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矩阵理论及其应用复习题矩阵理论及其应用复习题 基本内容基本内容 1 1 线性空间线性空间 1 数域数域 F 一个含有数 0 1 的数集 F 如果其中任意两个数关于数的四则运算封闭 出 发的除数不为零 即它们的和 差 积 商仍是 F 中的数 那么数集就称为 一个数域 2 线性空间线性空间 定义定义 V 是一个非空集合 F 是一个数域 在集合 V 中定义两种代数运算 一种是加法运算 另一种是数乘运算 八条运算律八条运算律 1 加法交换律 2 加法结合律 3 零元素 0 4 负元素0 5 1 6 kllk 7 lklk 8 kkk 简单性质简单性质 1 零向量唯一 2 复向量唯一 3 设VFk 0 1 0 则 1 00 00k 另外 此节还提到了向量空间 此处向量的概念不同以往理解 此 向量 不单单指几何空间中的向量 而是一个扩充的更广泛的概念 用来泛指线性空间 中的元素 此时的线性空间也可称之为向量空间 1 2 基基 维数维数 若 n 21 是线性空间 V 中的线性无关向量组 且 V 中任一向量 都是 n 21 的唯一确定的线性组合 Faaaa inn 2211 称 V 是一个 n 维的线性空间 n 称为 V 的维数维数 记为 nV dim 更准确记为nV F dim 向量组 n 21 称为V的一个基基 且有序数组 n aaa 21 称为 在基 n 21 下的坐标坐标 记为 T n aaa 21 则 n n a a a 2 1 21 1 基变换基变换 A nn 2121 其中A称为由基 n 21 到 n 21 的过渡过渡 矩阵矩阵 过渡矩阵比为可逆阵 2 坐标变换坐标变换 基下坐标分别为 T nn xxx 2121 T nn xxx 2121 则 T n T n xxxAxxx 2121 1 3 子空间子空间 1 子空间子空间 V 为数域 F 上的一个 n 维线性空间 W 维 V 的一个非空子集合 如果对任意W 以及任意Flk 都有 Wlk 那么 我们就称 W 为 V 的一个子空间子空间 2 平凡子空间平凡子空间 任意有限维线性空间 V 必有两个平凡子空间 即 0 与 V 可见 平面或空间解析几何子空间过原点 3 子空间判别法子空间判别法 设 U 是线性空间 V 的一个非空子集 则 U 是子空间 UF 有U 与U 4 生成子空间生成子空间 由向量组 r 21 生成 V 的子空间记为 21r span 设 W 是线性空间 V 的子空间 则 1 W r 21 则 Wspan r 21 2 r 21 是 W 一个基 则 21r spanW 5 基扩充定理基扩充定理 设 W 是数域 F 上的 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间 m 21 是 W 的一个基 则这组基向量必定可以扩充为线性空间 V 的基 即在 V 中必定可找 到mn 个向量 nmm 21 使得 n 21 是 V 的一个基 6 子空间的交与和子空间的交与和 22112121 VVVV 为 1 V与 2 V的和和 子空间的 和 与集合的 并 并非一个概念 即 2121 VVVV 21 VV 与 21 VV 也是 V 的两个子空间 7 维数定理维数定理 1 V 2 V是线性空间 V 的两个子空间 则 dim dim dimdim 212121 VVVVVV 称为维数公式 8 直和直和 子空间 21 VV 维数最大 0 21 VV 称 21 VV 是直和 记为 21 VV 因此 2121 dimdim dim VVVV 1 4 线性变换线性变换 1 映射映射 映射就是运算 若 21 xfxf 则 21 xx 若 21 xx 则 21 xfxf 满射 Vy 则Vx 使yxf 一一映射 双射 既单又满 2 同构同构 数域 F 上两线性空间V和 V 同构同构 V V 若由V到 V 有一双射 且保保 持运算持运算 即 1 2 kk FkV 单射 称 为V与 V 的一个同构映射同构映射 结论 若nV F dim 则V n F 若nV F dim nV F dim 则V V 3 线性变换线性变换 线性映射线性映射 定义定义 设 U 与 V 是两个线性空间 U 到 V 内一个映射 保持运算 称 是 U 到 V 的线性变换 全体线性变换 VUHom 线性算子 自身线性变换 VVHomEndV V 的对偶空间 共轭空间 VFVHom 性质性质 1 0 0 2 若 s 21 线性相关 则 21s 线性相关 3 若 21s 线性无关 则 s 21 线性无关 1 5 核与像核与像 Ker 零点 集 0 V 的核 Im 函数值 集 V 的像或值域 dim Ker 的零度 Im dim 的秩 Ker及 Im 均是 V 的子空间 nVKer dim Im dim dim 1 6 变换矩阵变换矩阵 n 21 是数域 F 上 n 维线性空间 V 的一个基 是 V 的线性变换 基 向量的像可如下表示 nnnnnn nn nn aaa aaa aaa 2211 22221122 12211111 A nnn 212121 其中 A nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 为线性变换 在基 n 21 下的矩阵 简称变变 换矩阵换矩阵 2 内积空间内积空间 2 1 内积空间内积空间 1 定义定义 设 F 是实数域或复数域 V 是 F 上的线性空间 若对 V 中任两向量 都定义了 F 中的一个数 称为向量 与 的内积 使得 1 共轭对称性共轭对称性 2 正定性正定性0 当且仅当0 是0 3 双线性双线性 baba 对任意FbaV 成立 则称 V 为一个内积空间内积空间 注 baba 实数域实数域 有限维实内积空间称为欧式空间欧式空间 复数域复数域 内积空间称为酉空间酉空间 模模 范数范数 长度长度 2 内积与范数性质内积与范数性质 1 baba 2 3 0 0 0 4 cc 其中 模复 绝对值实 5 等号成立 与 线性相关 6 三角不等式 arccos 定理定理 jij m i n j i n j jj m i ii 1111 2 2 度量矩阵度量矩阵 n 21 是 n 维欧式空间 V 的一个基 若在 V 的内积下 让 nji jiij 2 1 则称 A nnij 为基 n 21 的度量矩阵度量矩阵 不同基的度量矩阵是合同合同的ACCB T 性质性质 1 A 是对称的 2 A 是正定的 3 若 T n T n yyyYxxxX 2121 分别是 在基 n 21 下的 坐标 则 AYX T 2 3 标准正交基标准正交基 0 称 与 正交 互相垂直 定理定理 在欧式空间 V 中 1 0 0 为 V 中任一向量 2 0 当且仅当0 为非零实数 V 3 V 中正交向量组线性无关 单位向量组成的正交基称为标准正交基标准正交基 正交变换正交变换 正交变换 保距 等距变换 欧式空间等距变换 正交变换正交变换 复内积空间等距变换 酉变换酉变换 2 4 几种矩阵的小结几种矩阵的小结 实数域 复数域 实对称阵AAT Hermite 矩阵AAH 正交矩阵EAAAA TT 酉矩阵EAAAA HH 实正规矩阵AAAA TT 正规矩阵AAAA HH 注 符号 和 H 均表示共轭转置 3 特征值与特征值与 Jordan 标准形标准形 3 1 特征值和特征向量特征值和特征向量 nV F dim n 维线性空间 VV 线性变换 若VF 0 特征值特征值为 特征向量特征向量为 步骤步骤 取线性空间 V 一组基 n 21 并写出 在基下矩阵 A A nn 2121 求出0 AE 全部根 即 的特征值 对每个 i 求 0 xAE i 基础解系 由 n n x x x 2 1 21 求出 i 3 2 最小多项式最小多项式 A 是 n 阶矩阵 xf是多项式 如果 0 Af 则称 xf是 A 的零化多项 式 A的首项系数为1且次数最低的零化多项式称为A的最小多项式 记为 xmA 或 xm 最小多项式存在且唯一 形如 nn a a a a 1 1 1 1 的最小多项式为 na 3 3Jordan 标准形标准形 形如 m m J 1 1 1 1 是复数 的 m 阶方阵称为 Jordan 块块 当 是 A 的特征值时 称 m J为 A 特征值 的 Jordan 块块 定定义义 与 A 相似的 Jordan 矩阵 Jordan 块直和组成 称为矩阵 A 的 Jordan 标准形标准形 4 矩阵分解矩阵分解 4 1 满秩分解满秩分解 0 A 若列满秩矩阵 L 与行满秩矩阵 R 使得LRA 则称LRA 是 A 的 一个满秩矩阵 例 A HA 00000 00000 4 13 4 1 4 9 10 4 11 4 3 4 7 01 11122 70531 43235 52313 化为 Hermite 标准形 4 13 4 1 4 9 10 4 11 4 3 4 7 01 22 31 35 13 LRA为满秩分解满秩分解 4 2 谱分解谱分解 n H AUU 2 1 则 H nnn HH H n H H n n H n UUA 222111 2 1 2 1 21 2 1 称为正规矩阵 A 的谱分解谱分解或特征特征 值值 分解分解 正规矩阵求解之时 特征向 量需单位化 4 3LU 分解分解 A 是 n 阶矩阵 如果存在上三角矩阵 U 与单位 对角线上元素为 1 下三角 矩阵 L 使 A LU 则称 A 有三角分解或 LU 分解 上式称为 A 的一个三角分解或 LU 分解 步骤步骤 A LU kk k t tkitikik iii k t tiktkiki iii i i jj nnninn iniiii ni ni nn n n nnnnnn n n uulal uulal ulau ulau u a l au ulll uull uuul uuuu u uu uuu ll l aaa aaa aaa A 1 1 2212122 1 1 12122 11 1 1 11 21 21 222221 111211 222 11211 21 21 21 22221 11211 000 00 0 1 001 0001 应用应用 求方程组的解 将方程组常数项以列向量形式列入矩阵 A 中组合成新矩阵 再以上述规则 分解 可得一组列向量 Y 由 Y UX 可求解出 X 这也是方程组的解 4 4QR 分解分解 设 nn CA 且 A 为满秩的 则存在唯一的酉矩阵酉矩阵 U 和对角线元素都大于零 的上三角矩阵上三角矩阵 R 满足 URA 称为矩阵 A 的正交三角分解正交三角分解 也叫 UR 分解分解 当 A 为实满秩矩阵实满秩矩阵时 上式中 U 为正交矩阵正交矩阵 常常记为 Q 而 R 为实上三 角矩阵 因此 UR 分解也称为 QR 分解分解 4 5 奇异值分解奇异值分解 设 nmCaA nm ij 且0 21 r 则存在 m 阶和 n 阶酉矩 阵 U 与 V 使得 H UDVA 其中 nm r diagD 0 0 21 由大到小 称为 A 的奇异值分解奇异值分解 简称 SVD 分解分解 而0 0 21 r n 个 称为 A 的 奇异值奇异值 计算方法计算方法 H AA非零特征值为 22 2 2 1r 称 r 21 为矩阵 A 的奇异值 求求 H UDVA 中酉矩阵中酉矩阵 U V 求 H AA或AAH非零特征值 阶数低者易求 求AAH 或 H AA 的标准正交特征向量组 ni vvvv 21 不同特征值对 应向量已正交 ii Avu 是 H AA 或AAH 的特征向量 n 个 其余向量 niui 由Hermite矩阵特征向量正交性获得 不唯一 0对应nm 个 mnn uuuuuU 121 n vvvV 21 典型题目典型题目 1 设子空间U由下列向量 321 线性张成 求向量 T x 1 1 0 1 到U的投影 0 x 其中 T 1 1 0 1 1 T 0 1 2 1 2 T 1 1 2 0 3 解 3 33 3 2 22 2 1 11 1 0 xxx x 0 0 1 2 3 T 2 设 211 220 011 A 求A的四个相关子空间 AR T AR AN T AN 解 111000 02 10110 02 11101 3 IA 将A按列分块 321 A 其中 T 1 0 1 1 T 1 2 1 2 T 2 2 0 3 213 于是 1 21 spanAR 2 21 spanAR T 其中 T 0 1 1 1 T 2 2 0 2 3 111000 02 10110 02 11101 3 IA P 111 02 10 02 11 000 110 101 A H A HPA 于是 T A spanHNAN 1 1 1 4 TT spanAN 1 1 1 3 1 设yx 是 n R中的两个不相等的实向量 满足 yx 令yxv 定义线性变换 v vv vx xxHv 2 证明 yxHv 证明 因为 xyyxyyxx 所以 yyxyyxxxyxyxvv yxxyxxx 2 2 2 vx 2 于是yvxxHv 2 设 A 101 110 101 请给出A的 QR 分解 解 令 T v 1 0 21 2 202 2 010 2 202 2 2 31 vv vv IH AH1R 000 110 202 于是 T HA 1 R 2 202 2 010 2 202 2 000 110 202 注记 本题也可以采用第六讲中的正交单位化办法处理 4 设V是有限维线性空间 U和W是V的两个线性子空间 证明 dim dimdim dim WUWUWU 证明 参考教材 P37 定理 2 1 2 5 1 叙述矩阵的奇异值分解定理 设A为nm 阶矩阵 nm 则存在m阶 酉矩阵U和n阶酉矩阵V 使得 UDVA 其中 0 0 1 r diagD 0 21 r Arankr 证明 参考教材 P139 定理 4 5 1 2 设 02 12 011 A 求A的奇异值分解 解 0 4 5 5 diagAA 记 TTT eee 1 0 0 0 1 0 0 0 1 321 3321 IeeeV 211 eeV 5 1 5 2 5 2 5 1 5 2 0 0 5 1 11 AVU 1 UU 于是 0 2 5 0 005 VUA 6 叙述 Schur 三角化定理 设矩阵A为n阶方阵 则存在酉矩阵U 使得 BAUU 其中B为一个上三角矩阵 证明 参考教材 P88 定理 3 1 1 7 求矩阵A的满秩分解 这里 11122 70531 43235 52313 A 解 A HA 00000 00000 4 13 4 1 4 9 10 4 11 4 3 4 7 01 11122 70531 43235 52313 化为 Hermite 标准形 则 4 13 4 1 4 9 10 4 11 4 3 4 7 01 22 31 35 13 LRA为满秩分解 注记 求一个矩阵的满秩分解的步骤参考教材 P10 8 求矩阵 1222 1121 2101 A 的满秩分解 解 1110000 0113020 0012101 1001222 0101121 0012101 行 EA 111 011 001 P 可求得 112 011 001 1 P 12 11 01 B 3020 2101 C 于是有 BCA 3020 2101 12 11 01 9 设矩阵A是秩 1 的n阶方阵 1 求 1 nAn 2 求A 的特征多项式 解 1 AtrAA nn1 具体过程参考教材 P12 例题 1 2 1 2 AI 1 Atr n 具体过程参考教材 P92 例题 3 1 6 10 设 101 010 101 A 1 2 2 b 1 作出 A 的满秩分解 2 判定线性方程组bAx 是否相容 若相容 求其通解 若不相容 求其极小最小二乘解 3 设A是nm 实矩阵 b是m维实向量 证明 不相容线性方程组bAx 的最小二乘解唯一当且仅当A列满秩 解 1 A的满秩分解为 010 101 01 10 01 A 2 因为 bAx 所以不相容的 其极小最小二乘通解为 4 1 2 4 1 x 3 因为x是不相容线性方程组bAx 的最小二乘解当且仅x是如下相容线性 方程组 TT A AxA b 的解 所以不相容线性方程组bAx 的最小二乘解唯一当且仅当 T A A非奇异 即 T rank A An 因为 T rank A Arank A 所以不相容线性方程组bAx 的最 小二乘解唯一当且仅当A列满秩 11 设矛盾方程组bAx 其中 24113 1212 0 12213 Ab 1 求A的满秩分解FGA 3 写出该方程组最小二乘解 LS x 解 1 24111201 12120011 12210000 A 1100 1021 21 11 12 GF 2 1 2 1 511 6 LS x 12 设 816 303 14210 A 1 求A的特征多项式和A的全部特征值 2 求A的最小多项式 解 1 特征值多项式为 2 1 fIA 特征值为 0 1 二重 最小多项式 2 1 m 13 在 3 R中线性变换 将基 1 1 1 1 1 2 0 2 1 0 1 3 变为基 0 1 1 1 1 1 0 2 2 3 0 3 1 求 在基 321 下的矩阵表示 A 2 求向量 T3 2 1 及 在基 321 下的坐标 3 求向量 及 T 3 2 1 在基 321 下的坐标 解 1 不难求得 2111 32122 32133 2 因此 在 321 下矩阵表示为 110 211 111 A 2 设 3 2 1 321 k k k 即 3 2 1 111 021 101 3 2 1 k k k 解之得 9 4 10 321 kkk 所以 在 321 下坐标为 T9 4 10 在 321 下坐标可得 13 32 23 9 4 10 110 211 111 3 2 1 y y y 3 在基 321 下坐标为 6 15 1 9 4 10 011 111 101 9 4 10 1 A 在基 321 下坐标为 9 4 10 13 32 23 011 111 101 13 32 23 1 A 14 求矩阵 000 110 101 A的奇异值分解 解 211 110 101 AAB T 的特征值是0 1 3 321 对应的特征向量依次为 2 1 1 1 0 1 1 2 1 1 1 3 于是可得 2 rankA 10 03 3 1 0 6 2 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 V 计算 00 2 1 2 1 2 1 2 1 1 11 AVU 构造 1 0 0 2 U 则 100 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 21 UUV 则 A 的奇异值分解为 T VUA 000 010 003 15 设V表示实数域R上全体22 上三角矩阵作成的线性空间 对矩阵的加法和 数量乘法 1 求V的维数 并写出V的一组基 2 在V中定义线性变换T 10 10 00 11 XXXT VX 求T在 1 中所取基下的矩阵表示 3 求 2 中线性变换T的值域 TR和核 TN 并确定它们的维数 4 在V中能否取一组基使得 2 中线性变换T在所取基下的矩阵为对角 矩阵 如果能 则取一组基 如果不能 则说明理由 解 1 dim V 3 V 的一组基为 123 100100 000001 2 因为 11222323 2 TTT 则线性变换T在基 123 下的矩阵为 100 121 001 A 3 因为T在基 123 下的矩阵 A 非奇异 0 dim 0Ker TN TN T 12312223 2 R Tspan TTTspanV 则dim 3R T 4 矩阵 A 可对角化 因为线性变换在不同基下的矩阵是相似的 因此存在一 组基使得 2 中线性变换T在所取基下的矩阵为对角矩阵 因为矩阵 A 对应于特征值 123 1 2 1 的特征向量为 101 1 1 0 001 则取 V 的一组基为 123 110110 000001 T在基 123 下的 矩阵为 100 020 001 A 16 设 n V 是实的n维线性空间 T是 n V 上的线性变换 任取 n V 若 1n T n T 1 证明 1 n TT 为 n V 的一个基 2 求T在上面基下的表示矩阵 证明 1 由于线性空间是n维的 只需证明 1 n TT 这n个向量线性无关 设 1 110 RkTkTkk i n n 上式两边作用 1 n T 1 0 1 2 11 1 0 nn n nn TkTkTkTk 0 0 k 再由 1 11 n n TkTk 两边作用 2 n T0 1 k 类似0 12 n kk 这说明 1 n TT 线性无关 2 由于 0 0 10 12 n TTTT 0 1 00 122 n TTTT 1 0 00 121 nn TTTT 0 0 00 12 nn TTTT 即 01 01 01 0 11 nn TTTTT 所以 上式右边的矩阵即为所求 17 设 V 是数域 F 上的线性空间 21 V V是 V 的子空间 则 21 VV 也是 V 的子空 间 证明 由 21 0 0VV 知 21 0VV 即说 21 VV 非空 对于任意 21 VV 则 21 VV 且 因为 21 V V是子空间 所以 21 VV 故 21 VV 对任意Fk 有 1 Vk 且 2 Vk 因此知 21 VVk 故知 21 V V为 V 的子空间 18 设 010 101 001 A 求证 3 22 nEAAA nn 证明 矩阵 A 的特征多项式为 11 2 f 令 111 22222 nnn g 11111 43222 nnn 3 由 Hamilton Cayley 定理知 0 Ag 因此EAAA nn 22 19 设实数域上的多项式 32 1 223p xxxx 32 2 23pxxxx 32 3 45p xxxx 32 4 367pxxxx 1 求线性空间 1234 span Wp ppp 的一组基和维数 2 求多项式 32 41p xxx 在你所求基下的坐标 解 1 11111000 21130101 22460012 33570000 r A 123 p pp 是W的一组基 dim3W 2 123 p xp xp xp x p的坐标为 1 1 1 Tx 20 设 2 2 1 0 1 2 AWX AXXA XR 1 证明 W是 2 2 R 的线性子空间 并求W的基和维数 2 在W中定义变换 TT XXX 其中 X为X的伴随矩阵 证明 T为线性变换 3 求T在 1 中所取基下的矩阵表示 4 求 2 中线性变换T的值域 TR和核 Ker T 并确定它们的维数 解 1 对任意 21 WXX Rk 都有 21 WXX 1 WkX 所以 W是 2 2 R 的线 性 子 空 间 设 2221 1211 W xx xx X 因 为 XAAX 所 以 0 211121 11 xxx x X W的一组基为 10 01 1 X 11 00 2 X维数是 2 2 对任意 21 WXX Rk 都有 2121 XTXTXXT 11 XkTkXT 所以 T为线性变换 3 对于W的一组基为为 10 01 1 X 11 00 2 X有 211 00 00 00 XXXT 212 21 12 01 XXXT 20 10 2121 XXXXT T在 1 中所取基下的矩阵是 20 10 A 14 分 4 对于W的一组基为为 10 01 1 X 11 00 2 X 若 00 00 2 0 21 bb b bXaXT 则有 0 b 所以 2 RkkITKer 维数为 1 21 XTXTspanWXXTTR 12 01 Rkk 维数为 1 21 设 m n AR 1 证明 T A A半正定 2 证明 1 T IA A 并且等号成立当且仅当0A 证明 1 对任意 n Rx 有有 0 AxAxAxAx TTT 所以 0 AAT 2 0 AAT 所以 AAT的任意特征值0 AAI T 的任意特征值11 所以 1 T IA A 0A 时 显然 1 AAI T 1 AAI T 时 根据上面证明 AAT的所有特征值都是 0 可得0 AAT 利用 反证法 可得0 A 22 设 ij aA 为 n 阶 Hermite 矩阵 证明 1 存在唯一 Hermite 矩阵B使得 3 AB 2 如果半正定 则 22 tr Atr A 3 如果正定 则 1 tr A tr An 证明 1 因为 A 为 n 阶 Hermite 矩阵 则存在 n 阶酉矩阵 U 使得 H AU U 其中 1 n diag 并且 1n 令 11 33 1 H n BUdiagU 则 B 是 n 阶 Hermite 矩阵 并且 3 AB 设有另一个 n 阶 Hermite 矩阵 E 使得 3 AE 则 E 有谱分解 1 H n EVdiagV 其中 1n 因为 3 AE 则 3 1 ii in 11 33 1 H n EVdiagV 由 33 ABE 有 11 HH nn UdiagUVdiagV 记 H ij PU Vp 则 11 nn diagPPdiag 从而 1 iijjij ppi jn 于是 11 33 1 iijjij ppi jn 即 1111 3333 11 nn diagPPdiag 因此 1111 3333 11 HH nn BUdiagUVdiagVE 2 因为半正定 所以 A 的特征值均非负 设 A 的特征值为 1 n 且 1 0 n 则 2 A的特征值为 22 1 n 于是 22222 11 nn tr Atr A 3 因为正定 则 A 可逆 并且 1 0A 由 1 IAA 可得 11 11122 22 HHH ntr Itr AAtr A Atr A A tr AAtr A tr A 由 2 知 221 tr Atr Atr Atr A 因此 1 ntr A tr A 23 证明 A 是 Hermit 正定矩阵的充分必要条件是 A B 2 且 B 是 Hermit 正定矩阵 证明 若 A 是 Hermit 正定矩阵 则由定理 1 24 可知存在 n 阶酉矩阵 U 使得 U H AU n 2 1 i 0 I 1 2 n 于是 A U n 2 1 U H U n 2 1 U H U n 2 1 U H 令 B U n 2 1 U H 则 A B2 反之 当 A B 2 且 B 是 Hermit 正定矩阵时 则因 Hermit 正定矩阵的乘积仍为 Hermit 正定矩阵 故 A 是 H