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983 年第五 期 初 等数 学 习 题集 选译 一 原著 B B 林德斯基等 玮译 按 初等数学习题集 作者B B 林德斯 基等 莫斯科 科学出版社出版 年 全书包括代数 几何 三角三 个部分 共有68 0道 有一定难度的习题 并 附有提示或解答 作 者 意在帮助读者扩 充初等数学知识 以报考对数学有较 高要求 的高等院校 译者根据原著 并结合我国实际情况 选译了其中的一部分 供读者 参考 平面几何 部分 一 计 算题 A A 产 B B z 和CC 产 如果 A B 1 AB 了落 1 在 A B C中 乙A是 B的二倍 已知边b和 求边 a 2 直角三 角形的直角边分别等于 b和 求直角 的平分线的长 3 从直 角三角形A BC的斜边AC上一点P 引AC 的垂线PM 若它把三角形分成两 个等积的图形 而且人P a PC 二b 求 A BC的面积 4 给定了三角形的两边 a 和b 并已知这两 边 七的中线相交成直角 求三 角形的第三边 在怎样 的条件下这个三角形是存在的 5 夹三 角形一顶角的两边分别为 a 和b a b 再用直线把这个角三等 分 这些直线在三角形内部 的线段之比 为m n m n 求这些线段的长 6 在 A Be内 二A 一 荟 Be 一 从 顶 点A引的高等于另外的两 高之 和 求 A BC 的面 积 7 一直线 与已知 ABC的边BC平 行 与另两 边交于D E 而巨使 B DE的面积等于 常 数k 问k 名 与 AB C的面积之 间具有怎样的关系 时问 题 是可解的 有几个解 8 经过三角形内部的某个 点 引三条分别平行 于各边的直线 这些直线把三角形的面积分成六部 分 其中有 三个是面积 为S s s 的三 角 形 求原三角形的面积 9 在 A BC中 边BC a AB二 高线 为 一 DE A D和C E 如果岑二 一 k 求Ac 一 一 AC 1 0 在底 边为AC的等腰三角形A BC中 作 高线 A 吞B厂C了和 A B C的面积之比 1 1 在 ABC中 作高线A A BB Cc 把垂足连结起来 若已知 ABC的角 试计算 A B C 和 A BC的面积之比 12 在八A BC中 经过乙B和 C平 分线的交点 引平 行于BC的直线MN M 入分别 是该直线与边 AB和AC的交点 试求线段MN BM CN 之间 的 关系 分下面几 种情况 1 两内角平分线 2 两外角平分线 3 一个为内角平分线 另一 个为外角平分 线 在什 么情况下M和N重合 13 点M和N分别位于 A BC的边AB和BC上 且豁 一 器 二 一直线 三角形 的中线 B D交于点0 求 B0 D0 14 在正三 角形A BC内部任取一点P 分别向BC CA A B作垂线PD PE和Pr 从该点 D E F为垂足 计算 PD PE PF BD CE A F 1 5 求 ABC的面积和以它的中线为边的三角 形面积之比 1 6 在以 a b 为边的三角形 内 有一直径位于 边且与边a b相切的半圆 求这个半圆的半径 17 已知一直角三角形的外 接圆半径和内 切圆 半径之比为5 2 试确定该直 角三角形的角 18 画出直角三角形ABC的外接圆 从斜边Ac 4 2 中等数学 的端点到切圆于点B处的直线的距离为m和 n 求直 角边A B和BC 19 在 ABC内 AB BC二b 中线乃D的 延 长线和三角形的外接圆交于点E 且BD D E 匕 求AC 2 0 在等腰三角形ABC的底边A B上有一点D 已知A D a DB b a 则点M在直角边BC丘 在前面的 L士 论里需要调换一下a 与b叼位置 此时 s二Y二 呈b了护 十 骊丁6 最后 岁 l 则 点M和B重合 s 4 庄 A BC中 图4 0是 中线A D 门B E的交 点 AC b BC 现在求A B 以下用 c表示AB 设O D OE y 于是在 A OE A O B 和 BOD中 可以得到 一 yZ 鉴 一 4y么二 2 4 一 6y2 一 官肖去x和y 得到 eZ 图 1 ACD和 A BC相似 ACBC CDAC 于是 边为 a l aZ b Z 勺 的三角形存在条 件为 所以 或 者写成 a b 因而 a 侧b Z b e 2 设A D是 A BC的直 角A的平分线 并且 5 a b a b Z 5 a 一b a b 2 显然 第 一个不等式对于任意的 a 和b都满足 第二 补不等式可以变形为 a 一 几 b b 0 2 关于 一解这 个不等式 最后可以得到 一C b 一卜 a一 一 一 b DE Ac 图 因 为乙DA E 二 叹 贝弓AE 一DE 住 l 其中 二 A D 是所求之长 b 一x 这名 b 迎 成 写或c E 一 C A E D 一 一 A B 丫 2 因为 1 兰 b 1 相反地 容易看到 彩 图 6 S 一 S 一奋 bys 一 杏 y Za S 一 S 音 b二 2 晋 一 一 S e 5 oe S一 e 当条件 1 成立时 点M在直角 边 AB 卜 而且不 与B重合 承认 条件 1 则 么A BC APM 1 一b y i a 1 二 艺 一 2 in 工 ina 2 匕较 第 一 一三 两戈不以得到 Za s 二 a 三 图 3 按问题的条件 A BC的面积是 APM 面积 y 比较第二 三 两式可以得到 Zb s 二 y b x 1983 年第五 期 再啦题设 有 解之 可得 n Z 一m 乏 a b x 二 石压面二石面 一 有两解 若s 4 护 有一解 口 8 月 S表 示已知 A BC灼 面 积 按问题条 6 设A B x AC y 图6 这时艺 A BC的面积 n Z一 m 之 a b m b m 一an 通 6 么 舀一勺一月d 件所得到的面 积为S s S 的三角形都 和 ABC 于目似 图s 所以 S 奋 ys BA c y裂 旦了令 器 代 竺一 器 了 手 二 器 1 三角形的高可分别表示为 h 一 攀 b 一多手 h 等 2 按问 颗 的条件 有b h二 b 代入 2 把这些等式相加就可得到 s 二 侧污丁 训 一 不 十 了万歹 一 9 我们先证 明渔A B C DBE 而且若 B 为锐角 其 相 似比 为 B 可得 x y 五甲少一 一 a 3 e sB 若乙B为钝角 其相似比为 一c B 我们 只考察乙B为锐角的情况 图9 乙B为钝角时是 完全类似的 再由余弦定理可以得到用 x y表示边BC的表达式 图 9 x y 一 工 x 任 A BC与 D BE有公共角乙B 再从直角三角形 A DB和BE C中看到 解方程组 3 再 减去 4 式 4 导 到 二a 2 4 先将 3 式两端平方 B 卫旦 xy a2 乡 x y 一 生 AB 所以 AB C D B E BE BC 1 从 这个方程得到 y二4 乞 负根舍去 于是 从 1 式可以得到 再由题设 一票 二k 所以 B k 由余 弦 J飞 气J S二 a 侧 15 4 注 我们在求解过程 中假定了满足条件的三 角形 是存在的 为了证明这个三角形是存在的 我 们 把方程组 3 4 解到最后 为此 将已 经求得的x y的值代人 3 于 是 得到x y 4 和 十y 4a 从此求得 y 2 0 现在清楚了 满足 问题所有条件的三角形的边长是A B AC 二 Z a BC a 7 用S表 示已知 A B C的面积 图7 并 定理可以得到 AC 二 召 aZ eZ 士 2 a ek 其中符号为 一 或 决定于乙B为锐角还是钝 角 10 A BC 么A B C 图10 且 其 相似 比为 c C 参阅第九题 于是c o sC二 了 3 设AB 二Bc 二a 乙ABc 二 p 于是A IB I 1 丫 3 由于 C 压 工 洲夕丫Z 丫洲刁翌云 咒 二二 于是八A 的面 积等于 25 A BE 的面积等于x S 这个 结 论是不难得到的 一 译 产 由 ABC A B C 又得到乙A B 乙C二 日 乙C A 产 B l和乙A 二B C 是两平 行线的内错角 乙c A B 母 又有 e osp二c 二 一艺c 二 一2 S e 1 3 现在再求 A B C和遨A B C 的面 积 1 0 者 根据间题的条件 可以得到如下的方程 x s 一x 艺S k 艺 解之 得 到 士丫 4k Z S 2 撬从 A 一州犷一一咨A厂一一 瓦一 因此 当S 4k Z 时 可额可解 并且若 S 4 k 2 图IQ图11 等数 4 4 甲 二争 炎天 十 一 口 二A D B n 二 经 p sin 日 这时 卫丝 BM CN BN 并且所求之比盲 云 D0FM BM 于是 呈 会打 立 1 c o s 一 哥 首先假设 A B C是锐角三角形 图11 现 将线 段BM的长作为单位 则AM 一 m EM 又因为DF是 A CE的 中线 所以AF FE 因而 于 是 S S a e 一 g S 1Aez S EF 二 生AE 久 m 一n 22 1 因为S l 二 工A B A c Sin A 毛 A B SA 2 Ae e o sAsin A 一I A B 2 A C sin A eos艺A S ee o sZ A 类似地 有 由此 得 MF EM千EF 亩 m 十 泌 1 叠 厂曰 一万于 C人 E 5 ez 么1 S 1 二 S 一 eo s ZB 二S 一 eeos Z e 图 5 图 16 把这些 表达式代人 1 式 就 得到 S c S c 1 一eo sZA一e os艺B一eos C 2 如果 A B C是钝 角三 角形 图12 则 1 式将成为 S e S 5 1 e S c l 一 相 应地 2 S 1 Ic S 一 献 式成为 Aw e e e气井e s e s 下 图 12 二e osZA e osZB e ooZC一 1 这样一来 听求之公匕等于 一全 m 14 经过点P引三条直线 分别与三角形的三 边平行 图16 由此所组成的三个三 角形 图中阴 影部分 也都是正三角形 并且其中每个三角形的 周长等于 A B C的边A B 二 a 它们高的 和等 于 A BC的高 于是 Pn pE PF 兰立旦 2 和B D CE AF等于阴影 三角形灼边再加 上它们半 和 于是 BD PE A F 多 a 最后 若 AB C是直角三角形 则 xc 0 3 S 因而 PD P E PF BD C E A F 1 2 1 设B O和co是 A Bc的内 角 平 分 线 图13少 容易看到 B OM和 cON是 等腰的 因 丫 3 1 5 设点0是 A BC的中线的交点 图17 在 而M N B M eN 2 关系式M N BM 十CN 在外角平 分 线 的 情 况下也是成立的 3 如果一条 为内角 平分 线 另一条为外角平 中线BE的延长线上作ED OE 由中线性质可知 CD 的边等于由中线构成 的三 角形 的边 长的粤 B 若用S 表示由中线得 到 的三 角形面积 则 图 13 C J心 了 分 线 图1 4 则从 B MO和 CNO可以得到MN 翼蒸 另一方 面 c DO由 两 图1 7 CN一BM 当CN BM 时 或 者MN BM一CN 当CN n 当 n 时 需 要 在 下 面的讨论 中交换顶点A和C的位置 过点e D引直线CE和DF平 行于MN 图15 6 设A C为给定的三角形 图 8 S 一音 一 而 S 一着 b二把这两个量相力口 并按海伦 公式表示 A BC的面积 这样就会得到 2 万J 王了P吸P一 a P一b P 仲 一e 1983 年 第程期 再由圆的相交弦 定理 有AD DC BD D对 并且 还知道 B 厂 乙 塑竺 4 BD I 目 电 一 k 3 O 图 18 图 19 从 份 和 8 可以求出A C 20 如图22 M N DN一DM 二 了 犷些1 1 k 其中P 粤 b c 芯 1 7 设R是外接圆半径 r 是内切圆半径 于是 图1 9 A B ZR 也就是 a p L I 蕊 一 6 石甲 L 6 石 口 梦 肠 洲汽 月 芯 乙 设P是 B C D的半周 和B F BE 所以P 二DN B C 即DN P一B C 类似地 DM P 一Ae 其中P是 A C D 的半周 把DN和D M的 表 示式代 人 1 又由于 A C 因 为DN D F 1 CN C E 乙遨 a p 6 二甲 乙 又 Z乙 丝 一 礼 图 全卫 除此之 外 又因为 任 2 粤 因此 任 tg 警 g 鲁 一 1 二1 即一一 一一 一 二 BC 所以得到MN P 一P 其次因为乙BD C和 ADC有两相等的边 公用 边C D和AC 二 BC 所以它们的周长之差等于第三 边的差 因而 p 2 一 刃 产0 1 2 ctg 竺 MN二P一P B D 一AD 2 互二孕 2 从此又可得到 e g 粤 etg 乙 t 号 g 譬 争 6 因而 2 1 用 a b表示 己知矩形的边 接矩形与己知矩形边之 间的夹角 这时外接矩形的边将分别为 并且用小表示外 图23 ctg 号 和一g 警 为二 次方程x之一 sx 6 o 的根 a e o 今 bsin 今和 a s in小 b 05 小 按问题的条件 得到 ae 小 bsin小 a sin 今 b o 小 z n Z 二二二一 入 开