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欧几里得空间练习题一、填空题1. 与任何向量都正交。2. 设、均为正交矩阵，则 。3. 若为欧氏空间的一组标准正交基，且，则 。4. 设、均为3阶正交矩阵，则 。5. 若为欧氏空间的一组标准正交基，且，则 。 6. 若为欧氏空间的一组标准正交基，且，则 。7. 设欧氏空间的正交变换在一组标准正交基下的矩阵是，则 。 8. 两个欧氏空间同构的充要条件是它们有 。二、选择题1. 设是欧氏空间的两个正交变换，则（ ） 。A. 也是正交变换 B.也是正交变换C.任意也是正交变换 D.也是正交变换2. 设是维欧氏空间 ，那么中的元素具有如下性质（ ）。A若 B若C若 D. 若3. 关于欧氏空间与线性空间的关系，下列说法错误的是（ ）。A. 欧氏空间是特殊的线性空间 B .如果一个空间是线性空间则它一定是欧氏空间C. 如果一个空间是欧氏空间则它一定是线性空间 D. 线性空间比欧氏空间范围大4. 设是n维欧氏空间，W是的子空间，则W的正交补的维数等于（ ）。A. dimW B. n-dimW C . n-2dimW D . 不确定5. 设u是正交矩阵，则（ ）。A . u的行列式等于 1 B . u的行列式等于-1 C. u的行列式等于 1 D . u的行列式等于06. n维欧氏空间上的线性变换为正交变换的充要条件是（ ）。A.在的任一组基下的矩阵都是正交矩阵B.在的任一组正交基下的矩阵都是正交矩阵C.在的任一组标准正交基下的矩阵都是正交矩阵D.在的任一组基下的矩阵都是实对称矩阵7. 设是n维（n0）线性空间V的一个对称变换,则下列说法错误的是( )。A. 的特征值全部为实数 B. 一定可以对角化 C. 关于某一组标准正交基的矩阵是对称矩阵 D. 一定是正交变换三、计算题1. 设二次型，用正交线性替换将二次型化为标准形。2. 设实对称矩阵,求正交矩阵,使得为对角形矩阵。 3. 已知二次型，通过正交线性替换化成标准形，并写出所做的正交线性替换。4. 设为数域P上线性空间的基，且线性变换在此基下的矩阵为。（1）求的特征值与特征向量；（2）是否可以对角化？如果可以，求正交矩阵使得为对角形矩阵。注：也可以指出是实对称阵，故可以对角化另外注意正交矩阵的取法不唯一。5.设为数域P上线性空间的基，且线性变换在此基下的矩阵为。（1）求的特征值与特征向量；（2）是否可以对角化？如果可以，求正交矩阵使得为对角形。四、证明题1. 证明:欧氏空间上的对称变换的属于不同特征值的特征向量是正交的. 2. 设是欧氏空间的一个线性变换，证明以下两个命题等价:（1）是正交变换。（2） 若是的标准正交基，那么也是的标准正交基。3.设是欧氏空间的一个线性变换，证明是正交变换的充分必要条件是若是的标准正交基，那么也是的标准正交基。3. 设A，B都是实对称矩阵，证明：存在正交矩阵T，使得的充分必要条件
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