第3章习题解答.doc

习题三答案3.1一质量为，边长为的等边三角形薄板，求绕垂直于薄板平面并通过其顶点的转轴的转动惯量。解1：三角形的顶点与质心的距离为，设所求转动惯量为，垂直于薄板平面并通过其质心的转轴的转动惯量为，利用平行轴定理，。 Y X取直角坐标系原点位于转轴与边的交点，三角形的一个顶点位于处，等边三角形薄板的面密度为，通过质心的转动惯量为由于该积分区域是对轴对称的，积分区间从到，的积分区间从到(单位均为L)。将上述积分化为，其中， ， 是由于积分号内的单位被提出 令 所以： 解2：在薄板平面内取直角坐标系，原点即为通过转轴的三角形顶点，另两个顶点分别位于，如下图所示。 Y X则而由于该积分区域是对轴对称的，积分区间从到，的积分区间从到(单位均为L)。上述积分化为3.2一质量为、半径为的均匀球体，求对于通过球心转轴的转动惯量。解： 3.3一个轮子装在固定轴上，整个系统无摩擦地自由转动。一条质量可忽略的带子缠绕在轴上，并以已知恒定的力拉之，以测定轮轴系统的转动惯量。当带子松开的长度为L时，系统转动的角速度为，求系统的转动惯量。解：外力做功为，带子松开的长度为L时，系统动能为，所以3.4质量为长为的均质杆，其B端水平的放在桌上，A端用手支住，问在突然撒手的瞬时，(1)绕B点的力矩和角加速度各是多少？(2)杆的质心加速度是多少？解：(1)绕B点的力矩由重力产生，设杆的线密度为，则绕B点的力矩为 杆绕B点的转动惯量为 角加速度为 (2)杆的质心加速度为 3.6 飞轮的质量为60kg，直径为0.50m，转速为1000r/min，现要求在5s内使其制动，求制动力F。假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数=0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外周上。尺寸如图所示。解：设在飞轮接触点上所需要的压力为，则摩擦力为，摩擦力的力矩为，在制动过程中，摩擦力的力矩不变，而角动量由变化到0，所以由 有 解得。由杆的平衡条件得 。3.7 如图所示，两物体1和2的质量分别为与，滑轮的转动惯量为，半径为。如物体2与桌面间的摩擦系数为，求系统的加速度及绳中的张力与(设绳子与滑轮间无相对滑动)； 如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度及绳中的张力与。 解：先做受力分析，物体1受到重力和绳的张力，对于滑轮，受到张力和，对于物体2，在水平方向上受到摩擦力和张力，分别列出方程 通过上面三个方程，可分别解出三个未知量， 在的解答中，取即得， ，。3.8 电动机带动一个转动惯量为I=50kgm2的系统作定轴转动。在0.5s内由静止开始最后达到120r/min的转速。假定在这一过程中转速是均匀增加的，求电动机对转动系统施加的力矩。解：由于转速是均匀增加的，所以角加速度为从而力矩为3.9 求题3.6中制动力矩在制动过程中所作的功。解：制动力矩在制动过程中所作的功等于系统动能的变化 本题也可以先求出摩擦力做功的距离以及摩擦力的大小来求解。3.10 一飞轮直径为0.30m，质量为5.00kg，边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀的加速，经0.50s转速达到10r/s。假定飞轮可看作实心圆柱体，求：飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；拉力及拉力所作的功；从拉动后t=10s时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。解： 飞轮的角加速度为 转过的圈数为 飞轮的转动惯量为 ， 所以，拉力的大小为 拉力做功为 从拉动后t=10s时，轮角速度为 轮边缘上一点的速度为 轮边缘上一点的加速度为 。3.11 弹簧、定滑轮和物体的连接如图3.11所示，弹簧的劲度系数为2.0N m-1；定滑轮的转动惯量是0.5kg m2，半径为0.30m，问当6.0kg质量的物体落下0.40m时，它的速率为多大？假设开始时物体静止而弹簧无伸长。解：当物体落下0.40m时，物体减少的势能转化为弹簧的势能、物体的动能和滑轮的动能， 即 ， 将，代入，得 3.12 一均匀铅球从高为，与水平面夹角为的固定斜面顶上由静止无滑动地滚下，求滚到底端时球心的速度。试用下述几种方法求解：(1)转动定理，以球和斜面的接触点为瞬时转轴；(2)质心运动定理；(3)机械能守恒定律；(4)角动量定理。图3.12 无滑移滚动的铅球解 铅球的受力如图3.12所示，根据质心运动定理，质心沿斜面平移运动的方程为绕质心的转动方程为 ，因为是无滑移的滚动，有 消去，我们有 ， 即 ，滚到底端时球心的速度为 3.13 质量为m、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动。一质量为m0的子弹以速度v0射入轮缘(如题3-13图所示方向)。(1)开始时轮是静止的，在子弹打入后轮的角速度为何值？(2)用m,m0和表示系统包括轮和子弹最后动能和初始动能之比。 v0 m0 解：由角动量守恒定律有 ，3.14 在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为的人。圆盘的半径为，转动惯量为，角速度为。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。解：系统的角动量在整个过程中保持不变。人在盘边时，角动量为 人走到盘心时角动量为 因此 人在盘边和在盘心时，系统动能分别为，系统动能增加 3.15 在半径为，质量为的静止水平圆盘上，站一质量为的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心，半径为的圆周匀速地走动时，设他相对于圆盘的速度为，问圆盘将以多大的角速度旋转？解：整个体系的角动量保持为零，设人匀速地走动时圆盘的角速度为，则 解得 3.16 如题3.16图示，转台绕中心竖直轴以角速度作匀速转动。转台对该轴的转动惯量=510-5 kgm2。现有砂粒以1g/s的速度落到转台，并粘在台面形成一半径=0.1m的圆。试求砂粒落到转台，使转台角速度变为所花的时间。解：要使转台角速度变为，由于砂粒落下时不能改变体系角动量，所以必须要使体系的转动惯量加倍才行，即 。将和代入得所以 3.17 一质子从远处射向一带电量为的重核，但没有瞄准，偏离了一个距离叫做散射参量，如习题3.17图所示。质子的动能为，重核的质量非常大，可以略去其反冲能量，即可以把重核看作是静止的。求质子能接近重核的最近距离。解：设质子在离核最近处，速度为。分别列出体系的角动量守恒方程和能量守恒方程由得，代入能量守恒方程得，由于，因而 。3.18 一脉冲星质量为1.51030kg，半径为20km。自旋转速为2.1 r/s，并且以1.010-15r/s的变化率减慢。问它的转动动能以多大的变化率减小？如果这一变化率保持不变，这个脉冲星经过多长时间就会停止自旋？设脉冲星可看作匀质球体。解：脉冲星的转动惯量为 转动动能为 转动动能的变化率为 由，得停止自旋所需要的时间为单位时间内，能量的变化百分比为：因此，停止自旋所需要的时间为？3.19 两滑冰运动员，质量分别为MA=60kg，MB=70kg，它们的速率VA=7m/s，VB=6m/s，在相距1.5m的两平行线上相向而行，当两者最接近时，便拉起手来，开始绕质心作圆周运动并保持两者间的距离为1.5m。求该瞬时：系统的总角动量；系统的角速度；两人拉手前、后的总动能。这一过程中能量是否守恒，为什么？解：设两滑冰运动员拉手后，两人相距为，两人与质心距离分别为和，则 ， 两人拉手前系统总角动量为 设两人拉手后系统的角速度为，由于两人拉手后系统角动量不变 所以， 两人拉手前总动能为： 拉手后，由于整个体系的动量保持为零，所以体系动能为 所以体系动能保持守恒。可以算出，当且仅当时，体系能量守恒，否则能量会减小，且 3.20一长=0.40m的均匀木棒，质量M=1.00kg，可绕水平轴O在竖直平面内转动，开始时棒自然地竖直悬垂。现有质量m=8g的子弹以v=200m/s的速率从A点与O点的距离为，如图。求：棒开始运动时的角速度；棒的最大偏转角。解：系统绕杆的悬挂点的角动量为 子弹射入后，整个系统的转动惯量为 由角动量守恒有 子弹射入后，且杆仍然垂直时，系统的动能为 当杆转至最大偏转角时，系统动能为零，势能的增加量为 由机械能守恒， 得 。 3.21 一根均匀细棒的下端放在光滑的水平面上，上端受一竖直向上的力，棒这时是静止的，如图所示当力撤去后棒就会下落到地面上，则它下落的方式是(A) 点不动 (B)中点竖直下落，(C)点竖直下落 (D)条件不足不能确定 根据质心运动定理，当力撤去后，棒的质心在重力作用下竖直下落。B3.22 压路机的滚筒可近似地看作一个直径为D的圆柱形薄壁圆筒如习题3.22 图，设滚筒的直径D=1.50m，质量为10吨，如果水平牵引力F为20000N，使它在地面上作纯滚动。求：滚筒的角加速度和轴心的加速度；摩擦力；从静止开始走了1m时，滚筒的转动 动能与平动动能。解： 采用瞬时转轴法，通过滚筒与地面接触点的轴，摩擦力无力矩，只有水平牵引力有力矩，所以注意利用平行轴定理计算滚筒对地面接触点的轴的转动惯量 ， 轴心的加速度为 在水平方向上滚筒受到水平牵引力和摩擦力的作用，由牛顿第二定律，摩擦力为 由于整个体系做匀加速运动，走了一米后，滚筒的速度为 其平动动能为 转动动能为 3.23 如图所示，一圆柱体质量为，长为，半径为，用两根轻软的绳子对称地绕在圆柱两端，两绳的另一端分别系在天花板上。现将圆柱体从静止释放，试求：它向下运动时的线加速度；向下加速运动时，两绳的张力。解： 采用瞬时转轴法，以绳和圆柱体的接触点为瞬时转轴，绳的张力无力矩，所以 ， 向下加速运动时，圆柱体竖直方向受到向下的重力，以及绳子的拉力，所以 ， 。3.24半径为30cm的轮子，装在一根长为40cm的轴的中部，并可绕其转动，轮和轴的质量共5kg，系统的回转半径为25cm，轴的一端A用一根链条挂起，如果原来轴在水平位置，并使轮子以的自旋角速度旋转，方向如图所示，求：该轮自转的角动量；作用于轴上的外力矩；系统的进动角速度，并判断进动方向。 解：本题属于进动问题。(1)因为轮轴系统的回转半径为，所以其转动惯量，自转角动量为(2)轮轴系统对A点的力矩为：(3)进动的角速度为，进动的方向俯视为逆时针方向。3.25 绕有电缆的大木轴，质量为1000kg，绕中心轴的转动惯量为300kgm2。如图所示：=1.00m，=0.40m。假定大木轴与地面间无相对滑动，当用F=9800N的水平拉力拉电缆的一端时，问：轮子将怎样运动？轴心的加速度是多大？摩擦力是多大？摩擦系数至少为多大时才能保证无相对滑动？如果力F与水平方向夹角为见图(b)，而仍要使木轴向前加速且与地面无相对滑动，问最大不能超过多少？