D2导数与微分习题课.pdf

习题课 一 一 导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二 二 导数和微分的求法导数和微分的求法 导数与微分 第二章 一 一 导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用 导数导数 当 时 为右导数 当 时 为左导数 微分微分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 关系关系 可导 可微 思考 P124 题1 应用应用 1 利用导数定义解决的问题 3 微分在近似计算与误差估计中的应用 2 用导数定义求极限 1 推出三个最基本的导数公式及求导法则 xxxC x cos sin ln 0 1 其他求导公式都可由它们及求导法则推出 2 求分段函数在分界点处的导数 及某些特殊 函数在特殊点处的导数 3 由导数定义证明一些命题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1 设 0 x f 存在 求 lim 0 2 0 0 x xfxxxf x 解解 原式 x xfxxxf x lim 0 2 0 0 2 xx 2 xx 0 x f 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2 若 0 1 f且 1 f 存在 求 tan 1 cos sin lim 2 0 xe xxf x x 解解 原式 2 2 0 cos sin lim x xxf x 且 联想到凑导数的定义式 2 2 0 1cossin1 lim x xxf x 1cossin 2 xx 1cossin 2 xx 1 f 1 f 2 1 1 1 2 1 f 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3 设 xf 在 2 x处连续 且 3 2 lim 2 x xf x 求 2 f 解解 2 f lim 2 xf x 2 2 lim 2 x xf x x 0 2 2 lim 2 2 x fxf f x 2 lim 2 x xf x 3 思考思考 P124 题2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4 设 试确定常数 a b 使 f x 处处可导 并求 解解 xf 1 x bxa 1 x 1 2 1 ba 1 x 2 x 1时 x axf 时 1 x 2 xxf 1 1 1 fff 1 1 ff 得 处可导 在利用1 xxf 即 ba 1 1 2 1 ba 2 a 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 2 ba2 1 f 1 2 1 2 xx x xf 是否为连续函数 判别判别 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xf 1 x bxa 1 x 1 2 1 ba 1 x 2 x 1时 x axf 时 1 xxxf2 设 解解 又 例例5 所以 在 处连续 即 在 处可导 处的连续性及可导性 0 0 f 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二 二 导数和微分的求法导数和微分的求法 1 正确使用导数及微分公式和法则 2 熟练掌握求导方法和技巧 1 求分段函数的导数 注意讨论界点界点处左右导数是否存在和相等 2 隐函数求导法 对数微分法 3 参数方程求导法 极坐标方程求导 4 复合函数求导法 可利用微分形式不变性 转化转化 5 高阶导数的求法 逐次求导归纳 间接求导法 利用莱布尼兹公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6 6 设 其中 可微 解解 yd d sin sinxx ee d sin sinxx ee d sinsin sin xee xx d cos sinxxx eee xexe xx d sin cos sin xx ee cos 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7 7 且 存在 问怎样 选择 可使下述函数在 处有二阶导数 xf 解解 由题设 0 f 存在 因此 1 利用 在 连续 即 0 0 0 fff 得 0 gc 2 利用 0 0 ff 0 0 lim 0 0 x gxg f x 0 g 0 0 lim 0 2 0 x gcbxxa f x b 而 得 0 2 xcbxax 0 xxg 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 gb 3 利用 0 0 ff 0 0 lim 0 0 x gxg f x 0 g 0 2 lim 0 0 x bbxa f x a2 而 得 0 2 1 ga 0 gc xf 0 2 xcbxax 0 xxg 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8 8 设由方程 10 1sin 2 2 2 yyt ttx 确定函数 xyy 求 解解 方程组两边对 t 求导 得 t x d d t 2 t x d d y t t y cos1 2 d d 故 x y d d cos1 1 yt t 22 t t y d d ycos t y d d 0 1 2 t t y d d t x d d 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 d d x y d d d d x y t t x d d cos1 1 d d yt t t 1 2 t yttysin 1 cos1 23 cos1 1 2yt t y d d yttysin