数值分析 李庆杨 Cht4-5习题课.pdf

一 数值积分与数值微分一 数值积分与数值微分 第第4 4 5 5章章 习题课习题课 数值积分和数值微分数值积分和数值微分 解线性方程组的直接法解线性方程组的直接法 d 0 n k kk b a fwxxf求积公式 1 m次代数精度m次代数精度称该求积公式具有 则成立次的多项式等式不准确而对于某一个成立 的多项式都准确对于所有次数不超过若一个求积公式 m m d d 0 0 称为插值型求积公式 其中 得到求积公式由拉格朗日插值 b a kk n k kk b a k n k kn xxlwfwxxf fxlxL d 1 d 0 1 xxx n f xxLxffR b a n j j n b a n 余项 d 0 它是插值型求积公式 次代数精度至少具有求积公式 nfwxxf n k kk b a 定理定理 C C d 0 Cotes系数Cotes系数Cotes公式Cotes公式 NewtonNewton称为 称为 上的插值型求积公式 在等距节点等分 步长做将求积区间 n k n k k n k b a k fabxxf khax n ab hnba d 1 dC 0 0 0 0 n n kj j kn n n kj j n k tjt knnk t jk jt ab h thax 则有作变换 2 d 1n bfaf ab Txxf b a 得到梯形公式时当 2 3 2 4 6 d 2n 也称为得到抛物线公式时当 bf ba faf ab Sxxf b a n 公式n 公式辛普森 Simpso辛普森 Simpso 4 2 4 7 32 12 32 7 90 4 43210 ab hkhax xfxfxfxfxf ab C n k 其中 得到时当公式公式柯特斯 cotes 柯特斯 cotes C8 公式不稳定出现负值时柯特斯系数表CNn n k 12 3 baf ab TIfR baxf T 则梯形公式的余项为 上连续 在若 2 180 2 4 6 d 辛普森 4 4 4 baf abab bf ba faf ab xxfSIfR baxf b a S 公式的余项为则上连续在若 2 2 2 1 0 1 0 1 n i i n i iin bfxfaf h xfxf h T 12 12 12 1 23 1 0 3 fh ab fh n fhTI n i in 2 4 6 1 0 1 1 2 1 bfxfxfaf h S n i n i i i n 8802 2180 4 4 1 0 4 4 bafh ab f hh SI n i in bfaf ab T 2 1 1 初值 1 0 2 2 1 22 1 210 2 2 n i i nn i xf h TT i ab h计算 令 C 63 15 33 22 22 22 求加速值 nnnn nnnn nnnn CCCR SSS TTTS 24否则 转满足精度要求 12 d 0 10 高斯求积公式高斯求积公式 高斯点高斯点 求积公式为 并称此则称此组节点为次代数精度具有 使插值型求积公式若一组节点 n xfwxxfx bxxxa n i ii b a n 0 d 1 101 10 b a n nn n xxPxx xxPn xxxxxxx bxxxa 即正交带权的多项式不超过 与任何次数高斯点 是插值型求积公式的节点 定理定理 d 22 2 1 22 baxxx n f fR b a n n n 2 1 010 f h xfxf h xf 2 1 011 f h xfxf h xf 3 4 3 2 1 2 2100 f h xfxfxf h xf 6 2 1 2 201 f h xfxf h xf 3 3 4 2 1 2 2102 f h xfxfxf h xf 12 2 1 4 2 210 2 1 f h xfxfxf h xf 基本内容及基本要求基本内容及基本要求 1 了解数值求积的基本思想 代数精度的概念 插值 型求积公式及其代数精度 求积公式的收敛性和稳 定性 2 掌握牛顿 柯特斯公式及其性质和余项 3 掌握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项 4 了解龙贝格 Romberg 求积算法 知道外推法 5 会高斯求积公式 了解高斯 勒让德求积公式和高斯 切比雪夫求积公式 6 了解几种常用的数值微分方法 二 练习二 练习 3 1 3 1 d 2 1 0 2 1 2 1 d 1 1 1 1 1 ffxxf fffxxf 代数精度 判明以下两求积公式的1 1 21 三次 一次 答 1 d 1 0 并估计误差 的近似值 求辛普森公式试分别用梯形公式和 x x I2 2 16667 0 max 12 01 2 0 max 1 2 1 1 75 0 2 1 1 2 01 1 10 3 10 3 xfR fxf x xf x xf TI x T x 解 0083333 0 max 2880 01 1 24 69444 0 2 1 5 1 1 41 6 01 2 4 10 5 5 4 xfR x xf SI x S 693147 02ln 1 d 1 0 x x I准确值 056853 0 TI 001297 0 SI 1 d 5 1 0 并估计误差 的近似值 求辛普森公式的复合试用 x x In3 3 693150 0 11 1 9 01 1 7 01 1 5 01 1 3 01 1 1 01 1 4 8 01 1 6 01 1 4 01 1 2 01 1 2 01 1 6 2 0 0 0 2 0 5 1 01 5 1 5 2 1 2 1 S hixihxh i i 解 1033333 1 max 2880 2 0 1 24 5 4 10 4 5 5 4 xfR x xf x 693147 02ln 1 d 1 0 x x I准确值 1081944 2 6 5 SI 1 d 1 0 位有效数字才能保证计算结果有五 问区间多少等分计算公式若用复合梯形 x x I4 4 1 0 0 1 01 1 niihx nn h i 解 1 6 1 max 12 01 2 0 max 1 2 1 1 2 10 2 10 3 n xfhR fxf x xf x xf x n x 183 574 1823 10 10 2 11 6 1 1 d 1 1 d 5 0 55 2 1 0 1 0 nn n x x x x 即故只需 有一位小数因 4 1 1 4 2 2 效数字保证计算结果有五位有 周长 的计算椭圆公式试用复合梯形 y x 思考思考 222 0 2 00 2222 dsin31dcossin4d yxl 10 2 1 000002986 0 3 1 42211206 2 00072744 0 3 1 42210310 2 0212421 0 3 1 41992078 2 3561945 2 4 22 8 22 4 1221 23 12 TTT TTT TTTT 4221 2 8 有五位有效数字 TI d 1 1 1 1100 2 求积公式 的两点高斯型求形如 xfxfx x xf 5 5 0 12 1 1 2 2 0 2 2 10 2 2 1 0 2 2 ww ww xxxT 以及 解法 1 12 2 22 2 2 2 d 1 ffx x xf 2 12 cosd 1 2 1 1 1 2 n i n i f n x x xf 切比雪夫求积公式 由高斯解法 d 1 1 12 2 22 2 2 2 ffx x xf 得到 的数据表根据 x y2 6 xi 0 5 1 1 5 2 2 5 yi 1 41421 2 00000 2 82843 4 00000 5 65685 5 1 5 1 ff 和分公式计算试用二点 三点数值微 34914 2 5 1 2 5 0 1 5 1 65686 1 1 5 1 5 0 1 5 1 0 5 fff fff h 则取解 2 1 2 5 02 1 5 1 fff 34314 0 1 5 1 2 2 5 0 1 5 1 2 ffff 三 解线性方程组的直接方法三 解线性方程组的直接方法 基本内容及基本要求基本内容及基本要求 1 了解求解方程组的两类方法 了解矩阵基础知识 2 掌握高斯消去法 会矩阵的三角分解 3 掌握高斯列主元素消去法 了解高斯 若当消去法 4 掌握直接三角分解法 了解平方根法 会追赶法 了解 有关结论 5 了解向量和矩阵的几种范数 6 了解矩阵和方程组的性态 会求其条件数 7 会初等反射阵和平面旋转阵 了解QR分解 了解用正 交约化法解超定方程组 1 分别用顺序Gauss消去法和直接三角分解法 杜利 脱尔分解 求解线性方程组 四 练习四 练习 20 18 14 513 252 321 3 2 1 x x x 72 10 14 2400 410 321 22 10 14 450 410 321 20 18 14 513 252 321 1 解 24 41 321 153 12 1 513 252 321 2 3 2 1 72 10 14 T T xyUx ybLy 得解 得解 3 2 1 3 2 1 x x x 2 设A为n阶对称正定阵 试证 1 A的对角元素aii 0 2 设L为非奇异阵 则LAL T是对称正定阵 3 经顺序Gauss消去法A化为 2 111 0A aa T 求证A2为对称正定 证明证明 1 由正定二次型理论 aii e iAei 0 或因所有主子式 0 2 因 LAL T T LALT 故LALT是对称的 又因对于任意x 0 则有y L Tx 0 从而 xTLAL Tx LTx TA LTx yTAy 0 故LAL T是对称正定阵 3 经顺序Gauss消去法A化为 2 111 0A aa T A2是对称的 因为 2 1 11 1 1 2 jij i ijij aa a a aa A2是正定的 这是因为经顺序Gauss消去法A的各阶顺序 主子式的值不变 a11 A2的k阶顺序主子式 A的k 1阶顺序主子式 0 且a11 0 于是得出A2的各阶顺序主子式 0 2 0 0 0 2 2 11 2 111 正定知故由正定或因A A a LAL A aa LA T T 3 3 用带行交换的杜利脱尔分解计算线性代数方程组 AX bAX b 其中 4 3 2 121 111 011 b bA A 101 011 001 11 LIP解 110 100 011 1 11 AAPL 01 10 1 22 ILP 100 110 011 2 1122 UAAPLPL 122122 UAPPPLPL 1 LUPAUPAL 1 1 1 1 2 2 TT xyUxyPbLy 得解得解 4 用追赶法求解三对角方程组 2 0 0 0 3100 2310 0231 0022 4 3 2 1 x x x x 1 11 11 11 21 21 21 2 3100 2310 0231 0022 ULA 1 1 1 1 1 0 0 0 xyxUybyL 1 2 2 的后两个分量为零 使得确定初等反射阵给定向量 Hx Hx T 5 5 15 1 15 1 2 5 0 0 3 3 15 14 15 2 3 1 15 2 15 11 3 2 3 1 3 2 3 2 T TT uuIH uHx 答 cond cond 1 2 3 1 2 1 2 1 2 2 2 22 2 H H H HH HHilbertHilbert 6 6 和的条件数矩阵求 27 2 3 18 cond 126 64 2 1 2 1 2 HHH 2 2 H H解