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文档简介

高等数学习题解答 (第五章 定积分) 惠州学院 数学系 习 题 5.11证:2解:(1)令,则 得驻点: 由, 得 由性质,得 (2)令, 所以在上单调增加, 即 3解:(1)当时,有,且不恒等于,即 。(2)当时,有,且不恒等于,即 。(3)令,则,所以在上单调增加,且不恒等于,所以 (4)令,则, 所以在上单调增加, 且不恒等于,所以 4.解:在区间内:,由比较定理: 5. 证明:考虑上的函数,则,令得当时,当时,在处取最大值,且在处取最小值. 故,即。6.解:平均值. 习 题 5.21. 解:(1).(2).(3)=.(4) =.(5) =.(6)=.2解:(1) (2)3.解: 当,得驻点,为极小值点,极小值4. 解:当时,当时,当时,故5. 解:令,则,从而即,6解:原式7解: 习 题 5.31解:(1)= (2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9), 其中 解:(10),其中 .解:2解:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)3. 解:(1) 为奇函数 (2) 利用定积分的线性性质可得原式而前两个积分的被积函数都是奇数,故这两个定积分值均为0, 原式4证:令,则左边右边5证:令,则左边=右边6证一:而所以的值与无关。证二:令,则,所以是与无关的常数。7证:令,则所以是偶函数。8证:即 习 题 5.41. 答:不正确.因为在0,上存在无穷间断点 , 故不能直接应用公式计算,事实上,所以广义积分发散.2解:(1) 即广义积分收敛于.(2)发散.(3) 即广义积分收敛于.(4)而所以(5)(6)(7)(8)令,则,于是 从而。3.解:(1) =+=(2) 令,于是4.解:左端右端 解之或。 本章复习题1. 解:若在几何上表示由曲线,直线及轴所围成平面图形的面积. 若时,在几何上表示由曲线,直线及轴所围平面图形面积的负值.(1)由下图(1)所示,. 2A(2) -1 -1 1 1 1A1A (1) 1 -1 3A4A5A2 (3) 11(4)(2)由上图(2)所示,.(3)由上图(3)所示,.(4)由上图(4)所示,.2. 解:3. 解:任取分点,把分成个小区间 ,小区间长度记为=-,在每个小区间 上任取一点作乘积的和式:,记, 则.4. 解:连续函数,故可积,因此为方便计算,我们可以对 等分,分点取相应小区间的右端点,故 = = =当(即),由定积分的定义得: =5. 解:先求在上的最值,由 , 得或.比较 的大小,知,由定积分的估值公式,得,即 .6. 解:(1)(2)=+=4+.(3)=+=2+2=4.(4)=.7. 解:(1)=.(2)=.(3).(4)=.8. 解:(1)此极限是“”型未定型,由洛必达法则,得=(2) 9. 解:10解:原式11解:将两边对求导得 12. 答:(1)不正确,应该为:=(2)不正确,应该为: =2.13. 解:(1)令=,则,当= 0 时,= 0;当= 4 时,于是=(2)=.(3)(4) (5)令,时;时,.于是(6) 令,则,.当时,当时,.原式.14. 解:(1)=.(2) = =1 (3) = =移项合并得.(4)(5)(6)15. 解:(1) =(2) 原式16. 解:由已知条件得 ,即, 即得。17. 证明:(1)设.且当时,;当故 (2)设, = 利用此公式可得:= = =.18. 证明: 利用分部积分法,= 19. 答:不正确.因为在,上存在无穷间断点 , 不能直接应用公式计算,事实上,+不存在,故发散.20. 解:(1)=,发散.(2)=(3)(4)=.21.解:(1) 。(2) 令,则22. 证明:当,发散;当=。 本章复习题一、填空题1 。答案:填2. 若,则 。答案:填 令(为常数),则,所以即 。3. 设有一个原函数,则 。答案:填 因为,所以4. 。答案:填5. 设,则常数 。答案:填 左边,右边,所以二、选择题1设,其中为连续函数,则等于()。 (A);(B);(C);(D)不存在。答案:选(B) 应用洛必达法则,有2设为连续函数,且,则等于()。 (A);(B); (C);(D)。答案:选(A)3设函数在闭区间上连续,且,则方程在开区间内的根有()。 (A)个;(B)个(C)个;(D)无穷多个。答案:选(B) 令,则在闭区间上连续,且,则由零点定理知,方程在内至少有一个根。 又因为当时,有所以函数在内单调增加,因此方程在内至多有一个根。 综上,有方程在内只有一个根。4下列广义积分收敛的是() (A);(B); (C);(D);答案:选(C) 令,则上面四个广义积分可化为 (A);(B);(C);(D)。则显然收敛,因为,而其余的都,发散。5下列广义积分发散的是()。 (A);(B); (C);(D)答案:选(A) (A)中,为瑕点,且,由极限敛散性判别法,知(A)中广义积分发散。三、计算题1. 设函数可导,且,求 。解:令,则,于是2. 设函数连续,且。已知,求的值。解:令,则,于是求导得,即取,得。3. 求极限解: 4. 求连续函数使它满足。解:令,即,则,所以,即两边求导,得,即积分,得5. 求。解:6. 求函数在区间上的最大值。解: 因,所以函数在区间上单增,则7. 求定积分。解:8. 已知,求常数的值。解: 左边 右边 所以有或。9. 计算解: 所以 10. 计算。解: 四、证明题1假设函数在上连续、在内可导,且。记证明在内。证明:由在上连续以及微积分基本定理,知在内可导,且有又因,则在内单调递减,所以有,而,所以2. 设在区间上可微,且满足条件。试证:存在,使证明:令,则显然在区间上可微(也连续),且,因此,在区间上据罗尔定理有,存在,使,即3. 设在区间上连续,在内可导,且满足()。试证:存在,使证明:令,则显然在区间上连续,在内可导,且其中。因此,在区间上据罗尔定理有,存在,使即 ,。4. 设在区间上连续,在内可导,且满足。试证:存在,使得。证明:令,则显然在区间上连续,在内可导,且其中。因此,在区间上据罗尔定理有,存在,使即 ,。5. 设在上连续,在内可微,且。试证:至少存在一点,使。证明:由在上连续和积分中值定理,有,因此,在区间上据罗尔定理有,存在,使6. 设函数在上连续,且。利用闭区间上连续函数的性质,证明存在一点,使证明:因为在上连续,且,由最值定理,知在上有最大值和最小值,即故 由介值定理知,存在,使,即7. 设函数在上连续单调不减且非负。试证函数在上连续单调不减(其中)。证明:(1)先证的连续性。当时,由的连续性可知连续;又因可见在处右连续。所以在上连续。 (2)再证在上单调不减。当时,因在上单调不减,所以,所以所以在上单调不减。8. 设函数在内连续,且,试证: (1)若为偶函数,则也是偶函数; (2)若为单调不增,则单调不减。证明:(1)因为为偶函数,所以有,则 因此是偶函数。 (2)因为又为单调不增,则,而,所以则单调不减。9. 设在区间()上连续,为偶函数,且满足条件(为常数) (1)证明; (2)利用(1)的结论计算定积分。证明:(1)而 则 (2)取为偶函数,因为 (为常数)特别地,取,有由(1),得10. 假设函数在上连续、在内可导,且。记证明在内。证明:由在上连续以及微积分基本定理,知在内可导,且有又因,则在内单调递减,所以有,而,所以11. 设在区间上可微,且满足条件。试证:存在,使。证明:令,则显然在区间上可微(也连续),且,因此,在区间上据罗尔定理有,存在,使,即12. 设在区间上连续,在内可导,且满足()。试证:存在,使证明:令,则显然在区间上连续,在内可导,且其中。因此,在区间上据罗尔定理有,存在,使即 ,。13. 设在区间上连续,在内可导,且满足。试证:存在,使得。证明:令,则显然在区间上连续,在内可导,且其中。因

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