高中数学基础知识、基本方法及命题思路简介.doc

高中数学主要内容及方法简介一、 三角部分1、基础知识：诱导公式 三角函数的图象及性质 正弦定理： 余弦定理： 和差角公式： 二倍角公式： 辅助角公式： （其中的象限由的正负决定，）2、高考几类基本题型三角函数自身的综合题（09年重庆卷）设函数（）求的最小正周期w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值三角函数与正余弦定理的综合题(09年全国卷1)在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求b w.w.w.k.s.5.u.c.三角函数与平面向量的综合题（09年湖北卷）已知向量（）求向量的长度的最大值；（）设，且，求的值。三角函数与实际问题的综合（09年宁夏海南卷）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。昭通一中第一次统测题17（10分）在中，角A、B、C所对的边分别为，且（1）求和的值（2）求的值昭通一中第二次统测题17（10分）已知向量,函数.（1）求f(x)的单调递增区间;（2）若在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足，求角B的大小及f(A)的取值范围.二、立体几何部分1、基础知识：线线关系、线面关系、面面关系 线线角、线面角、面面角 几种距离（全部转化为点面距离）2、高考几类基本题型偏重于传统解法的题目（08年天津卷）（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形.已知.（）证明平面；（）求异面直线与所成的角的大小；（）求二面角的大小.偏重于向量解法的题目（08年陕西卷）三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，平面，A1AC1B1BDC（）证明：平面平面；（）求二面角的大小传统方法与向量法并重的题目（昭通一中最后一次统测题）已知：四棱锥中，平面，为直角梯形，点在上，且.DPBCEOA(1)求证:平面;(2)若,求二面角EADC的大小.有一点坐标较难求的题目（08年宁夏卷）如图，已知点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，PDA=60。（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。图形倒置考查学生应变能力的题目（08年北京卷）ACBP如图，在三棱锥中，（）求证：；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离。逆向思维考查学生应变能力的题目（09年全国卷2）如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）证明：（II）设二面角为60，求与平面所成的角的大小。（I）分析一：连结BE，为直三棱柱， 为的中点，。又平面，（射影相等的两条斜线段相等）而平面，（相等的斜线段的射影相等）。分析二：取的中点，证四边形为平行四边形，进而证，得也可。分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。（II）分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得. 设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得 即与平面所成的角为分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。以下略。分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。探索性立体几何题目 如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求证：平面；（）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.【解法1】（）PA底面ABC，PABC.又，ACBC.BC平面PAC.（）D为PB的中点，DE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，PA底面ABC，PAAB，又PA=AB，ABP为等腰直角三角形，在RtABC中，.在RtADE中，与平面所成的角的大小.（）AE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角的平面角，PA底面ABC，PAAC，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时，故存在点E使得二面角是直二面角.【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系， 设，由已知可得 . （），w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，BCAP.又，BCAC，BC平面PAC.（）D为PB的中点，DE/BC，E为PC的中点，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，.与平面所成的角的大小.（）同解法1.三、概率部分1、基础知识：四种基本事件（等可能事件、互斥事件、独立事件、独立重复试验）2、E D S二项分布的期望与方差：E D 几何分布的期望与方差： 若3、在正态分布图象中： 对标准正态总体对一般正态总体，取值小于的概率4、三种抽样方法（简单随机抽样、分层抽样、系统抽样）5、高考几类重要题型与二项分布联系的概率统计题（09年北京卷）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.与分层抽样联系的概率统计题（09年全国卷2）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。（I）求从甲、乙两组各抽取的人数； （II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（III）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。与频率分布直方图联系的概率统计题（昭通一中统测题）某校高三年级参加奖学金考试的100名学生的数学成绩（成绩均为整数，试卷满分100分）分为六个分数段40,50）、50,60）、90,100后得到频率分布直方图（如图）.分析图中的信息，解答下列问题：60（1）求分数在70,80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从六个分数段共抽取20人进行质量分析，求每个分数段抽取的人数；504080700.0100.0050.0150.0200.0250.030频率/组距.-O0.035（3）再从上题抽出的20人中随机抽取2人，用表示抽取的2人中分数不低于80分的人数与低于80分的人数之差的绝对值，求的分布列及数学期望. 与实际问题联系的概率统计题（昭通一中统测题）某公司要将一批海鲜用汽车运往A城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入30万元，每提前一天送到，则多获得1万元，每迟到一天送到，将少获得1万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路1或公路2中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示. 统计信息汽车行驶路线不堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的概率运费（万元）公路1232公路2141 （1）记汽车走公路1时公司获得的毛利润为（万元），求的分布列和数学期望（2）假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？（注：毛利润=销售收入-运费）与期望方差联系的概率统计题（08年湖北卷）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.（）求的分布列，期望和方差；（）若=a-b,E=1,D=11,试求a,b的值.四、数列部分1、基础知识 等差数列 等比数列 2、求数列通项公式的几种重要方法类型1：（累加法）类型2：（累积法）类型3： （待定系数法）类型4：（配，两式相减后在用待定系数法，或直接用待定系数法求出后再用公式法）类型5： （公式法）类型6：（两式相减后用待定系数法）类型7：（两边同时除以后用待定系数法）类型8：（倒数法）类型9：数学归纳法3、求数列前n项和的几种重要方法类型1：错位相减法类型2：裂项相消法类型3：分组求和法类型4：倒序相加法类型5：数学归纳法类型6：放缩法4、高考基本题型直接知道前后两项的关系，求通项的题目（昭通一中统测题）已知数列满足，；（nN）（）求数列的通项公式；（）若数列的前n项k*s#5u和为.，试比较与2的大小.（昭通一中统测题）已知，点在函数的图象上，其中（1）证明数列是等比数列；（2）设，求及数列的通项；（3）记，求数列的前项，并证明（08年全国卷1）设函数数列满足，（）证明：函数在区间是增函数；（）证明：；（）设，整数证明：（09年全国卷1）在数列中，（I）设，求数列的通项公式（II）求数列的前项和直接知道的关系，求通项的题目（08年全国卷2）设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围 (09年全国卷2)设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式与函数、方程、不等式联系的较难题目（09年广东卷）已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（）求数列的通项公式；（）证明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：（1）设直线：，联立得，则，（舍去），即，（2）证明：由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，即在恒成立，又，则有，即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .www.k五、解析几何部分1、基础知识：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的所有相关知识2、高考几类基本题型与定值问题联系的题目（09年北京卷）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.w.k.s.5.u.c.o.m （昭通一中统测题）给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.（I）求椭圆的方程和其“准圆”方程； (II )点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点M，N .（1）当P为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程；（2）求证：|MN|为定值.（昭通一中统测题）已知椭圆和抛物线有公共焦点F(1,0), 的中心和的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线与抛物线分别相交于A,B两点.并且直线的斜率为正。（1）写出抛物线的标准方程；（2）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值 与最值或取值范围联系的题目（09年陕西卷）已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。（I）求双曲线C的方程； (II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 与探索性问题联系的题目（09年全国卷2） 已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）求，的值； （II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。解:(I）设，直线，由坐标原点到的距离为 则，解得 .又.（II）由(I）知椭圆的方程为.设、由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设 代入椭圆的方程中整理得，显然。由韦达定理有：.假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点，点P在椭圆上，即。整理得。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又在椭圆上，即.故将及代入解得,=,即.当;当.充分利用平面几何简化运算的题目（09年全国卷2）11. 已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A B. C. D. 解：设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,由双曲线的第二定义有.又 故选A9. 已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则A. B. C. D. 解：设抛物线的准线为直线 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为, 故选D（08年全国卷1）双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点已知成等差数列，且与同向（）求双曲线的离心率；（）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程六、函数、导数、不等式综合部分1、导数概念 在2、导数公式 （ 3、高考几类基本题型与不等式联系的导数题目(昭通一中统测题)设函数,其中.(I)当时,判断函数在定义域上的单调性;(II)求函数的极值点;10090分数（分） (III)证明对任意的正整数,不等式都成立.（09年全国卷2）设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解: （I） 令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得当时，在内为增函数；当时，