第二章随机信号分析基础习题.pdf

第二章第二章 随机信号概论随机信号概论 本章要点 本章要点 1 随机过程的概念 随机过程的概念 可理解为依赖于时间可理解为依赖于时间t的一族随机变量或的一族随机变量或 随机试验得到的一族时间随机试验得到的一族时间t的函数 的函数 2 随机过程的概率分布 随机过程的概率分布 n nnX nnX xxx tttxxxF tttxxxp 21 2121 2 2121 3 3 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征 数学期望数学期望 dxtxpxtXEtm XX 均方值均方值 dxtxpxtXEt XX 222 方差方差 22 tmtXEtXDt X 自相关函数自相关函数 2121 tXtXEttRX 协方差函数协方差函数 221121 tmtXtmtXEttC XXX 随机过程随机过程X t 和和Y t 的的互相关函数互相关函数 2121 tYtXEttRXY 互协方差函数互协方差函数 221121 tmtYtmtXEttC YXXY 两随机过程两随机过程X t 和和Y t 之间的之间的统计独立 不相关和统计独立 不相关和 正交正交概念概念 随机过程的特征函数随机过程的特征函数 4 4 随机序列及其统计特性 随机序列及其统计特性 重点及要求 重点及要求 会计算随机信号的概率分布及各种数字特征会计算随机信号的概率分布及各种数字特征 对两随机过程对两随机过程X t 和和Y t 之间的之间的统计独立 不相关统计独立 不相关 和正交和正交概念有明确认识概念有明确认识 解解 1 1 由于随机过程由于随机过程X t X t 的样本具有确定的函的样本具有确定的函 数形式 数形式 为常数为常数1 1 2 2 3 3 所以该随机过程 所以该随机过程 是确定性随机过程 是确定性随机过程 2 2 显然 任意时刻对应的随机变量是离散显然 任意时刻对应的随机变量是离散 随机变量 且具有相同的分布 所以概率密度随机变量 且具有相同的分布 所以概率密度 为 为 0 6 1 0 3 2 0 1 3 p x txxx 2 22 2 2 6 所以 所以 113 2 3 4 6 33 E X 114 6 5 72 33 E X 155 2 6 3 5 4 7 6 2 33 E XX 解解 由图可得下表由图可得下表 1 2 3 X 2 346 X 6 572 出现一个典型的错误 出现一个典型的错误 182 2 6 2 6 9 E XXE XE X 由定义可知 由定义可知 2 2 X FxP Xx 显然在显然在2这一时刻的可能取值为这一时刻的可能取值为3 4 6 可得 可得 0 3 1 34 3 2 2 46 3 1 6 x x P Xx x x 同理可得 同理可得 0 2 1 25 3 6 6 2 57 3 1 7 X x x FxP Xx x x 问题问题 2 2 X FxP Xx 3 4 6 2 3 1 3 1 1 3 3 2 4 3 16 x x x 0 1 2 2 3 x X FxP Xxp x dxx 1212 12 2 6 2 6 2 6 X Fx xP Xx Xx PXxXx I 用表格来表示所求的联合分布 用表格来表示所求的联合分布 12 31 30 2 31 31 30 1 3000 0000 2 x 1 x 1 3x 1 34x 1 46x 1 6x 2 2x 2 25x 2 57x 2 7x 问题问题 12 31 30 2 34 92 90 1 32 91 90 0000 2 x 1 x 1 3x 1 34x 1 46x 1 6x 2 2x 2 25x 2 57x 2 7x 0 3 1 34 3 2 2 46 3 1 6 x x P Xx x x 0 2 1 25 3 6 2 57 3 1 7 x x P Xx x x 2 7 解 解 1 由题意可知由题意可知 123 1 3 ppp 所以所以 112233 1 1 sincos 3 E X tpX tpX tpX t tt 2 解 由定义可知 解 由定义可知 1212 X R t tE X t X t 由题知 由题知 1 1 1 2 3 1 sint 2 sint 2 cost 1 cost 1 X t 2 X t 所以 所以 1212 X R t tE X t X t 1212 1 1 sin sincos cos 3 tttt 2 8 解 由定义出发 解 由定义出发 E Y tE X tf t E X tE f t X m tf t 由协方差的定义 由协方差的定义 121122 YYY C t tE Y tm tY tm t 1111 2222 X X EX tf tmtf t X tf tmtf t 1122 XX E X tm tX tm t 12 X Ct t 2 9 解 1 直接由定义可得 00 cos sin E X tE AtBt 00 cos sin E AtE Bt 0 2 由自相关函数的定义 1212 0 10 10 20 2 cossin cossin X Rt tE X t X t EAtBtAtBt 22 0 10 20 10 2 coscossinsin E AttBtt 2 0 10 10 10 2 coscossinsin tttt 2 012 cos tt 其中 2 10 解 由均值的定义 解 由均值的定义 22 0 00 cos cos 2 o a E X tatpdtd 0 由定义先求出均方值 就可以得到方差 由定义先求出均方值 就可以得到方差 222 0 cos E XtE at 2 0 1cos 22 2 t E a 22 2 0 0 cos 22 22 aa td 2 2 a 所以 2 22 2 a D X tE XtE X t 1212 2 0 10 2 cos cos X Rt tE X t X t E att 2 0120 10 2 cos cos 2 2 a Etttt 2 012 2 12 cos 0 2 cos 2 a tt a tt 其中 2 11 解 0 cos E X tE At 0 cos E A Et 12 0 00 1 cos 2 adatd 0 2 120 10 2 cos cos X R t tE Att 2 0 10 2 0 cos cos 1 cos 6 E A E