2019-2020学年绍兴市高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年浙江省绍兴市高二上学期期末数学试题一、单选题1已知球的半径为，则该球的体积是（ ）ABCD【答案】C【解析】直接由球的体积公式求出球的体积即可【详解】由球的体积公式，故选：C【点睛】本题考查球的体积公式，属于基础题2两直线：，：垂直，则为（ ）A不存在BCD【答案】B【解析】利用直线垂直的性质求解即可【详解】根据直线垂直的条件可得，所以.故选：B【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用3在三棱锥中，若D为BC的中点，则（ ）ABCD【答案】C【解析】如图所示，D为BC的中点，代入即可得出【详解】如图所示，为的中点，故选：C【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4若点，在直线的两侧，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】点，在直线的两侧，那么把这两个点代入，它们的符号相反，乘积小于0，即可求出a的取值范围【详解】点，在直线的两侧，即：，解得故选：A【点睛】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题，是基础题准确把握点与直线的位置关系，找到图中的“界”，是解决此类问题的关键5设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是A若则B若，则C若，则D若则【答案】C【解析】试题分析：A中可能相交，B中可能相交或异面，D中可能相交.【考点】空间点、线、面的位置关系.6若实数满足不等式组，则的最小值是（ ）ABCD【答案】A【解析】由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值即可【详解】画出可行域，表示的区域如图，要求的最小值，就是在直线与直线的交点处，目标函数的最小值是故选：A【点睛】本题考查线性规划问题，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，考查计算能力7一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是，则这条线段所在直线与这个二面角的棱所成角为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题意作出与两个半平面的棱所成的角为，利用边角关系，求出的正弦值，得出结论【详解】如图，的两个端点，过点作，交于，连接，则为线段与所成角，且，同理，过作，交于，则为与所成角，且,过作，且，则为所求，为矩形，设，在直角中，在直角中，所以，同理，所以，故故选：B【点睛】本题考查直线和平面所成的角，异面直线所成的角，属于中档题8已知圆锥，是底面圆周上任意的三点，记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据题意，求出，得出结论【详解】如图，直线与平面所成的角，二面角即平面与底面所成的角，作，连接，根据三垂线定理，故，又，都是锐角，所以，故选：D【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面，异面直线所成的角，属于中档题9已知，是椭圆C：的两个短轴端点，P是椭圆上任意一点，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】是椭圆上任意一点，可得：，化为：利用，即可得出范围【详解】是椭圆上任意一点，化为：又，故选：C【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10已知，是上的点，将沿翻折到，设点在平面上的射影为，当点在上运动时，点（ ）A位置保持不变B在一条直线上C在一个圆上D在一个椭圆上【答案】C【解析】为计算简便，不妨设为等腰直角三角形，建立空间直角坐标系，取中点，利用，即可得到轨迹方程.【详解】为计算简便，不妨设为等腰直角三角形，令，且令，以中点为空间原点，为轴，建立空间直角坐标系，设，设，则，所以y，)，因为，所以，同理，所以，两式相减得，代入得，故选：C【点睛】本题考查点的轨迹方程，考查空间向量位置关系等，建立空间直角坐标系是关键，属于中档题二、填空题11已知点，在同一直线上，则_【答案】【解析】三点，在同一直线上，可得，利用斜率计算公式即可得出【详解】三点，在同一直线上，化为：故答案为：【点睛】本题考查了三点共线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_【答案】【解析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【详解】由题意可知几何体是正方体的一部分，是四棱锥，所以几何体的体积为：故答案为：【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是基础题13已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_ 【答案】【解析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为，构造方程，可求出半径.【详解】设圆锥的底面的半径为，圆锥的母线为，则由得，而故，解得，故答案为：.【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长正确理解这两个关系是解题的关键14平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以A为同一顶点的三条棱长均为1，且两两的夹角为，则对角线AC1的长是 .【答案】【解析】本题考查的知识点是空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键解：设。15一动圆截直线和所得弦长分别为8，4，则该动圆圆心的轨迹方程为_【答案】【解析】动圆截直线和所得的弦长分别为，利用点到直线的距离公式，可求、，由垂径定理可得 ，化简即可【详解】如图所示：设点，由条件可得，由点到直线的距离公式可得， ，由垂径定理可得：，化简可得，点的轨迹方程为，故答案为：【点睛】本题以直线与圆相交为载体，考查轨迹方程，解题的关键是利用圆的特殊性，借助于垂径定理求解16如图，正方体的顶点在平面上，若和与平面都成角，则与平面所成角的余弦值为_【答案】【解析】设直线过点且垂直于，则与都与直线夹角为，连结，由题意得是等边三角形，取中点，由题意得可以承担直线的角色，由题意知与直线（直线）的余弦值恰为与平面所成角的正弦，由此能求出与平面所成角的余弦值【详解】设直线过点且垂直于，则与都与直线夹角为，连结，由题意得是等边三角形，取中点，由题意得可以承担直线的角色， 但同时与直线、夹角为相等的直线，最小也要，此时直线是唯一的，由题意知与直线直线的余弦值恰为与平面所成角的正弦，设正方体的棱长为，则，设与平面所成角为，则，与平面所成角的余弦值为：故答案为：【点睛】本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题三、解答题17已知直线：，证明：直线恒过定点；设是坐标原点，若，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由直线：，变形为：，结合直线方程的点斜式可求；（2）先求，然后根据直线垂直与斜率的关系即可求解【详解】（1）由直线：，变形为：，结合直线方程的点斜式可知，直线恒过定点，（2），且，直线：的斜率【点睛】本题主要考查了直线恒过定点的求解及两直线垂直关系的简单应用，属于基础题18如图，已知四棱柱，平面，是菱形，点在上，且（）证明：；（）证明：平面【答案】（）证明见解析 ；（） 证明见解析.【解析】（）连结，交于，推导出，从而平面，由此能证明；（）以为原点，为轴，OC为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面【详解】（）连结，交于，平面，是菱形，平面，平面，（）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，设，则,，0， 设平面ACE的法向量，则，取，得，平面，平面.【点睛】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19在平面直角坐标系中，四点在同一个圆上求实数的值；若点在圆上，求的取值范围【答案】（）或；（）【解析】（）设过的圆的方程为将点的坐标分别代入圆的方程，求得的值，可得圆的方程，把点坐标代入，即可求得值；（）点在圆：上，由，其几何意义为圆E上的点到距离的平方减，求出，则答案可求【详解】（）设过的圆的方程为将点的坐标分别代入圆的方程，得，解得：，得圆的方程为将点的坐标代入上述所得圆的方程，得，解得或；（）点在圆：上，其几何意义为圆上的点到距离的平方减如图：，的最小值为；的最大值为的取值范围是【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查两点间距离公式的应用，考查数学转化思想方法，属于中档题20如图，已知四棱锥，是梯形，（）证明：平面平面；（）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值【答案】（）证明见解析；（）.【解析】（）取的中点，连接，则，连接，先证明，再证明平面，最后得出结论；（）分别延长交于，过作与点，连接，为所求的二面角的平面角，在中，求出结果即可【详解】（）证明：取AD的中点O，连接PO，则，连接OC，在直角梯形ABCD中，易知，所以，由，所以，所以，又，所以平面ABCD，又PO在平面PAD内，故平面平面ABCD；（）如图，分别延长，交于，过作与点，连接,，所以，由平面平面ABCD，所以平面，结合（），则为所求的二面角的平面角，由，在三角形PDE中，由，所以，则，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为【点睛】本题考查了线面，面面垂直的判定定理与性质定理的应用，几何法求二面角的余弦值，中档题21已知椭圆：的一个焦点为，且经过点，是椭圆上两点，求椭圆方程；求的取值范围【答案】（） ；（）.【解析】（）由焦点坐标及过的点和之间的关系求出椭圆方程；（）分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时设直线的方程，联立与椭圆的方程，求出