因式分解之十字相乘法专项练习题.pdf

十字相乘法进行因式分解十字相乘法进行因式分解 基础知识精讲 基础知识精讲 1 理解二次三项式的意义 2 理解十字相乘法的根据 3 能用十字相乘法分解二次三项式 4 重点是掌握十字相乘法 难点是首项系数不为 1 的二次三项式的十字相乘法 重点难点解析 重点难点解析 1 二次三项式 二次三项式 多项式cbxax 2 称为字母 x 的二次三项式 其中 2 ax称为二次项 bx 为一次 项 c 为常数项 例如 32 2 xx和65 2 xx都是关于 x 的二次三项式 在多项式 22 86yxyx 中 如果把 y 看作常数 就是关于 x 的二次三项式 如果 把 x 看作常数 就是关于 y 的二次三项式 在多项式372 22 abba中 把 ab 看作一个整体 即3 7 2 2 abab 就是 关于 ab 的二次三项式 同样 多项式12 7 2 yxyx 把 x y 看作一个整体 就是关于 x y 的二次三项式 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法 2 十字相乘法的依据和具体内容 十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式 实质上是逆用 ax b cx d 竖式乘法法则 它的一般 规律是 1 对于二次项系数为 1 的二次三项式qpxx 2 如果能把常数项 q 分解成两个因 数 a b 的积 并且 a b 为一次项系数 p 那么它就可以运用公式 2 bxaxabxbax 分解因式 这种方法的特征是 拆常数项 凑一次项 公式中的 x 可以表示单项 式 也可以表示多项式 当常数项为正数时 把它分解为两个同号因数的积 因式的符 号与一次项系数的符号相同 当常数项为负数时 把它分解为两个异号因数的积 其中 绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同 2 对于二次项系数不是 1 的二次三项式cbxax 2 a b c 都是整数且 a 0 来说 如果存在四个整数 2121 ccaa 使aaa 21 ccc 21 且bcaca 1221 那么cbxax 2 2211211221 2 21 cxacxaccxcacaxaa 它的特征 是 拆两头 凑中间 这里要确定四个常数 分析和尝试都要比首项系数是 1 的情况复 杂 因此 一般要借助 画十字交叉线 的办法来确定 学习时要注意符号的规律 为 了减少尝试次数 使符号问题简单化 当二次项系数为负数时 先提出负号 使二次项 系数为正数 然后再看常数项 常数项为正数时 应分解为两同号因数 它们的符号与 一次项系数的符号相同 常数项为负数时 应将它分解为两异号因数 使十字连线上两 数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同 用十字相乘法分解因式 还要注意 避免以下两种错误出现 一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系 数 二是由十字相乘写出的因式漏写字母 如 45 2 865 22 xxyxyx 3 因式分解一般要遵循的步骤 因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤 先考虑能否提公因式 再考虑能否运用公式或十字相 乘法 最后考虑分组分解法 对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复 进行 以上步骤可用口诀概括如下 首先提取公因式 然后考虑用公式 十字相乘试 一试 分组分解要合适 四种方法反复试 结果应是乘积式 典型热点考题 典型热点考题 例例 1把下列各式分解因式 1 152 2 xx 2 22 65yxyx 点悟点悟 1 常数项 15 可分为 3 5 且 3 5 2 恰为一次项系数 2 将 y 看作常数 转化为关于 x 的二次三项式 常数项 2 6y可分为 2y 3y 而 2y 3y 5y 恰为一次项系数 解解 1 5 3 152 2 xxxx 2 3 2 65 22 yxyxyxyx 例例 2把下列各式分解因式 1 352 2 xx 2 383 2 xx 点悟 点悟 我们要把多项式cbxax 2 分解成形如 2211 caxcax 的形式 这里 aaa 21 ccc 21 而bcaca 1221 解解 1 3 12 352 2 xxxx 2 x x xx313383 2 点拨点拨 二次项系数不等于 1 的二次三项式应用十字相乘法分解时 二次项系数的分解和 常数项的分解随机性较大 往往要试验多次 这是用十字相乘法分解的难点 要适当增加练 习 积累经验 才能提高速度和准确性 例例 3把下列各式分解因式 1 910 24 xx 2 2 5 7 23 yxyxyx 3 120 8 22 8 222 aaaa 点悟 1 把 2 x看作一整体 从而转化为关于 2 x的二次三项式 2 提取公因式 x y 后 原式可转化为关于 x y 的二次三项式 3 以 8 2 aa 为整体 转化为关于 8 2 aa 的二次三项式 解解 1 9 1 910 2224 xxxx x 1 x 1 x 3 x 3 2 2 5 7 23 yxyxyx 2 5 7 2 yxyxyx x y x y 1 7 x y 2 x y x y 1 7x 7y 2 3 120 8 22 8 222 aaaa 108 128 22 aaaa 108 6 2 2 aaaa 点拨点拨 要深刻理解换元的思想 这可以帮助我们及时 准确地发现多项式中究竟把哪一 个看成整体 才能构成二次三项式 以顺利地进行分解 同时要注意已分解的两个因式是否 能继续分解 如能分解 要分解到不能再分解为止 因式分解之十字相乘法专项练习题因式分解之十字相乘法专项练习题 1 a2 7a 6 2 8x2 6x 35 3 18x2 21x 5 4 20 9y 20y2 5 2x2 3x 1 6 2y2 y 6 7 6x2 13x 6 8 3a2 7a 6 9 6x2 11x 3 10 4m2 8m 3 11 10 x2 21x 2 12 8m2 22m 15 13 4n2 4n 15 14 6a2 a 35 15 5x2 8x 13 16 4x2 15x 9 17 15x2 x 2 18 6y2 19y 10 19 2 a b 2 a b a b 6 a b 2 20 7 x 1 2 4 x 1 20 14 把下列各式分解因式 1 67 24 xx 2 365 24 xx 3 4224 16654yyxx 4 6336 87bbaa 5 234 456aaa 6 42246 9374babaa 15 把下列各式分解因式 1 222 4 3 xx 2 9 2 22 xx 3 2222 332 123 xxxx 4 60 17 222 xxxx 5 8 2 7 2 222 xxxx 6 48 2 14 2 2 baba 1 2 2157xx 2 2 384aa 3 2