单调性 例 1 6 设在上有定义 且对任意 有 f x x y 证明在上单调增加 f xf yxy F xf xx 证明 设所以 1212 x xxx 212121 f xf xxxxx 而 所以 所以 122121 f xf xf xf xxx 1122 f xxf xx 12 F xF x 即在上单调增加 F x 6 求反函数求反函数 例 1 7 求函数的反函数 11 11 x y x 解 令 则 所以 即 所以1tx 1 1 t y t 1 1 y t y 1 1 1 y x y 2 2 14 1 1 1 yy x yy 所以反函数即为所求 2 4 1 x y x 7 复合函数求法复合函数求法 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 6 例 1 8 设则等于多少 1 0 2 0 xx f x xx 2 0 0 xx g x xx f g x 解 当时 所以当时有 0 x g xx 0 0 x f g x1x 当时 所以时有 故0 x 2 0g xx 0 x 2 2f g xx 2 1 0 2 0 xx f g x xx 注 求复合函数一般用三种方法 分析法 代入法 图示法 本题用的是 分析法 下面分别介绍这三种方法 1 分析法 是抓住最外层函数定义域的各区间段 结合中间变量的表达式 及中间变量的定义域进行分析 从而得出复合函数的方法 该法适用于初等函 数与分段函数或分段函数之间的复合 2 代入法 将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代 这种 构成复合函数的方法 称之为代入法 该法适用于初等函数或抽象函数的复合 这种方法在求复合函数时一般最先想到 3 图示法 借助于图形的直观性达到将函数复合的一种方法 适用于分 段函数 尤其是两个均为分段函数的复合 关于图示法解题的一般步骤如下 先画出中间变量函数的图形 ux 把的分界点在平面上画出 这是若干条平行于 轴的直线 yf u xoux 写出 在不同区间段上 所对应的变化区间 ux 将 所得结果代入中 便得的表达式及相应 的 yf u yfx x 变化区间 关于这种方法我们会在后面的练习或者能力拓展中用到 二二 能力拓展能力拓展 例 1 设 F x 是连续函数 f x 的一个原函数 表示 M 的充分必要 NM 条件是 N 则必有 A F x 是偶函数f x 是奇函数 B F x 是奇函数f x 是偶函数 C F x 是周期函数f x 是周期函数 D F x 是单调函数f x 是单调函数 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 7 A 解法一 任一原函数可表示为 且当 F x x CdttfxF 0 xfxF 为偶函数时 有 于是 即 也即 xFxF 1 xFxF xfxf xfxf 可见 f x 为奇函数 反过来 若 f x 为奇函数 则为偶函数 x dttf 0 从而为偶函数 可见选 A x CdttfxF 0 解法二 令 f x 1 则取 F x x 1 排除 B C 令 f x x 则取 F x 排除 D 故应选 A 2 2 1 x 例 2 设则等于 1 1 0 1 x f x x ff f x A 0 B 1 C D 1 1 0 1 x x 0 1 1 1 x x 解 由 1 得 1 故应选 B f f x ff f x 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 8 函数理论框架图函数理论框架图 第第 2 节节 极限与连续性极限与连续性 基本内容学习基本内容学习 一一 基本概念基本概念 1 极限的概念极限的概念 定义 2 1 一个正整数 当时 恒有 lim0 n n xa N nN 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 9 若存在极限 称收敛 否则称发散 n xa n x n x n x 定义 2 2 一个整数 当时 有lim 0 x f xa XxX f xa 定义 2 3 正数 当时 有 0 lim 0 xx f xa 0 0 xx f xa 2 数列 函数极限的基本性质与相关定理数列 函数极限的基本性质与相关定理 定理 2 1 极限的不等式性质 设 若 则 当时 若时 lim n n xa lim n n yb ab N nN nn xy nN 则 nn xy ab 定理 2 2 极限的唯一性 设 则 lim n n xa lim n n xb ab 定理 2 3 收敛数列的有界性 设收敛 则有界 即 n x n x 0 1 2 n MxM n 常数 定理 2 4 极限的不等式性质 设 若则 0 0 lim xx f xA 0 lim xx g xB AB 当时 若 则 0 0 xx f xg x f xg x 0 0 xx AB 推论 极限的保号性 若 则存在一个 当 0 lim 00 xx f xA AA 或0 时 或 000 xxxxx 0f x 0f x 定理 2 5 极限的唯一性 设 则 0 lim xx f xA 0 lim xx f xB AB 定理 2 6 夹逼准则 设在的领域内 恒有 且 0 x xf xx 则 00 limlim xxxx xxA 0 lim xx f xA 定理 2 7 单调有界准则 单调有界数列必有极限 n x 3 函数连续性定义函数连续性定义 定义 2 1 设函数在的某领域内有定义 给 在处以增量 相应 f x 0 xx 0 xx 地得到函数增量 若极限 则称在处连 00 yf xxf x 0 lim0 x y f x 0 xx 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 10 续 定义 2 2 设函数满足条件 1 在的某领域内有定义 2 f x f x 0 x 存在 3 则称在处连续 0 lim xx f x 0 0 lim xx f xf x f x 0 xx 定义 2 3 若在内任一点均连续 则称在内连续 f x a b f x a b 定义 2 4 若在内连续 在处右连续 即 在 f x a bxa lim xa f xf a 处左连续 即 则称在内连续 xb lim xb f xf b f x a b 4 间断点及分类间断点及分类 间断点定义 若在处出现以下三种情形之一 f x 0 x 1 在处无定义 2 不存在 3 则称为 f x 0 x 0 lim xx f x 0 0 lim xx f xf x 0 x 的间断点 f x 间断点的分类 第 类间断点均存在 其中若 0 x 00 fxfx 称为可去间断点 若 称为跳跃 000 fxfxf x 0 xx 00 fxfx 0 xx 间断点 第 类间断点 至少有一个不存在 若之中有一 00 fxfx 00 fxfx 个为 则称为无穷间断点 0 xx 5 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 1 连续函数的有界性 设函数在上连续 则在上有界 f x a b f x a b 即 常数 对任意的 恒有 0M xa b f xM 2 最值定理 设函数在上连续 则在上至少取得最大值 f x a b a b f x 与最小值各一次 即使得 max a x b ff xa b min a x b ff xa b 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 11 3 介值定理 若函数在上连续 是介于与 或最大值 f x a b f a f b 与最小值 之间的任一实数 则在上至少 一个 使得Mm a b fab 4 零点定理或根的存在性定理 设函数在上连续 且 f x a b 则在内至少 一个 使得 0f af b a b 0 fab 5 无穷小及其阶无穷小及其阶 1 无穷小与无穷大的定义 定义 2 5 在某一过程中以零为极限的变量称为无穷小 量 一个 当时 恒有 lim00 x f x 0X xX f x 当时 恒有 0 lim00 xx f x 0 0 0 xx f x 定义 2 6 在自变量的某一变化过程中 若函数的绝对值无穷增大 则 f x 称函数为无穷大量 f x 一个 当时 恒有 lim0 x f xM 0X xX f xM 一个 当时 恒有 0 lim0 xx f xM 0 0 0 xx f xM 2 无穷小与无穷大 无穷小与极限的关系 00 lim 0 xxxx f xAf xx 其中l i m 在同一极限过程中 1 0 1 f xf x f x f x f x 为无穷小 则为无穷大 为无穷大 则为无穷小 3 无穷小阶的概念 定义 2 7 设在同一极限过程中 为无穷小且存在极限 x x 00 lim0 lim0 xxxx xx xx 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 12 若 则称是比高阶的无穷小 记为 lim0 x x x x xox 若 则称是比低阶的无穷小 lim x x x x 若 则称与是同阶无穷小 lim x C x x x 若 则称与是等价无穷小 记为 lim1 x x x x xx 若 则称为的 阶无穷小 lim0 0 k x C Ck x x x k 4 等价无穷小的重要性质 若 且存在 则xa xxxx lim x x limlim xx xx 该结论表明 在求极限过程中等价无穷小因子可以替换 x x xa xxox 5 确定无穷小阶的方法 利用洛必达法则 确定使得 则时 0k 0 0 k xx f x A xa l i mxa 是的 阶无穷小 f xxa k 洛必达法则 法则 型 设函数满足条件 0 0 f xg x 在的领域内可导 在处可除外 且 00 lim0 lim0 xxxx f xg x f xg x 0 x 0 x 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 13 存在 或 则 0gx 0 lim xx fx gx 00 limlim xxxx f xfx g xgx 法则 型 设函数满足条件 一 I 0 0 f xg x lim0 lim0 xx f xg x 个 当时 可导 且 存在 或 0X xX f xg x 0gx 0 lim xx fx gx 则 00 limlim xxxx f xfx g xgx 法则 型 设函数满足条件 f xg x 00 lim lim xxxx f xg x 在的领域内可导 在处可除外 且 存在 或 f xg x 0 x 0 x 0gx 0 lim xx fx gx 则同理法则 型 仿法则可写出 00 limlim xxxx f xfx g xgx II I 泰勒公式 n nn fa f xf afa xaxao xa n 若则 1 0 0 nn f afafafa n nn fa f xxao xa n 因此是的 阶无穷小 后面章节还会讲到 f x xa n 利用无穷小的运算性质 如若时 分别是的 阶xa f xg xxa n 与阶无穷小 则是的阶无穷小 当时 m f x g xxa nm nm 是的 阶无穷小 f xg x xa n 本章需要记忆知识本章需要记忆知识 1 重点概念 性质重点概念 性质 函数的定义 函数连续的定义 间断点及其类型 夹逼准则 单调有界准 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 14 则等 2 重点公式重点公式 1 00 sin1 lim1 lim 1 lim 1 x x xxx x xee xx 或 常用极限 特例 lim01 n n lim1 n n n lim arctan 2 x x lim arctan 2 x x lim arccot0 x x lim arccot x x lim0 x x e lim x x e 0 lim1 x x x 基本题型训练基本题型训练 1 求复合函数求复合函数 例 设 求 2 2 0 1 11 0 x xx ex f xx xxxx fx 解 由题设分以下情况讨论 1 1 x ex fx xx 1 当时 1x 或 即 0 21xxx 0 1 1 x x x 或 即 2 0 1 1xxx 2 0 02 2 x x x 2 当时 1x 或 即 0 21xxx 0 10 1 x x x 或 即 2 0 1 1xxx 2 0 2 2 x x x 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 15 综上所述 2 2 1 2 1 2 10 02 1 2 x x ex xx fx ex xx 2 利用函数概念求函数表达式利用函数概念求函数表达式 例 已知 求 1sin x f exx f x 解 令 则 于是从而 x et lnxt 1 lnsin ln f ttt 1 lnsin ln f xxx 注 设 其中是已知函数 则有两类问题 一是已知 fxx x 二是已知 f 求f 求 若 f 是已知 并存在反函数 则 1 xfx 若已知 并存在反函数 令 则 从而 tx 1 xt 即 1 f tt 1 f xt 因此 这两类问题都是求反函数问题 3 求未定型函数极限求未定型函数极限 例 求下列极限 解 原式 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 16 原式 1 原式 原式 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 17 4 求变限积分不等式的极限求变限积分不等式的极限 例 求极限 2 2 2 2 0 0 2 3 lim x t xt x e dt edt 解 原式 22222 2 2222 2222 4 4 0000 18181414 2 4 442 limlimlimlim0 33 3328 xxxx ttxtt x xxxx xxxx e dte dtee dte dt e eeexe 注 在验证条件时 要用到以下结论 若连续 又 0 lim x x f t dt f x 则 lim 0 x f xA 也可为lim x x 0 lim x x f t dt 5 由极限确定函数中的参数由极限确定函数中的参数 例 确定的值 使 a b c 解 当 时 由 可得 原式 同理可得 故原式 故 c 1 2 例 试确定常数 的值 使极限 存在 并求该 极限值 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 18 解 原式 存在 由 可得 即 则原式 同理由 可得 即 所以原式 6 利用函数收敛准则求极限利用函数收敛准则求极限 例 1 利用夹逼准则 解 且 又 由夹逼原则可得原式 例 2 利用单调有界准则 若序列的项满足 为正的常数 且 这 n a 1 aa a 1 1 2 nn n a aa a 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 19 里 1 2 n 试证有极限 并求出它 n a 解 由 又 1 aa 2 11 21 111 21 222 aaaaa aaa aaa 今用数学归纳法证 这只须注意到 k aa 2 1 21 222 kk kk kkk aaaaa aaa aaa 又 故单调且有下界 从而其极限 2 1 1 0 22 n nnn nn aaa aaa aa n a 时 存在 令其为 n A 由 有 即 1 1 2 nn n a aa a 1 1 limlim 2 nn nn n a aa a 1 2 a AA A 即 2 Aa 所以 从而 0Aa A lim n n aa 7 求求 n 项和数列的极限项和数列的极限 例 求 2 sinsinsin lim 11 1 2 n n nnn n nn n 解 2 sinsinsin 11 1 2 n nnn n nn n 12 sinsinsin 1 n nnnn 1 1 sin 1 n i ni nnn 且 故由夹逼定理原式 1 1 limsin 1 n n i ni nnn 2 2 8 求求 n 项积数列极限项积数列极限 例 当时 0 x limcoscoscos 242n n xxx 原极限 2 sincoscoscos 2242 lim 2 sin 2 n nn n n n xxxx x 1 2coscos cossin 2422 lim 2 sin 2 n nn n n n xxxx x 2 11 2coscos 2cossin 2422 lim 2 sin 2 n nn n n n xxxx x sin lim 2 sin 2 n n n x x sin 22 nn xx sinsin lim 2 sin 2 n n n xx x x 9 利用函数极限求数列极限利用函数极限求数列极限 例 求 21 lim tan n n n n 解 因为可化为求 1 tan 1 limtanlim1 1 nn n n n n 21 lim tan x n x x 又因为 其中而 21 lim tan x n x x 3 tan tan 0 1tan lim 1 tt t t t t t tt t xt 0 lim0 tan t t tt 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 21 故原式 2 3222 000 1 1 tan1 1 cos 1 cos 1 cos limlimlim 33cos3 ttt tttt t tttt 1 3 e 10 无穷小的比较与无穷小的阶的确定无穷小的比较与无穷小的阶的确定 例 设函数 则 f x 在内 n n n xxf 3 1lim A 处处可导 B 恰有一个不可导点 C 恰有两个不可导点 D 至少有三个不可导点 C 解 先求出 f x 的表达式 再讨论其可导情形当时 1 x 11lim 3 n n n xxf 当时 1 x111lim n n xf 当时 1 x 1 1 lim 3 1 3 3 x x xxf n n n 即 可见 f x 仅在 x 时不可导 故应选 C 1 11 1 1 3 3 x x x x x xf1 11 函数连续性与间断点类型的讨论函数连续性与间断点类型的讨论 例 判断间断点并判别类型 解 当 时 当 时 当 时 即 所以 为函数 第一类间断点 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 22 12 有关极限的证明有关极限的证明 例 设在连续 求证 f x 0 lim 0 x f xA 0 lim x x f t dt 证明因 由极限的不等式性质可知 lim 2 x A f xA 2 A XxXf xxX 当时则时有 因此 000 2 xXxX X A f t dtf t dtf t dtf t dtxX 0 lim x x f t dt 注 若 0 0 lim x x Af t dt 则 类似可知 若 0 0 lim x x Af t dt 则 13 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限 例 求下列极限 关于泰勒展式有关内容可参见第三章 1 2 2 2 4 0 cos lim sin x x xe x 2 1 lim ln 1 x xx x 3 4 2 5 0 lim 1 5 1 x x xx 23 0 112 lim 1ln 2 x x xxx 解 1 22 22 44 00 coscos limlim sin xx xx xexe xx 分母的次数为 4 只要把 展开到出现 的四次幂即可 cosx 2 2 x e x 244 11 cos1 2 4 xxxo x 2 2224 2 111 1 22 2 x exxo x 故 原极限 44 4 0 11 1 4 8 lim 12 x xo x x 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 23 2 的展开式只要取到 2 项即可 1 ln 1 x 22 111 11 ln 1 2 o xxxx 原极限 222 11 1111 lim lim 1 222 xx xxoo xxx 3 分子关于 的次数为 2 x 1 225 5 11 1 1 1 5 1 5 1 5 1 5 52 5 5 xxxxo x 22 12 xxo x 原极限 2 22 0 1 lim 12 1 2 x x xxo xx 4 1 2 2 lnlnln 1 ln 1 222 1 2 x xxx x x 233233 1111 22 23 222 23 2 xxxxxx o xo x 33 1 12 xxo x 3 33 233 1111 1 1 1212 o x xxo x xxx 故 23 0 11211 lim 1ln 212 x x xxx 练习题一练习题一 1 填空题填空题 1 已知 则 2 设函数 有连续的导函数 若 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 24 在 处连续 则常数 3 设当 时 为 的 阶无穷小 则 4 5 已知 则 6 7 222 333 12 lim 12 n n nnnn 8 和 为正整数且 1 lim 1 m n n x x mnmn 9 设在处间断 则 a 与 b 应满足的关系是 2 0 sin 0 abxx f x bx x x 0 x 2 选择题选择题 1 若函数 在 处连续 则 的值是 2 设 其中 则必有 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 25 3 函数在定义域内为 2 1 x f x x A 有上界无下界 B 有下界无上界 C 有界 且 D 有界且 11 22 f x 2 22 1 x x 4 322 lim 221 x xxxx A B C D 4 1 4 5 则 1 1 2 1 1 1 xx f xx x x 1 lim x f x A 1 B 0 C D 不存在 6 设 则 3 sin xx f x x A 有无穷多个第一类间断点 B 自由一个可去间断点 C 有两个跳跃间断点 D 有 3 个可去间断点 3 计算与证明计算与证明 1 求极限 0 1 1 lim n m x x x 2 设 试讨论 在 处的连续性和 可导性 3 试确定常数 的值 使极限 存在 并求 该极限值 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 26 4 设 且 是 的可去间断点 求 的值 5 设 求 的值 6 设 在 的某邻域内二阶可导 且 求 及 7 设是三次多项式 且有 求 f x 24 limlim1 0 24 xaxa f xf x a xaxa 3 lim 3 xa f x xa 8 设函数在开区间内连续 且 试证 f x a b 12 n x xxa b 使 a b 12 1 n ff xf xf x n 9 设在上连续 且 证明 一个 使得 f x f f xx f 10 设 在上连续 且 则在 f x g x a b f ag af bg b 内至少 一个 使 a b fg 11 证明方程恰有 3 个实根 3 910 xx 12 求复合函数设 求 2 0 1 2 0 xx f xxxx xx fxf x 参考答案参考答案 1 1 1 2 a b 3 4 5 1 6 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 27 6 2 7 1 3 8 9 m n ab 2 1 A 2 D 3 C 4 A 5 D 6 D 3 1 2 1 3 4 n m 5 6 7 9 2 1 2 8 提示 用介值定理 9 提示 辅助函数 用零点定理 F xf xx 10 辅助函数 利用介值定理 F xf xg x 11 可利用零点定理 12 可利用前面讲到的求复合函数当中的图示法 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 28 极限理论框架图极限理论框架图 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 29 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学 本章要求 1 理解导数和微分的概念 理解导数与微分的关系 理解导数的几何意义 会求平面曲线的切线方程和法线方程 了解导数的物理意义 会用导数描述一 些物理量 数三 数四不要求 理解函数的可导性与连续性之间的关系 数三 数四增加要求了解经济意义 含边际与弹性的概念 2 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则 掌握基本初等函数的 导数公式 了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性 会求函数的微 分 3 了解高阶导数的概念 会求简单函数的高阶导数 4 会求分段函数的导数 会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数 的导数 数三 数四参数方程求导不要求 5 理解并会用罗尔定理 拉格朗日中值定理泰勒定理 了解并会用 数三 数四不要求 柯西中值定理 6 掌握用洛必达法则求未定型极限的方法 数三 数四会用洛必达法则求 极限 7 理解函数的极值概念 掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方 法 掌握函数最大值和最小值的求法及其应用 8 会用导数判断函数图形的凹凸性 会求函数图形的拐点以及水平 铅直 和斜渐近线 会描绘函数的图形 9 了解曲率和曲率半径的概念 会计算曲率和曲率半径 数三 数四不要 求 第第 1 节节 导数与微分导数与微分 基本内容学习基本内容学习 一一 基本概念与定理基本概念与定理 1 导数的概念导数的概念 定义 1 函数在某点的导数 设函数在的领域内有定义 给在 yf x 0 xx 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 30 处以增量 函数和相应地得到增量 如果极 0 x 0 x y 00 yf xxf x 限 1 存在 则函数在点处可导 该函数值 00 00 limlim xx f xxf xy xx 称为函数在处的导数 记为 即 0 x 0 fx 0 y x 0 x x dy dx 令 则 1 00 0 00 limlim xx f xxf xy fx xx 0 xxx 0 0 0 0 lim xx f xf x fx xx 定义 2 左右导数 函数在处的左 右导数分别定义为 f x 0 x 左导数 0 000 00 0 0 limlim xxx f xxf xf xf x fxxxx xxx 右导数 0 000 0 0 0 limlim xxx f xxf xf xf x fx xxx 定义 3 函数在区间上可导 如果在内每一点均可导 则称该 yf x a b 函数在内可导 若在内可导 且在和处分别具有右 a b yf x a bxa xb 导数和左导数 则在上可导 fa fb yf x a b 2 导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义 导数的几何意义 导数在几何上可表示曲线在点 0 fx yf x 处的切线斜率 曲线在点的切线方程及法线方程分别是 00 M xf x yf x M 及 000 yfxxxf x 0 0 1 yxx fx 0 f x 0 0fx 当时 导数的物理意义 设表示直线运动 其中 表示位移 t 表示时刻 sf t s 则表示在时刻 t 的瞬时速度 表示在时刻 t 的加速度 如果 ds vft dt dv a dt 表示物理上的其他量 即导数表示该量的变化量 yf x 0 dy fx dx 3 微分的概念微分的概念 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 31 定义 4 如果函数在点 x 处的某邻域内有定义 当自变量在点 x 取 yf x 得增量时 函数的增量可表示为 其中 A 是与无关的量 x y yA x x 是当时比高阶的无穷小 则称在 x 处可微 称为在 0 x x yf x A x f x 点 x 处的微分 记为或 即 1 由于当 x 为自变量时 dy df x dydf xA x 同时可证 所以 1 又可写成 函数的一阶微分与其dxx fxA dyfx dx 导数的关系 二二 基本定理基本定理 1 与导数有关的几个基本定理与导数有关的几个基本定理 1 可微与可导之间的关系 函数在 x 处可微在 x 处可导 f x f x 2 可导与连续的关系 若函数在点处可导 则在点x处 yf x 0 x yf x 连续 但函数连续不一定可导 3 导数与左右导数的关系 存在 0 fx 00 fxfx 基本知识记忆基本知识记忆 1 导数的运算法则导数的运算法则 四则运算法则 设函数 在点可导则 uu x vv x x 1 uvuv d uvdudv 2 uvuvvu d uvudvvdu 3 2 0 uvuuv v vv 2 uvduudv d vv 2 反函数的运算法则反函数的运算法则 设在点 的某邻域内单调连续 在点 处可导且 则其反数 yf x xx 0fx 在点 所对应的处可导 并且有 xy 1dy dx dx dy 3 复合函数的运算法则复合函数的运算法则 若在点 可导 而在对应点 可导 则复合函数 x x yf x 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 32 在点可导 且 yfx x yfx 4 基本导数与微分表基本导数与微分表 1 常数 yc 0y 0dy 2 为实数 a yx 1 yx 1 dyxdx 3 x ya ln x yaa ln x dyaadx 特例 xx ee xx d ee dx 4 log 0 1 a yx aa 1 ln y xa 1 ln dydx xa 特例 lnyx 1 ln x x 1 ln dxdx x 5 sinyx cosyx sin cosdxxdx 6 cosyx sinyx cos sindxxdx 7 tanyx 2 2 1 sec cos yx x 2 tan secdxxdx 8 cotyx 2 2 1 csc sin yx x 2 cot cscdxxdx 9 secyx sec tanyxx sec sec tandxxxdx 10 cscyx csc cotyxx csc csc cotdxxxdx 11 arcsinyx 2 1 1 y x 2 1 arcsin 1 dxdx x 12 arccosyx 2 1 1 y x 2 1 arccos 1 dxdx x 13 arctanyx 2 1 1 y x 2 1 arctan 1 dxdx x 14 arccotyx 2 1 1 y x 2 1 arccot 1 dxdx x 15 yshx ychx d shxchxdx 16 ychx yshx d chxshxdx 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 33 基本题型训练基本题型训练 1 一元函数导数与微分概念的命题一元函数导数与微分概念的命题 例 设在处连续 且 求 f x1x 1 lim2 1 x f x x 1 f 解 由导数定义 而在处连续 1 1 1 lim 1 x f xf f x f x1x 1111 1 lim lim 1 lim 1 lim0 11 xxxx f xf x ff xxx xx 11 1 1 limlim2 11 xx f xff x f xx 2 几类一元函数的导数与微分几类一元函数的导数与微分 例 求下列函数的导数或微分 1 2 设 求arcsin x ye ln 1 3 x y dy 解 1 22 11 11 xx xx yeex ee 2 1 2 1 xx eex 2 1 1 3 1 3 x x dyd 3ln3 1 3 x x dx 1 31 x dx 例 求由参数式确定的函数的导数 设 求 2 ln 1 arctan xt yt 2 2 dy d y dx dx 解 t t ydy dxx 参数式求导公式 2 2 1 1 2 1 t t t 1 2t 将该式对 求导 右端先对 求导再乘上得xt dt dx 2 2 d y dx 复合函数求导法 2 111 22 t dt tdxtx 反函数求导法 2 2 1 2 2 1 t t t 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 34 2 3 1 4 t t 例 求隐函数的导数或微分 隐函数求导 由方程所确定的函数 称为是变量 的隐 0F x y yy x yx 函数 隐函数导数的求法一般有三种方法 dy dx 1 方程两边对求导 要记住是 的函数 则的函数是 的复合函数 xyxyx 例如 等均是 的复合函数 对求导应按复合函数连锁法则做 1 y 2 yln y y exx 2 公式法 由知 其中 分别 0F x y x y F x ydy dxF x y x F x y y F x y 表示对 和的偏导数 F x yxy 3 利用微分形式不变性 在方程两边求微分 然后解出 举例说明如 dy dx 下 例 设方程 求 22 cos y xyexy y 方法一 22 2sin 12 y yxyye yxyyy 22 2 sin 22 sin y yxy y xyeyxy 方法二 令 22 cos y F x yxyexy 因为 22 sin x Fyxy 2 22 sin y y Fxyeyxy 所以 22 2 sin 22 sin x y y F x ydyyxy dxF x yxyeyxy 方法三 22 cos y d xyedxy 22 2sin 2 y y dxxydye dyxydxydy 222 22 sin sin y xyeyxydyyxydx 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 35 22 2 sin 22 sin y dyyxy dxxyeyxy 注 关于隐函数的三种方法 大家可以根据具体题目具体分析 采用适合 题目的最好方法 分段函数的求导 例 确定常数 a 和 b 使得函数处处可导 2 1 1 axbx f x xx 解 由在处可导 得在处连续 由表达式知 在 f x1x f x1x f x 是左连续的 于是 在连续 1x f x1x 11 lim lim 1 1 xx f xaxbfab 又在可导 在条件下 可改写成 f x1x 1 1 ff 1ab f x 于是 因此 2 1 1 axbx f x xx 1 faxb 1x a 2 1 1 2 x fx 在可导故仅当时 处处可导 f x1x 1 2 2 1 aba ab 2 1ab f x 注 对这类问题的依据是 函数在某点可导则在该点处连续 函数在某 点处可导 则在该点处左右导数相等这两个性质 建立两个特定常数之间的两 个关系式 然后再解出来 3 变限积分的求导变限积分的求导 例 设连续且 则 f x 3 1 0 x f t dtx 7 f 解 这是含变限积分的恒等式 两边对求导得 令x 3 1 f x 2 31x 即得2x 1 7 12 f 4 可导与连续命题的讨论可导与连续命题的讨论 例 讨论函数 在处的连续性与可导性 2 2 0 2 1 cos 0 1 0 1 cos 0 x xx x f xx t dtx x 0 x 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 36 解 由于函数具有分段形式 我们可分别按定义求出来讨论 0 0 ff 是否存在 0 f 按定义 2 22 0 2 00 00 cos 0 cos12 sin 0 limlimlimlim0 22 x xx xx t dtx f xfxxx f xxx 2 32 000 0 0 2 1 cos 2 sin 2cos1 0 limlimlimlim0 332 xxx x f xfxxxxx f xxxx 因此 因此在可导 因而也必连续 0 0 0ff f x0 x 5 导数概念的应用问题导数概念的应用问题 例例 求平面曲线的切线方程或法线方程 已知是周期为 5 的连续函数 它在的某邻域内满足关系式 f x0 x 其中是当时比 的高阶无穷小 且 1 sin 3 1 sin 8 fxfxxx x 0 x x 在处可导 求曲线在点处的切线方程 f x1x yf x 6 6 f 解解 曲线在点处的切线方程 由周期性 yf x 6 6 f 6 6 6 yffx 6 1 ff 故只需求与 又已知只给出 在处可导 所 6 1 ff 1 f 1 f f x1x 以利用导数定义求由连续性 有 1 f 即 故因此 00 lim 1 sin 3 1 sin lim 8 xx fxfxxx 1 3 1 0ff 1 0f 又 00 1 1 1 1 limlim uu fuffu f uu 00 1 sin 3 1 sin 8 limlim sinsin xx fxfxxx xx 即 00 1 sin 3 1 sin 8 lim lim sinsinsin xx fxfxxx xxx sin xx 也即 故 所以要求的切线方程为 1 3 1 8ff 1 2 f 2 6 yx 第第 2 节节 高阶导数高阶导数 基本内容学习基本内容学习 一一 基本概念基本概念 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 37 定义 1 若导函数在点 处可导 则称在点 处的导数为y f x f x xf x x 在点 处的二阶导数二阶导数 记为 即 同y f x x 2 2 d y f x dx lim x f x Dx f x f x Dx 样可定义函数的 阶导数为 n 1 1 0 lim nn n x fxxfx fx x 二二 高阶导数的求法高阶导数的求法 直接法 直接法 所谓直接法是指求出所给函数的 1 3 阶或 4 阶导数后 分析所得 结果的规律性 从而写出 阶导数的方法 n 间接法 间接法 利用已知的高阶导数公式 通过四则运算 变量代换 泰勒级数 的方法求 阶导数 n 基本知识记忆基本知识记忆 常用高阶导数公式 1 ln 0 e e xnxnxnx aaaa 2 sin sin 2 nn kxkkxn 3 cos cos 2 nn kxkkxn 4 mnm n xm m 1m n 1 x 5 1 1 ln 1 nn n n x x 6 莱布尼兹公式 若均 阶可导 则 u x v xn 0 n niin i n i uvc u v 其中 0 u u 0 v v 基本题型训练基本题型训练 6 求一元函数的求一元函数的阶导数阶导数 n 例