线性代数习题1.pdf

习题一 1 6 设方阵 A 满足方程 2 2AAIO 证明 A 及 2AI都可逆 并求 1 A及 1 2AI 解 2 2AAI 2A AII 1 2 AAII 1 1 2 AAI 方法 1 2 236264AIAIAAIIII 1 23 4 AIAII 1 1 23 4 AIAI 方法 2 2 2AIA 1 2AI 2 2 1 1 2 AAI 2 11 222 44 AAIAIAI 1 3 4 IA 1 10 设 423 110 123 A 2ABAB 求 B 解 2ABBA 或 2AI BA 1 2BAIA 1 223423 110110 121123 143423 153110 164123 386 296 2129 1 11 设 1 2 0 0 1 证明 1 2 0 0 k k k 2 设 1 AP P 证明 1kk AP P 证 1 2 1 k k AP P 1111 P PP PP PP P 1111 P PP PP PP P 1k P P 1 13 证明下列等式 1 2 3 2 21 1 21 aa ababab bb 2 11111111 2 22222222 33333333 1 ab xa xbcabc ab xa xbcxabc ab xa xbcabc 证明 1 2 2 21 1 21 aa abab bb 0 1 0 a abab abab b baba 2 1 1 aa abab ab bb baba 3 ab 2 把第 1 列 第 2 列的元看成两项之和 11111 22222 33333 ab xa xbc ab xa xbc ab xa xbc 111111 222222 333333 abcb xa xc abcb xa xc abcb xa xc 111111 2 222222 333333 abcabc abcx abc abcabc 111 2 222 333 1 abc xabc abc 1 16 解下列矩阵方程 3 142031 121101 X 解 3 11 143120 120111 X 243110 11 62110112 11 1212 1 1 12 3 0 0 4 1 17 设 A 是 阶矩阵 A 为伴随矩阵 证明 1 若 0A 则 0A 2 1n AA 证明 1 假设 0A 那么 A 可逆 AAA I 两边右乘 1 A得 11 0AAAAO 因此 AOO 0AO 与假设矛盾 2 当 0A时 依 1 的结果 0AA 以下设 0A AAA I 取行列式得 n A AA 或 1n AA 1 21 设 3 阶方阵 A 的伴随矩阵为 A 且 1 2 A 求 1 32AA 解 1 32AA 1111 11 2 33 AA AAA 3 11 22 33 AA 33 1 22 2 33 A 16 27 1 22 设 A 为 阶方阵 k AO k 求证 IA 可逆 并写出逆矩阵的表达式 证明 kk IIA 21k IAIAAA 所以 1 21k IAIAAA 1 23 设分块阵 OA X BO 其中 A B 可逆 求 1 X 解法 1 设 1 CD X FG 这里 1 X的分块方法与 X 的 分块方法相同 1 OACDAFAG XX BOFGBCBD IO OI 所以 AFI 1 AGO 2 BCO 3 BDI 4 由 1 式得 1 FA 由 2 式得 1 GAOO 由 3 式得 1 CBOO 由 4 式得 1 DB 因此 1 1 1 OB X AO 解法 2 OAIO BOOI BOOI OAIO 1 1 IOOB OIAO 因此 1 1 1 OB X AO 1 24 设 1 2 3 1 0000 0000 0000 0000 0000 n n a a a a a A 0 i a 1 2 求 1 A 解法 1 1 2 3 1 000010000 000001000 000000100 0 000000000 000000001 n n a a a a a 依次交换第 n 行和第 1n行 第 1n行和第 2n 行 第 1 行和第 2 行得 1 2 2 1 000000001 000010000 000001000 000000000 000000010 n n n a a a a a 1 1 1 1 2 1 1 100000000 010000000 001000000 0001000000 000010000 n n a a a a 1 1 1 1 12 1 1 0000 0000 0000 00000 0000 n n a a a a A 解法 2 设 A 的右上角的 1n阶子块为 B 依 1 23 的 结果 1 1 1 1 n n a a OBO A O BO 1 1 1 1 2 1 1 0000 0000 0000 00000 0000 n n a a a a 1 25 设 A B 均为 阶方阵且 2A 3B 求 1 2 AB 解法 1 1 2 AB 1111 24A ABAB 1111 11 444 23 nn