高等数学BII复习题(附答案版).pdf

高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 1页 共 20页 1 高等数学高等数学 BII 复习题 附答案 复习题 附答案 考试时间 考场 注 注 为重点题型 本复习题答案均为个人的拙见 可能存在 bug 仅供参考 在原有复习题的基础上 添加了几道可能会考到的基础题 如有错误存在请与 发行人郭强联系 或自行纠正 祝考试愉快 禁止转载 重难点知识点汇总如下 重难点知识点汇总如下 一 平面方程与直线方程 平面方程 0 000 zzCyyBxxA其中 A B C 为法向量 00 0 zyx 为平面上一点 直线方程 C zz B yy A xx 000 其中 A B C 为方向向量 00 0 zyx 为直 线上一点 性质 数量及为零 两个向量垂直 向量积为零 两个向量平行 平面束方程 已知直线一般方程 0 0 2222 1111 DzCyBxA DCzyBxA 过该直线的平面束方程 0 22221111 DzCyBxADzCyBxA 二 二重积分与曲线积分 Ddxdy D 1 的面积 Lds L 1 的长度 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 2页 共 20页 2 格林公式 dxdy y P x Q dyyxQdxyxP D L 其中 L 为闭曲线且取正 向 设函数 yxf在分段光滑曲线 L 上连续 曲线 L 的方程为 ty tx t 其中 tt 在 上具有一阶连续的导数 且0 22 tt 则有转换公式 dtttttfdsyxf L 22 将曲线积分转换为定积 分 注意 1 用积分路径的参数方程去代换被积函数的自变量 2 用dttt 22 替换ds 3 换元的同时要换限 将积分路径的两端点所对应的参数值分 别作为右边定积分的积分限 其中较小的作为积分下限 三 无穷级数 常见函数的收敛性 111 1 1 i i 发散 3 1 2 1 1 11 1 i i 发散 1 1 i p i P 0 收敛 发散 发散 1 1 1 P P P 比较判别法 1n n U 1n n V 11 11 nn nnnn nn nnnn VVUU VVUU 收敛收敛 发散发散 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 3页 共 20页 3 n U 0 n V 0 如果 n n n V U lim其中 0则 1n n U与 1n n V具有相同的敛散 性 比值判别法 1n n U n n n U U 1 lim 不确定 收敛 发散 1 1 1 例 1 1 1 n n n 发散 1 1 cos n n 发散 1 1 n n 发散 1 1 sin 1 n n n 收敛 1 1 sin n n 发散 1 1 1 n n nn 绝对收敛 莱布尼茨判别法 1 1 n n nU 其中 n U 0 如果 n U 1 n U0lim n n U则 1 1 n n nU 收敛 幂级数 定义 0 0 n n n xxa 特殊形式 当0 0 x时 0n n nx a 阿贝尔定理 0n n nx a 如果 1 xx 时 0n n nx a收敛 则当 1 xx 时 0n n nx a绝对收敛 其中0 1 x 如果 2 xx 时 0n n nx a发散 则当 2 xx 时 0n n nx a发散 复习例题如下复习例题如下 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 4页 共 20页 4 一 单项选择题一 单项选择题 1 由两条抛物线xy 2 和 2 xy 所围成的图形的面积为 A A 1 2 0 xx dxB 1 2 0 xx dxC 1 2 1 xx dxD 1 2 1 xx dx 2 由相交于点 11 y x 及 22 yx 其中 21 xx 的两曲线0 xfy 0 xgy所 围图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积V是 B A 2 1 2 x x f xg xdx B dxxgxf x x 2 1 22 C 22 11 22 xx xx f xdxg xdx D 2 1 x x f xg x dx 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 5页 共 20页 5 3 直线 37 4 2 3zyx 与平面3224 zyx的关系是 A A 平行 但直线不在平面上 B 直线在平面上 C 垂直相交 D 相交但不垂直 解 2 1 2 2 4 3 7 2 n n 平面法向量 直线方向向量 又0 2 3 7 2 42 21 nn 直线上一点 2 7 3 带入平面中不成立 故其关系为平行 4 设 00 yxfx存在 则 x yxxfyxxf x lim 0000 0 C A 00 yxfx B 2 00 yxfx C 2 00 yxfx D 2 1 00 yxfx 解解 2 lim lim 00 00000000 0 00000000 0 yxf x yxfyxxf x yxfyxxf x yxxfyxfyxfyxxf x x x 5 函数 yxfz 在点 yx可微 是函数 yxfz 在点 yx各偏导数存在的 A A A 充分但不必要条件 B 充分必要条件 C 必要但不充分条件 D 既非充分也非必要条件 解 可微 偏导数存在 但是偏导数存在 不一定可微 6 函数 xy yxu 则 x u A A 1 ln yx yxyy B yyxxlnln C xy yx D 11 xy xyyx 解 yyyx x u xy ln 1 7 yy dxyxdydxyxdyI 3 0 3 1 2 0 1 0 交换次序后得 C A y y dyyxdx 3 2 2 0 B x x dyyxdx 3 2 1 0 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 6页 共 20页 6 C 2 0 3 2 x x dyyxdx D 2 0 2 3 x x dyyxdx 解 积分区域前半部分由 y 1 和 x 2y 围成 后半部分有 1 y 3 和 x 3 y 围 成 总的区域面积 如图三角形部分 故其积分为 2 0 3 2 x x dyyxdx 8 设l取圆周9 22 yx的正向 则曲线积分 l dyxxdxyxy 2 4 22 C A 2 B 9 C 18 D 36 解 yxyp yx 22 xxQ yx 4 2 yx P对 y 求偏导数得22 x y P yx Q对 x 求偏导数得42 x x Q 则 DDD yx L yx dxdydxdydxdy y P x Q dyQdxP12 2 原式 又圆的半径 R 3 圆面积 D 2 R 9 故 91 D dxdy 1892 9 设L为左半圆周 0 222 xRyx 将曲线积分 22 34 L xyds 化为定积分的正 确结果是 D D A 0 322 3cos4sin Rtt dt B 0 322 3cos4sin Rtt dt C 322 0 3cos4sin Rtt dt D 3 322 2 2 3cos4sin Rtt dt 解 圆的参数方程 tRy tRx sin cos 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 7页 共 20页 7 则 dtttR RdtttR dttRtRttR dtyxtRtR dsyx L 2 3 2 223 2 3 2 222 2222 2 3 2 222 22 2 3 2 2222 22 sin4cos3 sin4cos3 cossin sin4cos3 sin4cos3 43 10 闭区域D是由简单闭曲线L 正向 所围 下列积分不等于D面积的积分是 C A L ydxxdy 2 1 B L xdyC L ydxD L ydx 11 已知幂级数 0 1 n n n xa在5 x处发散 则下列结论正确的是 A A A 在4 x处级数发散 B 在3 x处级数绝对收敛 C 在4 x处级数条件收敛 D 在4 x处级数绝对收敛 解 把 x 1 看成一整体 x 5 发散可以得出 x 1 4 发散 从而3541 xxx或故得 A 正确 12 微分方程y dx dy 2 的通解为 C A Cey x 2 B 2 x Cey C x Cey 2 D Cey x 2 解 xcx eCeyCxydxdy y dxdy y y dx dy 22 2ln2 1 2 1 2 13 下列级数绝对收敛的是 B A 1 1 1 n n n B 1 1 1 n n nn C 1 1 cos 1 n n n D 1 1 1 n n n 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 8页 共 20页 8 解 1 2 3 11 11 1 1 nnn n nnnn 1 1 i p i p 0 收敛 发散 发散 1 1 1 p p p 14 xcysin 其中 c 是任意常数 是 x dx yd sin 2 2 的 B A 通解B 是解 但非通解也非特解C 特解D 不是解 解 由 x dx yd sin 2 2 求原函数得 Cx dx dy cos CCxxxf sin 故原函数的通解为CCxxxf sin 由 xcysin 求两次导得 xysin 故xcysin 是 x dx yd sin 2 2 的解 但非通解也非特解 二 填空题二 填空题 1 设区域 D 是由 2 1 2 1 yx围成的图形 则二重积分 D dxdy1 解 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 xdxdydxdxdy D 2 duxu siny 则设 ydyxydxcossin 解 yxfu ydyxydxdy y u dx x u ducossin 3 曲面032 xye z 在点 0 1 1处的切平面方程为0422 zyx 解 令32 xyezyxF z 分别对 x y z 求偏导数得 z e z F Fx y F Fy x F F 321 2 2 1 1 0 处的法向量为 2 2 1 1 1 0 处的切平面方程为0422 zyx 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 9页 共 20页 9 4 设 平 面 曲 线L为 下 半 圆 周 2 4xy 则 曲 线 积 分 L dsyx 22 ln 2ln2 解 2 4xy 44 2222 xyxy 故2ln212ln2lnln 22 LLL dsdsdsyx 5 设 f x y在 2 2 1 4 x y 具有二阶连续的偏导数 L是 2 2 1 4 x y 顺时针方向 则 3 xy L yfx y dxfx y dy 的值等于 6 解 xyxfx 2 1 yyxfy2 ydydxxy L 2 2 1 3 原式 又 yxyxP3 2 1 yyxQ2 3 y P 0 x Q DD dxdydxdy 6133 6 若级数 1 1 1 n p n 收敛 则p应满足p 0 解 p n p p n p p n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 lim 1 lim 1 1 1 lim 若级数 1 1 1 n p n 收敛 则1 1 1 p n n 故得0 0 01 p p p 7 设幂级数 n n x n xxx 1 2 10 2 5 2 2 2 2 3 3 2 2 其收敛半径R 2 1 解 原式 n n n x n 1 2 1 2 则 2 1 1 2 1 1 lim 1 1 2 1 2 lim 2 2 2 1 2 n n n n n n n n 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 10页 共 20页 10 8 若均匀薄片所占区域为1 2 2 2 2 b y a x D 其密度1 则其质量 mba 三 计算题 1 三 计算题 1 求曲线 x y 4 与直线5 yx所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积 解 x y yx 4 5 先求交点得 1 4 4 1 4 1 22 4 5 dx x xV 4 1 2 2 16 1025 dx x xx 9 2 已知两点 12 7 A和 10 4 3 B 求一平面 使其通过点B 且垂直AB 解 取 11 2 10 ABn 所求平面为0 10 11 4 2 3 10 zyx 整理有014811210 zyx 3 过点 3 2 1 M作平面 使它与两已知平面03 1 zyx 和012 2 zyx 都垂 直 解 法一 取kji kji n 32 112 111 由点法式有0 3 2 3 1 2 zyx 整理得0532 zyx 法 二 设 所 求 平 面 为0 3 2 1 zcyBxA 则 有 02 0 CBA CBA 解 得 ACAB 2 1 2 3 代入方程有0 3 2 3 1 2 zyx 即0532 zyx 4 求过直线 3210 23220 xyz xyz 且垂直于已知平面2350 xyz 的平面方程 解 作过已知直线的平面束方程 0 2232 123 zyxzyx 因所求平面与与 0532 zyx 垂直 故有 0 21 3 32 2 23 1 解得 2 代入平面束方 程得所求平面 0558 zyx 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 11页 共 20页 11 5 计算二重积分 D dxdy x xcos1 D为由xxyx 1 轴围成的闭区域 解 D dxdy x xcos1 dx x x dy y 11 0 cos1 dy x x dx x 1 00 cos1 1 0 cos1 xdx x x 1sin1 6 设 32 yxyxfz 其中 vuf具有二阶连续偏导数 求 yx z y z x z 2 解 yxu32 yxv 21 2ff x v v f x u u f x z 21 3ff y v v f y u u f y z 2122121122211211 22211211 2 326 3 3 2 2 ffffffff y v f y u f y v f y u f yx z 7 计算曲线积分 L dyxydxyx 53 43 其中L是从点 0 0 O沿上半圆周 2 2xxy 到点 0 2 A的曲线段 解 43 yxyxP53 xyyxQ 3 y P 1 x Q D D OAL dxdy dxdy y P x Q dyxydxyx 24 53 43 2 0 10 4 4 53 43 dxx dxx dyxydxyx OA AO 210 OAOALL 8 求微分方程 x x x y y cos 满足条件1 x y的特解 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 12页 共 20页 12 解 设 x Px 1 x x Q x cos 则 cos 11 cdxe x x ey dx x dx x cos 1 cos lnln cxdx x x x cdxe x x e xx sin 1 cos 1 cx x cxdx x 1 sin 1 cx x y x 得 sin 1 x x yc则 9 求幂级数 1 4 1 n n n x 的收敛域及其和函数 解 x x x x S x 5 1 4 1 1 4 1 其中1 4 1 x 得53 x 故其和函数 x x S x 5 1 收敛域为53 x 10 已知曲线 0 ay 2 ax 与 3 xy 所围图形面积为 8 则 a 624 解 由 23 axx 得0 23 axx解得0 1 xax 2 又8 12 1 4 1 3 1 4 1 3 1 0 444 0 43 0 33 aaaxaxdxxaxs a a 得6296 4 4 a 11 由曲线 3 xy 2y 和 x 轴所围平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为 7 128 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为 5 64 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 13页 共 20页 13 解 7 128 7 1 2 0 7 2 0 6 2 0 23 xdxxdxxVx 5 64 2 5 3 32 5 3 32 84 58 0 3 5 2 8 0 3 ydyyVy 12 求由曲线 x y 3 和直线 x y 4 所围平面图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积 3 8 解 4 3 yx x y 得dx x xxdx x xV 3 1 2 2 3 1 22 9 816 3 4 3 8 9 3 1 416 3 1 32 x xxx 13 直线 37 4 2 3zyx 与平面322x4 zy的关系是 A A 平行 但直线不在平面上 B 直线在平面上 C 垂直相交 D 相交但不垂直 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 14页 共 20页 14 解 详见第一页第四题 14 设 zvuf x y yxf 具有二阶连续偏导数 求 yx z 2 解 yxU x y V 1 2 21 2 x y ff x y v f u f x v v f x u u f x z 1 2 2 2 22211211 2 x f x y y v f y u f y v f y u f yx z 1 1 1 2 2 2 22211211 x f x y x ff x ff 2 2 3 22 2 211211 11 x f x y f x y f x ff 15 设函数 06 333 xyzzyx则 1 2 1 z x C A 5 1 B 5C 5 1 D 5 解 设6 333 xyzzyxF zyx 则yzxFx 2 3xyzFz 2 3 又 5 1 213 1 23 3 3 2 2 xyz yzx F F x z z x 16 设函数 2234 2 yxyxyxyxf 则该函数在驻点 1 1 处 有极小值 其值为 2 解 yxxyxf224 3 0224 1 1 f 驻点 0 0 x f 0212 2 xyxf 0 0 x f极小值 0 0 x f极大值 17 在 充分 必要 和 充分必要 三者中选择一个正确的填入下列空格内 1 函数 yxf在 x y 连续是 yxf在该店可微分的既不充分也不必既不充分也不必要条件 2 yxfz 在点 x y 的偏导数存在是 yxf在该店可微分的必要不充分必要不充分条 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 15页 共 20页 15 件 3 yxfz 在点 x y 的偏导数存在且连续是 yxf在该店可微分的充分不充分不 必要必要条件 4 yxfz 的两个混合偏导数 yx z 2 yx z 2 在区域 D 内连续是这两个混合偏导 数在 D 内相等的充要充要条件 5 函数 yxf在 x y 可微分是该函数在点 x y 沿任何方向等方向导数 存在的充分充分条件 18 设 yxf在点 a b 处的偏导数存在 则 x bxafbxaf x lim 0 2ba f 解 2 lim lim 0 0 baf x bafbxaf x bafbxaf x bxafbafbafbxaf x x 19 设 D 由 y x 及xy4 2 围成 则积分 D dryxfI 化为先 y 后 x 的二次积分是 解 xy xy 4 2 得 0 0 1 x 4 4 2 x 故有 4 40 2 y x yx y 故得dxyxfdyI y y 4 4 0 2 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 16页 共 20页 16 20 dyyxfdxI xx x 2 2 2 2 1 则交换积分次序后 得B A 1 0 11 2 2 y y dxyxfdyB 1 0 11 2 2 y y dxyxfdy C 1 0 11 2 2 y y dxyxfdyD 1 0 11 2 2 y dxyxfdy y 解 有 I 得 xy xxy x 2 2 21 2 画图得 故答案为 1 0 11 2 2 y y dxyxfdy 21 计算 dxyx D 22 D 为由 y 2 y x 及 y 2x 围成的闭区域 dxdyd 6 13 1 6 19 8 1 4 1 24 19 8 3 24 19 2 1 3 1 2 0 34 2 0 23 2 2 0 223 2 22 2 0 yy dyyy dyxxyx dxxyxdy y y y y 原式 22 计算积分dx x x dy y 1 0 1 2 sin 解 1 0 0 1 0 2 1 00 2 1cos1sin sin sin 2 2 xdxdx x x dy x x dx x x 原式 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 17页 共 20页 17 23 设平面曲线 L 为下半圆周 2 1xy 曲线积分dsyx L 22 解 111 22222 yxxyxy故圆的周长为 22 rL 又 2 2 1 1 22 LL dsdsyx 24 设 L 为下半圆周 0 222 yRyx 将曲线积分dsyxI L 2 化为定积分的正 确结果是D A dtttR sin2 cos 0 2 B dtttR sin2 cos 0 2 C dtttR cos2 sin 0 2 D dtttR cos2 sin 2 3 2 2 解 设圆的参数方程为 tdtRdytRy tdtRdxtRx cos sin sincos 有 Rdt dttRtR dydxds 2222 22 cossin 下半圆因为 y 0 2 3 2 t dtttR RdttRtRdsyxI L 2 3 2 2 2 3 2 sin2 cos sin2cos 2 25 dsyx L 22 其中 L 为曲线 sin costttax cos sintttay 20 t 解 cossin tttax sin costttay 2 0 22222222 cos sin sin cos dtyxtttattadsyx L dttta 1 1 2 2 0 23 26 求dyxdxy L 22 其中 L 是 tby tax sin cos 的上半部沿顺时针方向 解 因为 L 为 tby tax sin cos 上半部得 0 t 高数 BII 复习题 高数 BII 复习题第 18页 共 20页 18 dttbatab dttbtatatbdyxdxy L 0 3232 222 0 222 cossin cos cos sin sin 27 计算dyxyedxyye x L x cos 3sin 其中 L 是由点 0 0 到点 0 2 yyx2 22 的右半圆周 解 yyeyxP x 3sin xyeyxQ x cos 3cos ye y P x 1cos ye x Q x D xx D dxdyyeye dxdy y P x Q 3cos1cos 原式 2 0 2sin2cos cos0 3 sin 214 ydy ydydyyL dxdy L OA D OAL 28 1 2 n n n n n 判别级数敛散性 解 en n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n 2 1 2lim 1 2 lim 1 1 2 lim 2 1 1 2 lim 1 1 1 又1 2 e 故级数 1 2 n n n n n 收敛 注 n n n u u 1 lim 不确定 收敛 发散 1 1 1 29 已知幂级数 0n n nx a在 x 3 处收敛 则下列结论正确的是 A A 在 x 2