芜湖一中2011年高一自主招生数学试卷.doc

芜湖一中2011年高一自主招生考试数 学 试 卷题 号一二三总 分1314151617得 分一、选择题（每题6分，共36分）题 号123456答 案1如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（ ）A B. C. D. 2二次函数的图象如何移动就得到的图象（ ）A向左移动1个单位，向上移动3个单位.B. 向左移动1个单位，向下移动3个单位.C. 向右移动1个单位，向上移动3个单位.D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位.3已知a、b、c为正实数，且满足 k ,则一次函数 的图象一定经过（ ）A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限4某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx（x表示不大于x的最大整数）可以表示为（ ）AyB. yC. yD. y5正实数满足,那么的最小值为（ ）A B. C. 1 D. 6如图，点P为弦AB上一点，连结OP，过P作，PC交 于点C，若AP=4，PB=2，则PC的长为 （ ）A2 B. 3 C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分）7 二次函数yax2+(ab）xb的图象如图所示，那么化简的结果是_.8随机掷三枚硬币，落地后恰有两枚正面朝上的概率是 .9设x1、x2 是一元二次方程x2+4x3=0的两个根，2x1(2x22+5x26)+a =2，则a= .10已知三角形的三边a、b、c都是整数，且满足abc+bc+ca+ab+a+b+c=7，则此三角形的面积等于 .11已知方程在实数范围内恒有解，并且恰有一个解 大于1小于2，则的取值范围是 12如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C,D,E在AB上，F,N在半圆上若AB=10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是 三、解答题：（本大题共5小题，计72分，写出必要的推算或演算步骤）13（13分）已知为整数，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，求的值14（14分）在中，.以为底作等腰直角，是的中点求证：.15（15分）已知AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，DCB的平分线与半圆M交于点E（1）求证：CD是半圆O的切线（图1）；（2）作EFAB于点F（图2），求证：；（3）在上述条件下，过点E作CB的平行线交CD于点N，当NA与半圆O相切时（图3），求EOC的正切值图1图22图316（15分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA10厘米，OC6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1厘米秒（1）设点Q的运动速度为 厘米秒，运动时间为t秒，当CPQ的面积最小时，求点Q的坐标；当COP和PAQ相似时，求点Q的坐标（2）设点Q的运动速度为a厘米秒，问是否存在a的值，使得OCP、PAQ和CBQ这三个三角形都相似？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由.芜湖一中2011年高一自主招生考试数学试卷参考答案一、选择题（每题6分，共36分）题号123456答案CBCBAD二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分）7-1 8 9-16 10 11 或 1225三、解答题：（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13解：依题意得 6分 由得代入、得，10分又为整数，将代入得12分 13分14证明：作的中线EF，2分,即5分7分又10分 12分14分15（1）证明：如图1，连结OD，则OD为半圆O的半径OC为半圆M的直径CDO=90CD是半圆O的切线。（2）如图，以OC为直径作M，延长EF交M于点P，连结OD。4分EFCO5分CE平分DCBDCE=ECO7分OD=EP8分（3）解：如图3，延长OE交CD于点K设OF=x，EF=y，则OA=2y9分NE/CB，EFCB，NA切半圆O于点A四边形AFEN是矩形10分易得E是OK的中点N是CK的中点图3RtCEFRtEOF，即解得13分，tanEOC=315分16解：（1）SCPQ=S矩形OABC-SOCP-SPAQ-SBCQ1分 =60-6t-(10-t)t-10(6-t)= t2-3t+30 =(t-6)2+21 (0 t 10) 2分故当t=6时，SCPQ最小值为21, 此时点Q的坐标为(10,3) 3分如图，当12时，=,= t2+6t-60=0 解得t1= -6+2, t2= -6-2（舍去）5分当1=3时，解得t=7, 因此，当t= -6+2或7时，即当Q点的坐标为(10,-3+)或(10, )时COP与PAQ相似。7分设P、Q运动时间为t秒，则OP=t, AQ=at. 当1=3=4时，=, =解得t1=2, t2=18(舍去)，此时a=, Q点的坐标为(10, )8分当1=3=5时，CPQ=CQP=90不成立； 10分当1=2=4时，=, =得5t2-36t+180=0, 0, 方程无实数解；12分当1=2=时，由图可知1=PCB5,故不存在这样的a值；14分综上所述，存在a的值，使得OCP与PAQ和CBQ这两个三角形都相似，此时a=, Q点的坐标为(10, )15分17解：由题意，abc2，a1，bc1 -2分抛物线顶点为A（，c）设B（x1，0），C（x2，0），x1x2b，x1x2c，b24c0|BC| x1x2|ABC为等边三角形， c -4分即b24c2，b24c0，2c1b，b24b160，b22所求b值为22 -6分abc，若a0，则b0，c0，abc0，与abc2矛盾.a0 -8分bc2a，bcb、c是一元二次方程x2(2a)x0的两实根（2a）240， a34a24a160, 即（a24）(a4)0，故a4.-10分abc0，a、b、c为全大于或一正二负若a、b、c均大于，a4，与abc2矛盾； -12分若a、b、c为一正二负，则a0，b0，c0,则|a|b|c|abca(2a)2a2， -14分 a4，故2a26