概率论与数理统计同步训练-第七章习题解答.pdf

概率论与数理统计同步训练习题解答 1 习题 7 一 1 1 abc 2 3 3 2 3 二 1 C 三 1 解 1 矩估计 1 EXnpAX 得p的矩估计量 1 p X n 2 据第 1 问的结果得 5 Xbp 111 0 3 1 182 293 314 145 5 5 100 pX n 0 5 2 解 1 1 0 1 ii P Xippi 0 1 分布的分布律 1 构造似然函数 11 1 1 1 1 nn ii iiii nxnx xx i L ppppp 2 构造对数似然函数 11 ln ln ln 1 nn ii ii L pxpnxp 3 构造对数似然方程 令 ln 0 dL p dp 11 11 0 1 nn ii ii xnx pp 参数p极大似然估计量 p为 1 1 n i i pX n 若样本值为 1 0 0 1 0 0 6n 1 111 1 00 1 00 63 n i i px n 3 解 1 矩估计 1 1 0 1 1 2 EXxx dx 令 11 AX 得 21 1 X X 2 最大似然估计 I 构造似然函数 111 1 1 nnn n iii iii Lxxx 概率论与数理统计同步训练习题解答 2 II 构造对数似然函数 1 ln ln 1 ln n i i Lnx III 构造对数似然方程 令 ln 0 dL d 1 ln0 1 n i i n x 参数p极大似然估计量 为 1 1 ln n i i n X 4 解 1 构造似然函数 1 11 111 n i ii nnnx xnn iii iii Lxxexe 2 构造对数似然函数 1 11 ln lnln nn n ii ii Lnxx 3 构造对数似然方程 令 ln 0 dL d 1 0 n i i n x 参数 极大似然估计量 为 1 n i i n x 5 解 1 矩估计 1 1 x EXxedx 2222 2 1 x EXxedx 令 11 22 A A 得 222 1 1 n i i X X n 参数 的矩估计为 2 1 1 n i i XX n 参数 的矩估计为 2 1 1 n i i XXX n 6 解 解 若使 22 1 1 1 为 i n i i xxC 的无偏估计量 要求 1 22 1 1 n ii i E Cxx 111 22222 1111 1111 2 2 nnnn iiiiinii iiii E CxxC ExxC ExxxEx x 已知 概率论与数理统计同步训练习题解答 3 2222 iii EXDXEX 1 2 1 1 n ii i E Cxx 22222 2 1 2 1 2 1 CnnCn 1 2 1 C n 7 证明 1 1 122 1122 1212 1 n xn x E XEn E xn E x nnnn 可得 1 122 12 n xn x x nn 是总体 X 的均值 的无偏估计 2 222 1122 12 1 1 1 2 e E snE snEs nn 222 12 12 1 1 1 2 nn nn 可得 22 2 1122 12 1 1 2 e nsns s nn 是总体 X 的方差 2 的无偏估计 8 解 1 计算 p Xt 因为 2 XN 所以 0 1 X N Xt p Xtp t 其中 x 是标准正态分布的分布函数 因为若 n XXXL 21 为正态总体 2 N的一个样本 则 2 的最大似然估计分别为 22 2 1 1 n i i XAXX n 可得 p Xt n i i p XXXX n 1300997 1 1 1 2 427 9 131 55 10 0 0078 概率论与数理统计同步训练习题解答 4 9 解 似然函数 1 22 11 11 n i ii x x nn ii n ii Lxexe 1 1 2 lnln n in i i i x ln Lnx 似然方程为 1 2 2 0 n i i x d ln Ln d 的极大似然估计值为 1 2 X 2 2 00 11 2 xx xxedxx d eXEX 的 矩 估计 值 为 1 2 X 111 2 222 EE XE X 所以 1 2 X是 的无偏估计 10 解 设 12 n x xxL为样本观察值 则似然函数为 2 2 1 222 12 33 111 44 L i x nnn n niii iii L x xxx exex 2 12 2 11 1 ln4ln3 ln2ln 2 L nn nii ii n ln L x xxnnxx 令 2 4 1 ln32 0 n i i dLn x dx 解得最大似然估计量 22 1 2 3 n i i x n 2 2 222 1 2 44 3 00 22 33 248 33 n i i x t EExE X nn x edx txt edt 经过分步积分得 22 E 11 解 似然函数为 2 5 2 22 111 5 5 5 i nnn x n iii iii Lxexex 2 11 lnln 5 5 2 nn ii ii ln Lnxx 概率论与数理统计同步训练习题解答 5 5 n时 55 2 11 5lnln 5 5 2 ii ii ln Lxx 似然方程为 5 2 1 51 5 0 2 i i d ln L x d 的极大似然估计值为 5 2 1 10 5 i i x 代入 8 9 10 12 13 得 22222 10 0 0625 85 95 105 125 135 2 由于0 0625 所以 22 2 3025 5 22 105 2525 25 222 5 101 5 5 0 4139 5 xt t xedxtxtedt ee P e X令 12 解 3 22 000 22 6 xx dxxx dxxx dxXEX 于是 3 6 X 13 解 1 经计算样本均值2809 x 样本标准差38 84s 已知 5 0 05n 0 025 4 2 7764t 所求置信区间为 0 025 4 5 s xt 38 84 28092 7764 5 2760 8 2857 2 2 已知 0 025 1 960z 所求置信区间为 0 025 5 xz 40 2809 1 960 5 2773 9 2844 1 14 解 1 已知 12 9nn 0 05 16 1 7459t 经计算 22 2 1122 12 1 1 2 w nsns s nn 32 概率论与数理统计同步训练习题解答 6 所求置信区间为 0 05 12 11 16 w xyts nn 15 3 24 7 2 已知 0 05 1 645z 所求置信区间为 22 12 0 05 12 xyz nn 16 2 23 8 15 解 1 已知9n 0 05 经查表得 22 0 0250 975 8 17 535 8 2 180 经计算得6 0 x 0 574s 则所求置信区间为 22 22 0 0250 975 1 1 8 8 nsns 0 133 1 07 2 已知 0 05 8 1 8595t 则 的置信度为 95 的单侧上限为 0 05 8 6 36 s xt n 16 解 已知10 0 05n 经查表得