创设情境让学生自主地解决两类习题.pdf

2 0 0 7 年第4 6 卷第2 期数学通报 创设情境让学生自主地解决两类习题 k荣连四清 江苏省张家港市职业教育中心校综合部2 1 5 6 0 0 首都师范大学数学系1 0 0 0 3 7 新教材沿袭了这样一些习题 让一些教师头 痛 似乎除了多讲加题海战术外 没有其他办法使 学生们彻底的理解掌握 新教材带来了一些开放 性 探索性习题 一些教师仍是老观念 老方法 没 有让学生进行充分的实践与探索 忽略了学生学习 兴趣培养 与新课程理念背道而驰 对于这两类习 题 根据认知建构主义理论和新课程理念 结合自 己 多年来的教学经验和学生实际 数学学习态度 等 笔者是这样处理的 1 设陷诱误 创设 矛盾式 问题情境 分式及其基本性质习题里有这样一道题目 一 货车送货上山 上山速度为x 千米 时 下山速度为 时6 千米的速度从山脚爬了1 2 公里登上山顶 又以 每小时4 千米的速度从山顶按原路返回山脚 求你 上 下山的平均速度 教师 按照大部分同学的解法 答案应该是 6 4 二5 千米 时 再请大家做出登山总共花的时 y 千米 时 则该货车的平均速度为 时 华师版九年级 上 千米 让学生试着做它 两个班1 0 0 人有6 人能做出答 2 x y 劣 y 其 余 的 绝 大 部 分 是 答 案x y 石 一 且 丫了 一1 案 这是一道经典题目 小学奥数里就有 学生脑 中已有小学里的平均数公式 以往的做法基本是做 错后评讲 大部分学生当时是 理解 了 但过了一 段时间后 碰到类似题目 仍旧是正确率不高 建构 主义认为 认识并非主体对于客观实在的 简单的 被动的反应 而是一个主动的建构过程 在建构过 程中主体已有的认知结构发挥了特别重要的作用 后者并处于不断的发展之中 基于这一观点 我们 必须认识到 学生的数学学习无论是听教师所讲还 是自己看书 有一个自己理解的过程 在此过程 学 生要给知识赋予一种自 我意识下的意义 这就难免 出现理解上的偏差 因此 教师应该尽可能的创设 情境 充分发挥学生的主体作用 让他们在认知上 重新建构或完善建构 对于上面学生的解法 我不置可否 而给了这 样一个问题情境 投影 星期天你去登山 以每小 间是多少 1 2 1 2 学牛 书 竿 5小时 J一 6 4 一一刁一 J 教师 那么总路程应该是多少千米 而事实上 是多少千米 学生 2 5 千米 事实上是2 4 千米 怎会多出来 1 千米 让学生自己自 然而然的从中发现了错误 使学 生自己在头脑中进行了 自 省 加深了印象 并产 生了一种迫切想知道正确答案的心情 教师 请大家回 忆小学里所学的平均数公式 学生 平均数 二总数量 令总份数 教 师 x 舟y 只 是 两 个 速 度 的 平 均 值 并 不是 平 朴 一 22 一 研 均速度 平均速度的公式应是什么 学生 平均速度 二总路程干总时间 学生在解决习题过程中经常会出现上述情况 新的习题出现后 本来应该用新的知识 新 的方 法去解决它 但学生往往从过去的解题经验出发来 看待新习题 解决新习题 这样就容易出现错误 或 不全面的地方 教师若能设法使学生意识到新知 识与原有知识结构的矛盾 形成认知冲突 就可创 设出非常有效的问题情境 我在教学过程中 经常 利用习题的可变性 发展性 提出一些似是而非或 似非而是的结论 故设陷阱 让学生 暴露问题 碰壁 制造悬念 激起学生的认知冲突 使这种心 理冲突转变成探究知识真谛的欲望 然后再引导学 生进行全方位 多角度的分析评价 发现不完善之 处 并主动 独立的进行调整 这样既能优化思维品 数学通报2 0 0 7 年第4 6 卷第2 期 质 又有助于深化对知识的理解 提高教学效益 再如打折问题 学生都知道 如一件衣服原价 1 0 0 元 打八折 应该是八十元 对于书本习 题 我创 设问题情境如下 教师 一件衣服 小明花八十元买下它 已知原 价是一百元 问店主给他打几折 学生 设店主给他打x 折 1 0 0 二8 0 x 0 8 学生就说打0 8 折 也有学生感觉不妥 疑虑重重 教师 不用我说 大家都知道不对 对司空见惯的打折问题 被老师肯定不对 一 下激起了学生探究原因的兴趣 有的学生迫不及待 的在草稿纸上验算 发现了错误 矛盾情境对激活大脑细胞 促使大脑兴奋十分 有益 使学生对数学产生浓厚的兴趣 同时也有利 于学生形成严谨 填密的思维习惯 实践证明 利用 相似因素迁移 思维定势等因素引起的错误创设矛 盾式问题情境 是一种行之有效的好方法 2 以分求和 创设 小步距 问题情境 一元二次方程里的问题 2 学校图书馆去年年 底有图书5 万册 预计到明年年底增加到7 2 万册 求这两年的年平均增长率 上课时竟有好多学生认为每年增加 1 1 万册 书 学生对于自己在习题中出现的理解错误一般都 持立即解决的心态 但因个人的能力有限 在自 行 解决部分错误的同时 不排除仍有错误的可能 总 会有一些错误需要有教师帮助解决 此时学生不仅 需要知道与知识有关的错因 更需要知道与自己思 维有关的错因 但正是在后一点上 教师有时却不 能满足学生的这种需求 如教师只是从知识的范畴 内修正学生的错误 或是在未了解学生真实思维的 情况下 以教师自己对学生的错误认识进行主观上 的思维错因分析 致使学生听完讲评后 虽然佩服 教师追根寻源式的分析 但是对自己的思维错误仍 不得其解 以致以后碰到仍有可能重蹈覆辙 我认 为学生对应用题本来就有点 害怕 理解能力欠 佳 对平均增长率这个概念也不是很理解 混淆为 平均每年增长多少本书 对增长率公式记得的部分 学生由于受惰性知识的影响 惰性知识是指人们刻 意记忆时能够回忆起来的知识 但这种知识却不能 自 发的用来解决问题 不能顺利地解决习题 我依据加涅所言 在计划教材程序时 最紧要 的是 教材应能使学生避免因跳跃知识学习过程中 的必要步子而出现的错误 在数学教学中 有时需 要打破教材结构 插入中间环节 减缓教材梯度 特 别是对一些难度较大的数学命题 可分成若干相关 的小问题 组成一个具有启发性的 问题链 然后 对小问题由浅人深 各个击破 这样可以减小思维 的坡度 能引导和帮助学生架起思维的 梯子 促 使思维不断上 台阶 从而使原问题得以解决 并 能使学生意识到数学不是那么深不可测 只要自己 积极 的去面对它 所以我尝试了创设 小步距 问题情境让学生 自主解决的方法 1 学校图书馆去年年底有图书5 万册 如果到 今年年底达到6 1 万册 问增长率是多少 唤醒学生 脑海中的增长率公式 学生反应较好 6 1一5 2 2 绝大部分 2 学校图书馆去年年底有图书5 万册 年增长 率为1 0 则到今年年底应有多少万册藏书 几乎 所有的学生都知道为5 1 1 0 此时将1 0 换成 学生基本会做 3 学校图书馆去年年底有图书5 万册 年平均 增长率为x 预计到明年年底将达到多少万册 通过 这样的过程 使学生认识到先前解决的问题 1 2 3 能够有助于有关目 标问题 上面的问题 的 解决和形成 经过我这样的 帮助 在以后的单元小练习 中 碰到类似的题目 学生准确率较高 与以前的班 级及其他教师任教的平行班级相比 3 编拟实际问题 创设 应用型 问题情境 华师版九年级 上 中有这样一道开放性题目 如图 某建筑物地基是一个边长为3 0 米的正六边 形 要环绕地基开辟绿化带 使绿化带的面积和地 基面积相等 请你给出设计方案 画图并标注尺 寸 数学的抽象性和严谨性往 往掩盖了实际的趣味性和实践 性 特别是枯燥无味的习题 兴 趣可以由客观的生活意义和主 观情绪上的引力所致 因此 教 学时应把习题中蕴含的知识加 以 活化 恢复其原有的形象 生动 创造性的一 面 在解决数学习题时 可根据熟悉的有趣味性的 2 0 0 7 年第4 6 卷第2 期数学通报 生活实例 把学生带入问题情境 所编拟的问题 既 要构思巧妙 又要紧扣习题 生动活泼 能激发求知 欲 引起认知冲突为目的 因此我创设了这样的问 题情境 假如你是一名建筑设计者 开发商请你设 计 1 假如在一个理想的空间中 即开辟绿化带 不受限制 有哪些设计方案 2 如受空间限制 你认为有可能受哪些限制 又有哪些设计方案 对于问题1 学生在思考和讨论后提出了这样 的几种解法 如图1 在地基外围套一个跟它相似的正六 边形 在两个六边形之间开辟绿化带 由 O A B 二 二 一 一一 二 A B 2 O C D 得 边 长 之 比 的 平 方 等 于 面 积 之 比 即 券 如图4 在地基的 外围 以每一边的垂直平分 线上的点 到边的距离超过1 1 1 米 为圆心 画六个 图中只画了一个圆 其余的五个圆的圆心到边的 距离和图中的保持一致 以约1 1 1 米为半径的圆 山 招 一 由6 7r r z 丫x 9 0 0 x 6 求得 1 1 1 米 即 开 辟 一 4 1 一 一 一 产 一 下 六个这样圆形的绿化带 当然还有其他方法 在此 不一一枚举 对于问题2 经过讨论探索后 学生们认为有可 能受到地皮总面积和形状的限制 比较现实 经济 可行的是图1 和图3 所示的设计 现实生活中整块 地皮的形状一般以类似矩形为主 如图5 所示 其长 至少要为9 0 米 在宽为3 0 径米时 一今 冬 得C D 乙 二3 0 径 米 9 0米 图 5图 6 图 1图 2 如图2 将正六边形分成六个全等的正三角 形 在每个正三角形的外面设计同样的正三角形 如在 O A B外设计A B C 即为开辟的六个连在一起 的正三角形的绿化带 如图3 在地基的外围开辟一个以正六边形 的中心为圆心 半径约为3 8 6 米的夹在边长与圆周 之间的绿化带 视情况提醒学生正六边形的面积可 由六个全等的正三角形面积相加而得 然后由二 尸 俘 3 0 Z 6 得 到 r 3 8 6 米 斗 图 3图 4 出乎我的意料之外的是 有的学生提出 绿化 带不应该全封闭 如图1 3 等 因为人要进出 不能 践踏草坪 跟学生们一起思考和探索后 提出的整 改方案是将绿化带平均分割后向后平移 如图6 所 示 将绿化带分为跟等腰梯形 A B C D全等的六个等 腰梯形 酌情后移到 A B C D 其他封闭图形可采 用同样的方法 还有学生提出 生活中比较常见的地基一般为 长方形 还有少数为圆形 我顺势就让学生进行探 索 若地基为边长为3 0 米的正方形 要环绕地基开 辟绿化带 使绿化带的面积是地基面积的两倍 开 发商为了吸引顾客而增加绿地覆盖率 请你给出 设计方案 画图并标注尺寸 又若地基为半径为3 0 米的圆 要环绕地基开辟 绿化带 使绿化带的面积和地基面积相等 请你给 出设计方案 画图并标注尺寸 若地基假想为正八边形呢 通过这样的思考和探索 学生意识到数学与生 活是这样的息息相关 课上发言踊跃 学习数学的 情绪高涨 甚至有的学生憧憬着成为一名设计者 数学通报2 0 0 7 年第4 6 卷第2 期 现实生活中最优化问题的数学模型构造 韩玮 江苏无锡市辅仁高级中 学2 1 4 0 2 3 在实际生产 现实生活和科学研究中 许多情 形下往往要求操作 经营和决策者考虑怎样才能以 最低的成本 最短的时间获取最大的效益 这类问 题在数学中称为最优化问题 这类问题的求解 需 要我们通过对问题中给出的有关信息和数据进行 分 析 加工 灵活的运用数学知识构造恰当的数学 模型 借助数学模型来实现突破 那么怎样根据具 体问题来构造数学模型 常见的构造数学模型的方 法有哪些呢 本文就此作一些探讨 供大家参考 1 构造方程模型 例1 某企业出售某种牌号的收音机 每台成 本2 4 元 如直接设门市销售 每台售价3 2 元 销售费 用每月2 4 0 0 元 如批发给厂家销售 出厂价每台2 8 元 问每月销售量为多少时 需要设立门市部 若要 求销售量每月达到2 0 0 0 台 试问采用哪种销售方法 效益好 略解效益好坏的依据是销售利润的大小 为 此 设 x 为两种销售方式下利润相等时的销售量 依题意可得 3 2 一 2 4 x 一 2 3 0 0二 2 8 一 2 4 x 解之得 x二6 0 0 台 即当销售量为6 0 台时 这两种方式的利润相 等 而当x 6 0 台时 直接销售的利润大于间接销 售的利润 这时应设立门市部 因此 每月销售2 0 0 0 台时 采用设门市部直接 销售的效益较好 2 构造不等式模型 例2 有两个大米经销商 每次在同一大米生 产基地进米 一个每次进米 1 0 0 公斤 另一个每次 进1 0 0 元的米 若每次进米价格不同 则哪种方式 更经济 解要知哪种方式更经济 只要算出各人平均 每公斤米所花的钱再加以比 较即可 如果设共进了n 次米 每公斤米的价格分别记 为a l a 2 a元 则每次进米1 0 0 公斤 n 次共花 去1 0 0 0 a l a 2 十a n 元 进得1 0 0 0 n 公斤米 故平均每公斤的米进价为 1 0 0 0 a 1 a 2 1 0 0 0 n a n a 1 a 2 口 n 一 几 元 但每次进1 0 0 0 元的米 n 次共花去1 0 0 0 次 进 得 的 米 分 别 是 1 0 0 0 口I 每公斤米的进价为 1 0 0 0n 1 0 0 0 口 2 100 0a n 公 斤 n 元 每 故平均 n 兀 1 气 1一处 利用平均值不等式可得 a l a 2 a n a 1 a 2 a n 0 达到了预期的