高中习题 数学9-5.doc

第9模块 第5节知能演练一、选择题1用数学归纳法证明：“1aa2an1(a1)”在验证n1时，左端计算所得的项为()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3解析：当n1时，左端1aa2.答案：C2用数学归纳法证明“11)”时，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是()A2k1 B2k1C2k D2k1解析：增加的项数为(2k11)(2k1)2k12k2k.答案：C3用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”第二步归纳假设应该写成()A假设当nk(kN*)时，xkyk能被xy整除B假设当n2k(kN*)时，xkyk能被xy整除C假设当n2k1(kN*)时，xkyk能被xy整除D假设当n2k1(kN*)时，xnyn能被xy整除答案：D4某个命题与自然数n有关，若nk(kN*)时该命题成立，那么可推得nk1时该命题也成立，现已知当n5时该命题不成立，那么可推得()A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立解析：若原命题正确，则其逆否命题正确，所以若nk(kN)时该命题成立，那么可推得nk1时该命题也成立；若nk1时命题不成立，则nk时命题也不成立答案：C二、填空题5猜想11,14(12),149123，第n个式子为_答案：149(1)n1n2(1)n1(123n)6如下图，这是一个正六边形的序列：则第n个图形的边数为_解析：第(1)图共6条边，第(2)图共11条边，第(3)图共16条边，其边数构成等差数列，则第(n)图的边数为an6(n1)55n1.答案：5n1三、解答题7在数列an中，已知a1a(a1)，且an1(nN*)，求证：an1(nN)证明：当n1时，a1a1，不等式成立假设nk(k1)时，不等式成立，即ak1，则当nk1时，ak111.ak1，0.ak11，即当nk1时，不等式也成立综合知，对一切nN*，都有an1.8已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN*)且点P1的坐标为(1，1)(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN，点Pn都在(1)中的直线l上解：(1)由P1的坐标为(1，1)知a11，b11.b2.a2a1b2.点P2的坐标为(，)直线l的方程为2xy1.(2)当n1时，2a1b121(1)1成立假设nk(kN*，k1)时，2akbk1成立，则2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，当nk1时，命题也成立由知，对nN，都有2anbn1，即点Pn在直线l上高考模拟预测1等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b、r均为常数)的图象上(1)求r的值(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)证明：对任意的nN，不等式成立解：(1)因为对任意的nN，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)，所以得Snbnr，当n1时，a1S1br，当n2时，anSnSn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1，又因为an为等比数列，所以r1，公比为b，an(b1)bn1.(2)当b2时，an(b1)bn12n1，bn2(log2an1)2(log22n11)2n，则，所以.下面用数学归纳法证明不等式成立当n1时，左边，右边，因为，所以不等式成立假设当nk时不等式成立，即成立则当nk1时，左边所以当nk1时，不等式也成立由、可得不等式恒成立2已知正项数列an中，对于一切的nN均有aanan1成立(1)证明：数列an中的任意一项都小于1；(2)探究an与的大小，并证明你的结论解：(1)由aanan1得an1ana.在数列an中，an0，an10，ana0，0an1，故数列an中的任何一项都小于1.(2)解法一：由(1)知0an1，那么a2a1a(a1)2，由此猜想：an.下面用数学归纳法证明：当n2，nN时猜想正确当n2时，显然成立；假设当nk(k2，kN)时，有ak成立那么ak1aka(ak)2()2