第五章+习题解答.doc

高等数学习题解答 （第五章 定积分） 惠州学院 数学系 习 题 5.11证：2解：（1）令，则 得驻点： 由， 得 由性质，得 （2）令， 所以在上单调增加， 即 3解：（1）当时，有，且不恒等于，即 。（2）当时，有，且不恒等于，即 。（3）令，则，所以在上单调增加，且不恒等于，所以 （4）令，则， 所以在上单调增加， 且不恒等于，所以 4.解：在区间内：，由比较定理： 5. 证明：考虑上的函数，则，令得当时，当时，在处取最大值，且在处取最小值. 故，即。6.解：平均值. 习 题 5.21. 解：（1）.（2）.（3）=.(4) =.(5) =.（6）=.2解：（1） （2）3.解： 当，得驻点，为极小值点，极小值4. 解：当时，当时，当时，故5. 解：令，则，从而即，6解：原式7解： 习 题 5.31解：（1）= （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）， 其中 解：（10），其中 .解：2解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）3. 解：(1) 为奇函数 （2） 利用定积分的线性性质可得原式而前两个积分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为0， 原式4证：令，则左边右边5证：令，则左边=右边6证一：而所以的值与无关。证二：令，则，所以是与无关的常数。7证：令，则所以是偶函数。8证：即 习 题 5.41. 答：不正确.因为在0，上存在无穷间断点 ， 故不能直接应用公式计算，事实上，所以广义积分发散.2解：（1） 即广义积分收敛于.（2）发散.（3） 即广义积分收敛于.（4）而所以（5）（6）（7）（8）令，则，于是 从而。3.解：（1） =+=(2) 令，于是4.解：左端右端 解之或。 本章复习题1. 解：若在几何上表示由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积. 若时，在几何上表示由曲线，直线及轴所围平面图形面积的负值.（1）由下图（1）所示，. 2A(2) -1 -1 1 1 1A1A (1) 1 -1 3A4A5A2 (3) 11(4)（2）由上图（2）所示，.（3）由上图（3）所示，.（4）由上图（4）所示，.2. 解：3. 解：任取分点,把分成个小区间 ，小区间长度记为=-,在每个小区间 上任取一点作乘积的和式：,记, 则.4. 解：连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对 等分，分点取相应小区间的右端点，故 = = =当（即），由定积分的定义得： =5. 解：先求在上的最值，由 , 得或.比较 的大小，知，由定积分的估值公式，得,即 .6. 解：（1）（2）=+=4+.（3）=+=2+2=4.（4）=.7. 解：（1）=.（2）=.（3）.（4）=.8. 解：（1）此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得=（2） 9. 解：10解：原式11解：将两边对求导得 12. 答：（1）不正确，应该为：=（2）不正确，应该为： =2.13. 解：（1）令=,则,当= 0 时，= 0；当= 4 时，于是=（2）=.(3)(4) (5)令，时；时，.于是(6) 令，则，.当时，当时，.原式.14. 解：（1）=.(2) = =1 (3) = =移项合并得.（4）（5）（6）15. 解：(1) =(2) 原式16. 解：由已知条件得 ，即， 即得。17. 证明：（1）设.且当时，；当故 （2）设， = 利用此公式可得：= = =.18. 证明： 利用分部积分法，= 19. 答：不正确.因为在，上存在无穷间断点 ， 不能直接应用公式计算，事实上，+不存在,故发散.20. 解：（1）=,发散.（2）=（3）（4）=.21.解：(1) 。(2) 令，则22. 证明：当，发散；当=。 本章复习题一、填空题1 。答案：填2. 若，则 。答案：填 令（为常数），则，所以即 。3. 设有一个原函数，则 。答案：填 因为，所以4. 。答案：填5. 设，则常数 。答案：填 左边，右边，所以二、选择题1设，其中为连续函数，则等于（）。 （A）；（B）；（C）；（D）不存在。答案：选（B） 应用洛必达法则，有2设为连续函数，且，则等于（）。 （A）；（B）； （C）；（D）。答案：选（A）3设函数在闭区间上连续，且，则方程在开区间内的根有（）。 （A）个；（B）个（C）个；（D）无穷多个。答案：选（B） 令，则在闭区间上连续，且，则由零点定理知，方程在内至少有一个根。 又因为当时，有所以函数在内单调增加，因此方程在内至多有一个根。 综上，有方程在内只有一个根。4下列广义积分收敛的是（） （A）；（B）； （C）；（D）；答案：选（C） 令，则上面四个广义积分可化为 （A）；（B）；（C）；（D）。则显然收敛，因为，而其余的都，发散。5下列广义积分发散的是（）。 （A）；（B）； （C）；（D）答案：选（A） （A）中，为瑕点，且，由极限敛散性判别法，知（A）中广义积分发散。三、计算题1. 设函数可导，且，求 。解：令，则，于是2. 设函数连续，且。已知，求的值。解：令，则，于是求导得，即取，得。3. 求极限解： 4. 求连续函数使它满足。解：令，即，则，所以，即两边求导，得，即积分，得5. 求。解：6. 求函数在区间上的最大值。解： 因，所以函数在区间上单增，则7. 求定积分。解：8. 已知，求常数的值。解： 左边 右边 所以有或。9. 计算解： 所以 10. 计算。解： 四、证明题1假设函数在上连续、在内可导，且。记证明在内。证明：由在上连续以及微积分基本定理，知在内可导，且有又因，则在内单调递减，所以有，而，所以2. 设在区间上可微，且满足条件。试证：存在，使证明：令，则显然在区间上可微（也连续），且,因此，在区间上据罗尔定理有，存在，使,即3. 设在区间上连续，在内可导，且满足（）。试证：存在，使证明：令，则显然在区间上连续，在内可导，且其中。因此，在区间上据罗尔定理有，存在，使即 ，。4. 设在区间上连续，在内可导，且满足。试证：存在，使得。证明：令，则显然在区间上连续，在内可导，且其中。因此，在区间上据罗尔定理有，存在，使即 ，。5. 设在上连续，在内可微，且。试证：至少存在一点，使。证明：由在上连续和积分中值定理，有，因此，在区间上据罗尔定理有，存在，使6. 设函数在上连续，且。利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点，使证明：因为在上连续，且，由最值定理，知在上有最大值和最小值，即故 由介值定理知，存在，使，即7. 设函数在上连续单调不减且非负。试证函数在上连续单调不减（其中）。证明：（1）先证的连续性。当时，由的连续性可知连续；又因可见在处右连续。所以在上连续。 （2）再证在上单调不减。当时，因在上单调不减，所以，所以所以在上单调不减。8. 设函数在内连续，且，试证： （1）若为偶函数，则也是偶函数； （2）若为单调不增，则单调不减。证明：（1）因为为偶函数，所以有，则 因此是偶函数。 （2）因为又为单调不增，则，而，所以则单调不减。9. 设在区间（）上连续，为偶函数，且满足条件（为常数） （1）证明； （2）利用（1）的结论计算定积分。证明：（1）而 则 （2）取为偶函数，因为 （为常数）特别地，取，有由（1），得10. 假设函数在上连续、在内可导，且。记证明在内。证明：由在上连续以及微积分基本定理，知在内可导，且有又因，则在内单调递减，所以有，而，所以11. 设在区间上可微，且满足条件。试证：存在，使。证明：令，则显然在区间上可微（也连续），且,因此，在区间上据罗尔定理有，存在，使,即12. 设在区间上连续，在内可导，且满足（）。试证：存在，使证明：令，则显然在区间上连续，在内可导，且其中。因此，在区间上据罗尔定理有，存在，使即 ，。13. 设在区间上连续，在内可导，且满足。试证：存在，使得。证明：令，则显然在区间上连续，在内可导，且其中。因