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1 解三角形练习题二 一 一 选择题 1 在 ABC 中 若角为钝角 则的值 BsinsinBA A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 大于零 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 小于零 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 等于零 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 不能确定 2 2 在 ABC 中 若 则 ABC 的形状是 2lgsinlgcoslgsinlg CBA A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 直角三角形 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 等边三角形 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 不能确定 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 等腰三角形 3 在 ABC 中 若 则 ABC 的形状是 tan 2 ABab ab A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 直角三角形 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 等腰三角形 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 等腰直角三角形 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 等腰三角形或直角三角形 4 2011 辽宁理 ABC 的三个内角 A B C 所对的边分别为 a b c asinAsinB bcos2A 则a2 a b A B C D 2 32 232 5 2011 四川理 在 ABC中 则A的取值范围是 222 sinsinsinsinsinABCBC A B C D 0 6 6 0 3 3 6 在平行四边形 ABCD 中 AC BD 那么锐角 A 的最大值为 3 A 30 B 45 C 60 D 75 7 在 ABC 中 那么 ABC 一定是 ABBA 22 sintansintan A 锐角三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等腰三角形或直角三角形 8 在 ABC 中 A 60 b 1 其面积为 则等于 3 CBA cba sinsinsin A 3B 3 3 392 C D 3 38 2 39 9 在 ABC 中 若 b 2 a 2 且三角形有解 则 A 的取值范围是 2 A 0 A 30 B 0 A 45 C 0 A 90 D 30 A 60 10 在 ABC 中 有等式 sinsinaAbB sinsinaBbA 其中恒成立的等式序号为 coscosaBbA sinsinsin abc ABC A B C D 2 二 二 填空题 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 若在 ABC 中 则 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 0 60 1 3 ABC AbS CBA cba sinsinsin 2 若是锐角三角形的两内角 则 填 或 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 A BBAtantan1 3 2011 安徽理 已知 的一个内角为 120o 并且三边长构成公差为 4 的等差数列 ABC 则的面积为 ABC 4 如图 ABC 中 AB AC 2 BC 点 D 在 BC 边上 ADC 45 则 AD 的2 3 长度等于 D A B C 5 2011 全国文 在中 D 为 BC 边上一点 ABCA3BCBD 2AD 若 则 BD 135ADB 2ACAB 三 三 解答题 1 20102010 全国卷全国卷 1 1 理 理 17 本小题满分 10 分 已知ABCV的内角A B及其对边a b满足cotcotabaAbB 求内 角C 3 2 2010 安徽理数 16 本小题满分 12 分 设ABC 是锐角三角形 a b c分别是内角 A B C所对边长 并且 22 sinsin sin sin 33 ABBB 求角A的值 若12 2 7AB ACa A 求 b c 其中bc 3 20102010 江苏卷 江苏卷 17 本小题满分 14 分 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H 单位 m 如示意图 垂直放置的标杆 BC 的高度 h 4m 仰角 ABE ADE 1 该小组已经测得一组 的值 tan 1 24 tan 1 20 请据此算出 H 的值 2 该小组分析若干测得的数据后 认为适当调整标杆到电视塔的距离 d 单位 m 使 与 之差较大 可以提高测量精确度 若电视塔的 实际高度为 125m 试问 d 为多少时 最大 4 4 2011 安徽文 在ABC 中 a b c 分别为内角 A B C 所对的边长 a b A3 求边 BC 上的高 212cos 0BC 5 2011 湖南文 在ABCA中 角 A B C所对的边分别为 a b c且满足 sincos cAaC I 求角C的大小 II 求3sincos 4 AB 的最大值 并求取得最大值时角 A B的大小 5 6 2011 天津文 本小题满分分 在中 12ABC cos cos ACB ABC 证明 BC 若 求的值 1 cos 3 A sin 4 3 B 7 2009 全国卷 理 在ABC 中 内角 A B C 的对边长分别为a b c 已知 22 2acb 且sincos3cossin ACAC 求 b 6 解三角形练习题二答案 一 一 选择题 题号12345678910 答案ADDDCCDBBC 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 A 解析 且都是锐角 ABAB AB sinsin sinABB 另解 设则由正弦定理得 sinsin ABk 2 22 ba k baRk RR 因为三角形的内角 且为钝角 故 于是从而由上式得 A B CBBA ba 0 sinsin kAB 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 D sin sin22sincos 2 cosABBB abB 另解 由 2lgsinlgcoslgsinlg CBA 得 sinsin lglg2 2 sin2cossin cossincossin AA ABC BCBC 又因 sinsinsincoscossin ABCBCBC 故 sincoscossin2cossin sincoscossin0 sin0 0 BCBCBC BCBC BCBCBC 3 D 2cossin sinsin 22 tan 2sinsin 2sincos 22 ABAB ABabAB ABAB abAB 或 tan 2 tan tan0 22 tan 2 AB ABAB AB tan1 2 AB 所以或AB 2 AB 7 另解 由及正弦定理得 tan 2 ABab ab sinsin tan 2sinsin ABAB AB 但由和差化积公式得 2cossincossin sinsin 2222 sinsin 2sincossincos 2222 cottantantan 222 ABABABAB AB ABABABAB AB ABABAB C 故 tan1tan0 22 ABC tan0 tan1 22 ABC 或 若则 此时为等腰三角形 tan0 2 AB 0 2 AB AB ABCA 若则 此时直角三角形 tan1 2 C 45 90 2 C C ABCA 4 解析 由及正弦定理得 2 sinsincos2aABbAa 22 sinsinsincos2sin sin2sin 2 2 ABBAA b BA ba a 5 答案 C 解析 由得 即 222 sinsinsinsinsinABCBC 222 abcbc 222 1 22 bca bc 故 选 C 1 cos 2 A 0A 0 3 A 6 D C A B 8 因四边形为平行四边形 故ABCD3 ACBD 222 222 2 22 222 cos 2 coscos 2 3 3 22 ABADBD DAB AB AD ABBCAC DABABC AB BC ABADBD ABADBD AB ADAB AD 于是 222222 222 3 1 2 ABADBDABADBD BDABAD 2222 1 2 cos 2 111 2 442 ABADABAD DBA AB AD ABADABAD ADABADAB 其中等号当且仅当时成立 故锐角的最大值是 ABAD DAB 60 7 因 故 22 tansintansinABBA 22 tansintansin0 ABBA 但 22 sinsin tansintansinsinsin coscos sinsinsin2sin2sinsincossin1 2coscoscoscos BA ABBAAB AB ABBAABBABA ABAB 故为等腰或直角三角形 ABCA 另解 由得 22 tansintansinABBA 22 sinsin sinsin0 coscos sinsin sinsin0 coscos sincossincos sinsin0 coscos sincossincos0 AB BA AB BA AB AB BBAA AB AB BBAA 由正弦定理得 coscos bBaA 由余弦定理得 9 222222 22222222 224224 22244 22222 22 0 0 0 acbbca ba acbc bacbabca a cab cb cabab abcab 故故应该选 D 222 ababc 或 8 因三角形的面积为 故31 60cA 由余弦定理得 1 1 sin603 4 2 cc 222 418cos6013 13 aa 由余弦定理得 2 sin2 sin2 sin 2 sinsinsinsinsinsin 132 39 sinsin603 abcRARBRC R ABCCBC a A 9 因 故三角形有解当且仅当2 2 2ab BC A b 2 c a 2 2 2 22 2 22 22 2 c c c 解得 2 222 22 c 由余弦定理及均值不等式得 2 22 2 22 112 cos2 22 2 224 224 2 c cc A ccc 10 其中等号当且仅当时成立故的取值范围是0 A 45 1 2 24 2 c c c 即A 二 二 填空题答案 1 3 392 2 113 sin3 4 13 13 222 ABC SbcAccaa 132 39 sinsinsinsin33 2 abca ABCA 2 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 即 22 ABAB sin 2 tantan 2 cos 2 B AB B cos1 sintan B BB 1 tan tantan1 tan AAB B 另解一 因为锐角三角形 故ABC coscossinsincoscos0ABABABC sinsin sinsincoscos tantan1 coscos AB ABABAB AB 另解二 考虑等边三角形 3 命题意图 本题考查等差数列的概念 考查余弦定理的应用 考查利用公式求15 3 三角形面积 解析 设三角形的三边长分别为 最大角为 由余弦定理得4 4aa a 则 所以三边长为 6 10 14 ABC 222 4 4 2 4 cos120aaaa a 10a 的面积为 1 6 10 sin12015 3 2 S 4 2 5 解析 C DB A 11 因故因故由余弦定理得135 ADB 45 ADC 2 AD 2 222 22 2cos13522 ABBDBDBDBD 因故因故由余弦定理得3 BCBD 2 CDBD 2 ACAB 2 AD 22 2 2 2222 2 2cos45 442 ABBDBD BDBD 故 22 2 222442 410 25 BDBDBDBD BDBDBD 三 三 解答题答案 1 解 2 另解 由余弦定理得 2 sin 2 sinaRA bRB 由已知条件得cotcotabaAbB coscos 2 sin2 sin2 sin2 sin sinsin sinsincoscos sincoscoscos 2sin2sin sinsin 4444 AB RARBRARB AB ABAB AABB ABAB 因都为三角形的内角 故 A B 444444 AB 于是 1sinsin sinsin1 4444 AB 因 故sinsin 44 AB 12 444444 4422 AB ABABC 2 解 3 解析 本题主要考查解三角形的知识 两角差的正切及不等式的应用 1 tan tan HH AD AD 同理 tan H AB tan h BD AD AB DB 故得 tantantan HHh 解得 tan4 1 24 124 tantan1 24 1 20 h H 因此 算出的电视塔的高度 H 是 124m 13 2 由题设知dAB 得tan tan HHhHh dADDBd 2 tantan tan 1tantan 1 HHh hdh dd HHhH Hh dH Hh d ddd 2 H Hh dH Hh d 当且仅当 125 12155 5dH Hh 时 取等 号 故当55 5d 时 tan 最大 因为0 2 则0 2 所以当55 5d 时 最大 故所求的d是55 5m 4 解 A B C 180 所以 B C A 来源 Zxxk Com 又 12cos 0BC 12cos 180 0A 即 又 0 A 180 所以 1 2cos0A 1 cos 2 A A 60 在 ABC 中 由正弦定理得 sinsin ab AB sin2sin602 sin 23 bA B a 又 所以 B A B 45 C 75 ba BC 边上的高 AD AC sinC 2sin752sin 4530 2 sin45 cos30cos45 sin30 232131 2 22222 另解 由得12cos 0BC 1 1 2cos0 cos 60 2 AAA 由余弦定理得 22 2 26 322 2 cos60 2 ccc 由 126113 23 2222 ABAB hh 5 解析 I 由正弦定理得sinsinsincos CAAC 因为0 A 所以sin0 sincos cos0 tan1 4 ACCCCC 从而又所以则 14 II 由 I 知 3 4 BA 于是 3sincos 3sincos 4 3sincos2sin 6 311 0 46612623 ABAA AAA AAAA 从而当即时 2sin 6 A 取最大值 2 综上所述 3sincos 4 AB 的最大值为 2 此时 5 312 AB 6 解解 在中 由及正弦定理得 ABC cos cos ACB ABC sincos sincos BB CC 于是 即 sincoscossin0BCBC sin0BC 因为 则 0B 0C BC 因此 所以 0BC BC 由和 得 所以ABC 2AB 1 cos2cos2cos 3 BBA 又由知 所以 BC 02B 2 2 sin2 3 B 4 2 sin42sin2 cos2 9 BBB 22 7 cos4cos 2sin 2 9 BBB 所以 4 27 3 sin 4sin4 coscos4 sin 33318 BBB 另解 由 得 故因 故为钝角 都为锐BC bc 1 cos 3 C C B C 角 且由余弦定理得 22222 18 2 33 3 8 abbbb a b 由正弦定理得 sinsin ab AB 故 15 2 2 2 313 sinsin1 cos1 833 6 cos1 sin 3 bb BAA aa BB 2 2 sin22sincos 3 BBB 故 2 61 cos22cos121 93 BB 于是 2 2 2 14 2 sin42sin2 cos22 339 17 cos42cos 2121 99 BBB BB 所以 4 27 3 sin 4sin4 coscos4 sin 33318 BBB 7 分析 此题事实上比较简单 但考生反应不知从何入手 对已