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内切与外接问题 球 九台区实验高中高一数学组 二 球与多面体的接 切 定义1 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上 则称这个多面体是这个球的内接多面体 这个球是这个多面体的外接球 定义2 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切 则称这个多面体是这个球的外切多面体 这个球是这个多面体的内切球 一 复习 球体的体积与表面积 解决 接切 问题的关键是画出正确的截面 把空间 接切 转化为平面 接切 问题 正方体的内切球 正方体的内切球的半径是棱长的一半 正方体的外接球 正方体的外接球半径是体对角线的一半 1 已知长方体的长 宽 高分别是 1 求长方体的外接球的体积 变题 2 已知球O的表面上有P A B C四点 且PA PB PC两两互相垂直 若PA PB PC a 求这个球的表面积和体积 四面体与球的 接切 问题 典型 正四面体ABCD的棱长为a 求其内切球半径r与外接球半径R 思考 若正四面体变成正三棱锥 方法是否有变化 1 内切球球心到多面体各面的距离均相等 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等2 正多面体的内切球和外接球的球心重合3 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上 但不重合4 基本方法 构造三角形利用相似比和勾股定理5 体积分割是求内切球半径的通用做法 1 例 正三棱锥的高为1 底面边长为内有一个球与四个面都相切 求棱锥的全面积和球的表面积 过侧棱AB与球心O作截面 如图 在正三棱锥中 BE是正 BCD的高 O1是正 BCD的中心 且AE为斜高 例 正三棱锥的高为1 底面边长为内有一个球与四个面都相切 求棱锥的全面积和球的表面积 设内切球半径为r 则OA 1 r 作OF AE于F Rt AFO Rt AO1E 在Rt AO1E中 在Rt OO1E中 例 正三棱锥的高为1 底面边长为内有一个球与四个面都相切 求棱锥的全面积和球的表面积 例 正三棱锥的高为1 底面边长为内有一个球与四个面都相切 求棱锥的全面积和球的表面积 设球的半径为r 则VA BCD VO ABC VO ABD VO ACD VO BCD 球的表面积与体积 变题 作业 球的表面积与体积 思路点拨 根据球截面性质找出球半径与截面圆半径和球心到截面距离的关系 求
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