2010现代控制理论习题及解答(前两部分).pdf

1 1 李 李8 2 2 32 45 6116 Y sss R ssss 已知系统传函 试求可控标准型 已知系统传函 试求可控标准型 A为友矩阵 可观测标准型 为友矩阵 可观测标准型 A为友矩阵转置 为友矩阵转置 Jordan标准型动态方程 并绘出状态变量图 标准型动态方程 并绘出状态变量图 解 解 1 按可控标准型考虑 按可控标准型考虑 0100 0010 61161 541 r y XX X r 3 x 1 s 3 x 1 s 2 x 1 s 1 x 6 11 6 5 4 y 状态变量图状态变量图 2 2 32 45 6116 Y sss R ssss 已知 已知 0065 10114 0161 001 r y XX X 2 按可观测标准型考虑 按可观测标准型考虑 解 解 状态变量图状态变量图 r 1 x 5 6 1 s 1 x 2 x 11 4 2 x1 s 3 x 6 3 xy 1 s 3 22 32 4545 6116123 Y sssss R sssssss 111 123sss 1001 0201 0031 11 1 r y XX X 解 解 3 按特征值标准型考虑 按特征值标准型考虑 11 22 33 123 2 3 xxr xxr xxr yxxx 状态变量图 状态变量图 r 1 x 1 s 1 x 1 2 x 2 x1 s 2 3 x 3 x 1 s 3 y 1 4 34 86 2 2 ss ss sG 已知系统传递函数为 已知系统传递函数为 2 胡 胡9 6 试求可控标准型 试求可控标准型 A为友矩阵 可观测标准型 为友矩阵 可观测标准型 A为友矩阵转置 对角型 为友矩阵转置 对角型 A为对角阵 动态方程 为对角阵 动态方程 解 解 34 52 1 2 ss s sU sY sG 1 可控标准型可控标准型 1 2 010 341 52 xxu x yu x 2 可观测标准型可观测标准型 1 2 035 142 01 xxu x yu x 3 对角线型对角线型 2 251 50 5 11 4313 Y ss U sssss 11 22 1 2 101 031 1 50 5 xx u xx x yu x 或 或 11 22 1 2 101 5 030 5 1 1 xx u xx x yu x 3 李 李9 2 已知系统框图如下图所示 试写出其状态空间表达式 已知系统框图如下图所示 试写出其状态空间表达式 解 1 写出状态空间表达式 解 1 写出状态空间表达式 112 21 1 23xxxu xxu yx 231 101 10 u y XX X 由图可得 由图可得 2 判断系统的能控性和能观测性 判断系统的能控性和能观测性 整理可得 整理可得 1 1 rankrank1 1 1 n BAB由由 系统状态不完全能控 系统状态不完全能控 10 rankrank2 23 n C CA 由由系统状态完全能观测 系统状态完全能观测 5 6 4 李 李9 3 2yyyuu xy 12 xyu 设线性系统的运动方程为 选状态变量为 试列写该系统的状态方程与输出方程 分析其能控性与能观测性 解 设线性系统的运动方程为 选状态变量为 试列写该系统的状态方程与输出方程 分析其能控性与能观测性 解 1 列写系统的状态方程与输出方程 由已知条件得 列写系统的状态方程与输出方程 由已知条件得 12 xyxu 2 xyu 2uyy 2 yuyu 22uyuuy 21 2xxu 整理可得 整理可得 011 121 u XX 10y X 7 已知系统框图如下图所示 试写出其状态空间表达式 已知系统框图如下图所示 试写出其状态空间表达式 5 胡 胡9 4 解 解 由题意可得由题意可得 123 21 31 2 1 2 3 X sXsXs s s XsU sX s s XssX s 13 212 323 232 23 xx xxxu xxx 系统动态方程为 系统动态方程为 11 22 33 T 123 0010 2302 0230 100 xx xxu xx yxxx 010 001 6116 A由已知的系统矩阵求状态转移矩阵 由已知的系统矩阵求状态转移矩阵 6 李 李8 7 解 解 32 10 016116123 6116 s ssssssss s IA由可得由可得 1 1s 2 2s 3 3s 系统特征值为 系统特征值为 方法方法1 线性变换法 线性变换法 111 123 149 P 1 1 11132 5 0 5 123341 14911 50 5 P 100 020 003 A t t2t 3t 00 00 00 e ee e A 8 t1 te A PP t2t3tt2t3tt2t3t t2t3tt2t3tt2t3t t2t3tt2t3tt2t3t 332 541 50 50 5 3632 584 50 521 5 31292 51613 50 544 5 eeeeeeeee eeeeeeeee eeeeeeeee 9 方法方法2 有限多项式法 有限多项式法 2 012 tttt IAA 令 由 令 由Cayley Homilton定理 可得定理 可得 2 t 012 2 2t 012 2 3t 012 11 22 33 ttte ttte ttte t2t3t 0 t2t3t 1 t2t3t 2 33 2 541 5 0 50 5 teee teee teee 2 012 tttt IAA 012 100010010010 010001001001 001611661166116 ttt t2t3tt2t3tt2t3t t2t3tt2t3tt2t3t t2t3tt2t3tt2t3t 332 541 50 50 5 3632 584 50 521 5 31292 51613 50 544 5 eeeeeeeee eeeeeeeee eeeeeeeee 10 XAX设系统状态方程为 求取系统矩阵及状态转移矩阵 设系统状态方程为 求取系统矩阵及状态转移矩阵 2 2 t t e t e X 1 0 1 X已知条件 当 时 已知条件 当 时 2 t t e t e X 2 0 1 X 当 时 当 时 7 李 李8 9 解 解 0tt XX 由 可得 由 可得 2 2 1 1 t t e t e 22 1 t t e t e 2 2 122 11 tt tt ee t ee 可合并写为 可合并写为 1 2 2 122 11 tt tt ee t ee 22 22 222 2 tttt tttt eeee eeee 于是 由状态转移矩阵的性质 可得系统矩阵 于是 由状态转移矩阵的性质 可得系统矩阵 0 t t A 02 13 11 01 21 XX 25 T t X 试确定与相对应的 试确定与相对应的 0 X 已知已知 8 李 李8 12 解 解 2 1 221 21 s sssss s IA由由 11 12 P A A为友矩阵且系统特征值互异 故可取变换阵为友矩阵且系统特征值互异 故可取变换阵 1 21 33 11 33 P t t1 2t 21 110 33 12110 33 e te e A PP t 2tt 2t t 2tt 2t 2111 3333 2212 3333 eeee eeee 0tt XX 由得 由得 1 1s 2 2s 1 0tt XX t2tt2t t2tt2t 2111 2 3333 22125 3333 eeee eeee t2t t2t 3 32 ee ee 12 010 232 u XX 3 1y X 1 u tt T 0 01 X y t 作用下的系统输出 试计算初始条件 已知 作用下的系统输出 试计算初始条件 已知9 李 李8 14 解 系统状态转移矩阵 解 系统状态转移矩阵 1 1 tLs IA 22 22 2 222 tttt tttt eeee eeee 0 tt XX 0 t tud B 非齐次状态方程的解 非齐次状态方程的解 2 2 2 tt tt ee ee 2 2 12 22 tt tt ee ee 1 t t e e 3 1y X 1 3 132 t t t e e e 系统输出方程的解系统输出方程的解 13 2 3 1 2 y ky ky ku k 1 x ky k 2 1 x ky k 1 u tt 试写出该系统的状态方程 并求其解 设系统差分方程为 取为一组状态变量 已知 试写出该系统的状态方程 并求其解 设系统差分方程为 取为一组状态变量 已知 10 李 李8 16 解 解 1 写出该系统的状态方程 写出该系统的状态方程 1 x ky k 2 1 x ky k 由由 12 1 1 x ky kx k 2 1 2 x ky k 21 3 2 u kx kx k 11 22 1 010 1 23 1 x kx k u k x kx k 整理可得 整理可得 2 求系统的状态转移矩阵 用线性变换法 求系统的状态转移矩阵 用线性变换法 11 12 P 1 21 11 P 10 02 A 1 P APP AP 2 320 IA 由由 12 1 2 取变换矩阵取变换矩阵 1 kk k APA P 11 12 10 02 k 21 11 21212 2122122 kkkk kkkk 14 3 求状态方程的解 求状态方程的解 10 20 21212 0 2122122 kkkk k kkkk x x A X 10201020 10201020 212 21222 kk kk xxxx xxxx 111 000 21212120 11 1 2122122122 iiiiii kkk i iiiiii iii u ki A B 根据等比数列前项和的计算公式可得 根据等比数列前项和的计算公式可得 1 0 1112 12 23 1221112 2 23 kk ii k iikk i 111 12 623 112 12 623 kk kk 于是 非齐次状态方程的解为 于是 非齐次状态方程的解为 0 k k XA X 1 0 1 k i i u ki AB 10201020 10201020 111 212 623 112 21222 623 kk kk xxxx xxxx 15 tttt tttt eeee eeee t 22 22 3233 4456 已知线性系统状态转移矩阵 试求该系统的状态阵 已知线性系统状态转移矩阵 试求该系统的状态阵A A 11 胡 胡9 12 解 解 由状态转移矩阵的性质知 由状态转移矩阵的性质知 0 0 t dt A dt 于是 于是 22 22 0 61048 3626 tttt tttt t eeee A eeee 44 34 16 uxx 1 1 11 01 已知系统状态方程为 初始条件为 已知系统状态方程为 初始条件为x1 0 1 x2 0 0 试求系统在单位阶跃输入作用下的响应 试求系统在单位阶跃输入作用下的响应 12 胡 胡9 11 解 解 10 11 s sIA s 1 2 10 1 11 1 s sIA ss 2 1 0 1 11 1 1 s ss 0 0 t x tt xbu td 0 0 t t xbd 10 0 t tt e tee 0 1 te d e t t e te 0 t e e t t e te 1 t t e te 21 2 t t e te 0 t tt e t tee 17 x