2014数学建模综合练习题答案.pdf

数学建模综合练习答案 1 设渔场鱼量 x t 的变化率 x t 等于 r x t ln N x t 与捕捞率 E x t 之差 其中常数 r 表示 自然增长系数 常数 N E 表示捕捞强度 均大于零 设初始时刻 t 0 时的鱼量为 x0 0 1 建立鱼量 x t 的微分方程模型 2 求解微分方程 写出鱼量 x t 的表达式 3 求当时间趋于正无穷大时的鱼量 x Inf 即达到平衡态时的鱼量 4 求在平衡态时 使捕捞率达到最大时的捕捞强度 E 解 微分方程为 d ln d N x x x rE t 分离变量得 d ln d lnln x t rNErx 积分并由初始条件得 0 lnln lnln exp rNErxrNErxrt 当时间趋于正无穷大时 鱼量为 inf exp E xN r 平衡态时捕捞率为exp E NE r 由微分法得知 其最大值在Er 时达到最大值 2 甲市的一公司共有五个部门 A B C D E 由于在各城市的成本有所不同 为了达到 最大的效益 要把某些部门迁到乙市及丙市 单纯由搬迁可获得的利益 单位万元 如下 A B C D E 乙 10 15 10 20 5 丙 10 20 15 15 15 各部门之间的通讯量如下 B C D E A 1000 1500 B 1400 1200 C 2000 D 700 不同城市之间单位通讯量的费用 单位元 如下 甲 乙 丙 甲 100 130 90 乙 50 140 丙 50 求最佳的搬迁方案 使得总效益最大 1 建立该问题的线性规划模型 如模型是非线性的 要把它化为线性规划 2 写出求解该模型的 LINGO 程序 解 用 1 2 3 4 5 分别表示 A B C D E 部门 用 1 2 3 分别表示甲 乙 丙市 设零一变量1 ij x 表示 i 部门搬到 j 市 令零一变量 ijklijkl yx x 用 ij B 表示 i 部门搬到 j 市的效益 用 ik D 表示 i 部门与 k 部门之间增加的通讯量 用 jl C 表示 j 市与 l 市之间的单 位通讯费 则数学模型为 535353 11111 max10000 ijijjlikijkl ijijk i l B xC D y 同部门不计费 不同部门不重复计费 s t 3 1 1 ij j x 各部门只搬至一市 5 1 1 ij i x 要求每个城市至少一个部门 若无此要求 则不要此约束条件 0 ijklij yx 0 ijklkl yx 1 ijklijkl xxy ki 线性化 ijklijkl yx x ijijkl xy为零一变量 1 2 3 4 5 i k 1 2 3 j l LINGO 程序为 SETS DEPT 1 5 CITY 1 3 Benefit DEPT CITY B X Fee CITY CITY C Comm DEPT DEPT D Multi DEPT CITY DEPT CITY Y ENDSETS MAX 10000 SUM Benefit I J B I J X I J SUM Multi I J K L I LT K C J L D I K Y I J K L FOR DEPT I SUM CITY J X I J 1 FOR CITY J SUM DEPT I X I J 1 要求每个城市至少有一个部门时 FOR Multi I J K L I LT K Y I J K L X I J 0 Y I J K L X K L 0 X I J X K L Y I J K L 1 FOR Benefit BIN X FOR Multi BIN Y DATA B 0 10 10 0 15 20 0 10 15 0 20 15 0 5 15 C 100 130 90 130 50 140 90 140 50 D 0 0 1000 1500 0 0 0 1400 1200 0 1000 1400 0 0 2000 1500 1200 0 0 700 0 0 2000 700 0 ENDDATA 3 设一均匀线密度为 的轻质细弹性弦 两端分别固定在点 L 0 及点 L 0 上拉紧 张力为常数 T 受重力的影响有微小的向下弯曲 曲线用 y y x 表示 设 y 轴向下为正 则 根据物理定律 其弹性势能与位能之和达到最小值 即 L 2 L J