重庆市历年高考理科数学真题及答案详解(2004-2012).doc

重庆历年高考真题及详解（2004-2012）2004年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学(理工农医类)本试卷分第部分（选择题）和第部分（非选择题）共150分 考试时间120分钟. 第部分（选择题 共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那幺 P(AB)=P(A)P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1函数的定义域是：（ ）A B C D2设复数, 则 （ ）A3 B3 C3i D3i3圆的圆心到直线的距离为（ ） A2 B C1 D4不等式的解集是（ ） A B C D5 （ ） A B C D6若向量的夹角为，,则向量的模为（ ） A2 B4 C6 D127一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（ ） A B C D8设P是的二面角内一点，垂足，则AB的长为（ ） A B C D9 若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是：（ ） A4005 B4006 C4007 D400810已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为：（ ）A B C D11某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为： （ ） A B C D12若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成图形可能是（ ）ACBAPPBC （A） （B）CBABACPP （C） （D）第部分（非选择题 共90分）题 号二三总 分171819202122分 数二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13.若在的展开式中的系数为，则.14曲线在交点处切线的夹角是_，（用幅度数作答）15如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、.，Pn，,记纸板Pn的面积为，则.P2P1P4P316对任意实数K，直线：与椭圆：恒有公共点，则b取值范围是_三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17（本小题满分12分）求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在上的单调递增区间。18（本小题满分12分）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：（1）的概率的分布列及期望E; (2 ) 停车时最多已通过3个路口的概率。19（本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，（1）明MF是异面直线AB与PC的公垂线；（2）若,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。20（本小题满分12分）设函数（1）求导数; 并证明有两个不同的极值点; （2）若不等式成立，求的取值范围.21（本小题满分12分）设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程.Yy2=2pxBXQ(2p,0)OA22（本小题满分14分） 设数列满足（1）证明对一切正整数n 成立；（2）令,判断的大小，并说明理由。参考答案一、选择题：每小题5分，共60分.1D 2A 3D 4A 5B 6C 7C 8C 9B 10B 11D 12D二、填空题：每小题4分，共16分.132 14 15 161，3三、解答题：共74分.17（本小题12分）解： 故该函数的最小正周期是；最小值是2；单增区间是，18（本小题12分）解：（I）的所有可能值为0，1，2，3，4用AK表示“汽车通过第k个路口时不停（遇绿灯）”，则P（AK）=独立.故 从而有分布列： 0 1 2 3 4 P （II）答：停车时最多已通过3个路口的概率为.19（本小题12分） （I）证明：因PA底面，有PAAB，又知ABAD，故AB面PAD，推得BAAE，又AMCDEF，且AM=EF，证得AEFM是矩形，故AMMF.又因AEPD，AECD，故AE面PCD，而MFAE，得MF面PCD，故MFPC，因此MF是AB与PC的公垂线.（II）解：连结BD交AC于O，连结BE，过O作BE的垂线OH， 垂足H在BE上.易知PD面MAE，故DEBE，又OHBE，故OH/DE，因此OH面MAE.连结AH，则HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角 设AB=a，则PA=3a， .因RtADERtPDA，故20（本小题12分）解：（I） 因此是极大值点，是极小值点.（II）因 又由（I）知代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得 21（本小题12分）解法一：由题意，直线AB不能是水平线， 故可设直线方程为：.又设，则其坐标满足消去x得 由此得 因此.故O必在圆H的圆周上.又由题意圆心H（）是AB的中点，故由前已证，OH应是圆H的半径，且.从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.此时，直线AB的方程为：x=2p.解法二：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x2p又设，则其坐标满足分别消去x，y得故得A、B所在圆的方程明显地，O（0，0）满足上面方程所表示的圆上，又知A、B中点H的坐标为故 而前面圆的方程可表示为故|OH|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）.又，故当k=0时，R2最小，从而圆的面积最小，此时直线AB的方程为：x=2p.解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上又直径|AB|=上式当时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小.此时直线AB的方程为x=2p.22（本小题14分）（I）证法一：当不等式成立.综上由数学归纳法可知，对一切正整数成立.证法二：当n=1时，.结论成立.假设n=k时结论成立，即 当的单增性和归纳假设有所以当n=k+1时，结论成立.因此，对一切正整数n均成立.证法三：由递推公式得 上述各式相加并化简得 （II）解法一： 解法二：I解法三： 故.2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）数学试题（理工农医类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.注意事项：1答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。5考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 第一部分（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1圆关于原点（0，0）对称的圆的方程为（ ）ABCD2（ ）ABCD3若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是（ ）ABCD（2，2）4已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与的夹角为（ ）ABCD5若x，y是正数，则的最小值是（ ）A3BC4D6已知、均为锐角，若的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得、都垂直于；存在平面，使得、都平行于；内有不共线的三点到的距离相等；存在异面直线l、m，使得l/，l/，m/，m/，其中，可以判定与平行的条件有（ ）A1个B2个C3个D4个8若n展开式中含项的系数与含项的系数之比为5，则n等于（ ）A4B6C8D109若动点（）在曲线上变化，则的最大值为（ ）ABCD210如图，在体积为1的三棱锥ABCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G， 使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥OBCD的体积等于 （ ）ABC D第二部分（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上.11集合R| ，则= .12曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为= .13已知、均为锐角，且= .14= .15某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 .16连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）.菱形有3条边相等的四边形梯形平行四边形有一组对角相等的四边形三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分13分）若函数的最大值为2，试确定常数a的值.18（本小题满分13分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求： （）该顾客中奖的概率；（）该顾客获得的奖品总价值（元）的概率分布列和期望.19（本小题满分13分）已知，讨论函数的极值点的个数.20（本小题满分13分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EAEB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，BCC1=，求： （）异面直线AB与EB1的距离； （）二面角AEB1A1的平面角的正切值.21（本小题满分12分）已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点. （）求双曲线C2的方程；（）若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.22（本小题满分12分）数列an满足.（）用数学归纳法证明：；（）已知不等式，其中无理数e=2.71828.2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一、选择题：每小题5分，满分50分.1A 2A 3D 4C 5C 6B 7B 8B 9A 10C二、填空题：每小题4分，满分24分.11 12 131 143 15 16三、解答题：满分76分.17（本小题13分）18（本小题13分）解法一： （），即该顾客中奖的概率为.（）的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）. 010205060P故有分布列：从而期望解法二： （）（）的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值=28=16（元）.19（本小题13分）（1）当xx1+00+为极大值为极小值即此时有两个极值点.（2）当有两个相同的实根于是无极值.（3）答（20）图1为增函数，此时无极值. 因此当无极值点.20（本小题13分）解法一： （）因AB面BB1C1C，故ABBE. 又EB1EA，且EA在面BCC1B1内的射影为EB.由三垂线定理的逆定理知EB1BE，因此BE是异面直线AB与EB1的公垂线，在平行四边形BCC1B1中，设EB=x，则EB1=，作BDCC1，交CC1于D，则BD=BC在BEB1中，由面积关系得.（负根舍去）解之得CE=2，故此时E与C1重合，由题意舍去.因此x=1，即异面直线AB与EB1的距离为1.（）过E作EG/B1A1，则GE面BCC1B，故GEEB1且GE在圆A1B1E内，又已知AEEB1故AEG是二面角AEB1A1的平面角.因EG/B1A1/BA，AEG=BAE，故解法二：（）而BB1C1C得ABEB1从而=0.设O是BB1的中点，连接EO及OC1，则在RtBEB1中，EO=BB1=OB1=1，因为在OB1C1中，B1C1=1，OB1C1=，故OB1C1是正三角形，所以OC1=OB1=1，又因OC1E=B1C1CB1C1O=故OC1E是正三角形，所以C1E=1，故CE=1，易见BCE是正三角形，从面BE=1，即异面直线AB与EB1的距离是1.（）由（I）可得AEB是二面角AEB1B的平面角，在RtABE中，由AB=，BE=1，得tanAEB=.又由已知得平面A1B1E平面BB1C1C，故二面角AEB1A1的平面角，故解法三： （I）以B为原点，、分别为y、z轴建立空间直角坐标系.由于BC=1，BB1=2，AB=，BCC1=，在三棱柱ABCA1B1C1中有B（0，0，0），A（0，0，），B1（0，2，0），设又AB面BCC1B1，故ABBE. 因此BE是异面直线AB、EB1的公垂线，则，故异面直线AB、EB1的距离为1.（II）由已知有故二面角AEB1A1的平面角的大小为向量的夹角.21（本小题12分）解：（）设双曲线C2的方程为，则故C2的方程为（II）将由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得即 .由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得 解此不等式得 由、得故k的取值范围为22（本小题12分） （）证明：（1）当n=2时，不等式成立. （2）假设当时不等式成立，即那么. 这就是说，当时不等式成立.根据（1）、（2）可知：成立.（）证法一：由递推公式及（）的结论有 两边取对数并利用已知不等式得 故 上式从1到求和可得即（）证法二：由数学归纳法易证成立，故令取对数并利用已知不等式得 上式从2到n求和得 因故成立.绝密*启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷（理工农医类）数学试题（理工农医类）共5页，满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题止规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。5.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）P(A)+P(B) . 如果事件A、B相互独立，那么P(AB)P(A)P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立事件重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1-P)n-k 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合U=1,2,3,4,5,6,7, A=2,4,5,7,B=3,4,5,则(uA)(uB)=(A)1,6 (B)4,5(C)1,2,3,4,5,7 (D)1,2,3,6,7 (2)在等差数列an中，若aa+ab=12,SN是数列an的前n项和，则SN的值为（A）48 (B)54 (C)60 (D)66(3)过坐标原点且与x2y2 4x2y+=0相切的直线的方程为（A）y=-3x或y=x (B) y=-3x或y=-x （C）y=-3x或y=-x (B) y=3x或y=x (4)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l(A)平行（B）相交(C)垂直 (D)互为异面直线（5）若n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为(A)-540 (B)(c)162 (D)540(6)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在56.5,64.5的学生人数是(A)20 (B)30(C)40 （D）50(7)与向量a=的夹解相等，且模为1的向量是(A) (B) 或（C） （D）或（）将5名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方案有（A）种（B）种（C）种（D）种（）如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的倍，则函数y=f(x)的图象是 题（）图 （）若a,b,c0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为（A）-1 (B) +1(C) 2+2 (D) 2-2一、 填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上（11）复数复数的值是_. (12)_.(13)已知，sin()= sin则os=_.(14)在数列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an=_.(15)设a0,n1,函数f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.则不等式logn(x2-5x+7) 0的解集为_.(16)已知变量x,y满足约束条件1x+y4,-2x-y2.若目标函数z=ax+y(其中a0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为_.二、 解答题：本大题共小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分13分）设函数f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为.（）求的值；（）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值.（）（本小题满分13分）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：（）随机变量的分布列；（）随机变量的期望.（）（本小题满分分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，ABCD,AD=CD=24B,E、F分别为PC、CD的中点.（）试证：CD平面BEF;（）设PAkAB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.（20）(本小题满分13分)已知函数f(x)=(x2+bx+c)cx,其中b,cR为常数.图(19)图（）若b24(a-1),讨论函数f(x)的单调性；（）若b24(c-1),且=4,试证：6b2.(21)(本小题满分12分)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.（）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);（）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.(22)(本小题满分12分)已知一列椭圆Cn:x2+=1. 0bn1,n=1,2.若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是PnFn与PnCn的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.（）试证：bn (n1);（）取bn，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1S1且SnSn+3 (n3).图()图（20）(本小题满分13分)已知函数f(x)=(x2+bx+c)cx,其中b,cR为常数.（）若b24(a-1),讨论函数f(x)的单调性；（）若b24(c-1),且=4,试证：6b2.(21)(本小题满分12分)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.（）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);（）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.(22)(本小题满分12分)已知一列椭圆Cn:x2+=1. 0bn1,n=1,2.若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是PnFn与PnCn的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.（）试证：bn (n1);（）取bn，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1S1且SnSn+3 (n3).图()图部分参考答案(18)(本小题13分)解法一：（）的所有可能值为，.由等可能性事件的概率公式得P(=0)=, P(=1)= P(=2)= =, P(=3)= P(=4)= =, P(=5)= 从而的分布列为012345P（）由（）得的期望为E=0+2+3+4+5 =.解法二：（）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.故B,即有P(=k)=C,k=0,1,2,3,4,5.由此计算的分布列如解法一.解法三：（）同解法一或解二.（）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等.即3E=5,从而E=.（19）（本小题13分）解法一：（）证：由已知DFAB且DAD为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF.又PA底面ABCD,CDAD，故由三垂线定理知CDPD.在PDC中，E、F分别PC、CD的中点，故EFPD,从而CDEF,由此得CD面BEF. 第（19）图（）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在PAC中易知ECPA.又因PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.设AB=a,则在PAC中，有BG=PA=ka.以下计算GH，考察底面的平面图（如答(19)图）.连结GD.因SCBD=BDGH=GBOF.故GH=.在ABD中，因为ABa,AD=2A,得BD=a第（19）图而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得GH= 因此tanEHG=由k0知是锐角，故要使，必须tan=解之得，k的取值范围为k解法二：（）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0).从而=(2a,0,0), =(0,2a,0), =0,故 .设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故 第（19）E.从而=.=0,故.由此得CD面BEF.（）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.由PAkAB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).设H(x,y,0)，则=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),由=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a 又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故，即2x+y=2a 由解得x=a,y=a,从而，a.tanEHG=.由k0知，EHC是锐角，由EHC得tanEHGtan即故k的取值范围为k.(20)（本小题13分）解：（）求导得f2(x)=x2+(b+2)x+b+cex.因b24(c-1),故方程f2(x)=0即x2+(b+2)x+b+c=0有两根；x1=x2=令f（x）0，解得xx1或xx1；又令f（x）0，解得x1xx2.故当x（-, x1）时，f(x)是增函数，当 x（x2，+）时，f(x)也是增函数，但当x（x1 ， x2）时，f(x)是减函数.（）易知f(0)=c,f(u)=b+c,因此.所以，由已知条件得 b+e=4 b24(e-1),因此b2+4b-120.解得-6b2.(21)（本小题12分）解：（）因为对任意xR，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.（）因为对任意xR，有f(f(x)- x2 +x)=f(x)- x2 +x.又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.所以对任意xR，有f(x)- x2 +x= x0.在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,又因为f(x0)- x0，所以x0- x=0，故x0=0或x0=1.若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即f(x)= x2 x.但方程x2 x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x20.若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 x+1.易验证该函数满足题设条件.综上，所求函数为f(x)= x2 x+1（xR）.（22）（本小题12分）证：（1）由题设及椭圆的几何性质有 设 因此，由题意应满足即即,从而对任意（）设点 得两极，从而易知f(c)在（，）内是增函数，而在（，1）内是减函数.现在由题设取是增数列.又易知故由前已证，知2007年普通高等学校招生考试（重庆卷）数学（理工科）本卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、若等差数列的前3项和且，则等于（ ） A、3B、4C、5D、6 2、命题“若，则”的逆否命题是（ ） A、若，则或B、若，则 C、若或，则D、若或，则 3、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ） A、5部分B、6部分C、7部分D、8部分 4、若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A、10B、20C、30D、120 5、在中，则等于（ ） A、B、C、2D、 6、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ） A、B、C、D、 7、若是与的等比中项，则的最大值为（ ） A、B、C、D、 8、设正数满足等于（ ） A、0B、C、D、1 9、已知定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ） A、B、C、D、DCBA 10、如右图，在四边形ABCD中，则的值为（ ） A、2B、C、4D、二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填写在答卷相应位置上. 11、复数的虚部为_. 12、已知满足则函数的最大值是_. 13、若函数的定义域为R，则的取值范围为_. 14、设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则_. 15、某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有_种.（以数字作答） 16、过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则的值为_.三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（本小题满分13分，其中（）小问9分，（）小问4分）设.（）求的最大值及最小正周期；（）若锐角满足，求的值. 18（本小题满分13分，其中（）小问4分，（）小问9分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险.单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）.设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独立.求一年内该单位在此保险中：（）获赔的概率；（）获赔金额的分布列与期望. 19（本小题满分13分，其中（）小问8分，（）小问5分）如右图，在直三棱柱中，；点、分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为.（）求异面直线与的距离；CEDA1B1C1CBA（）若，求二面角的平面角的正切值. 20（本小题满分13分，其中（）、（）、（）小问分别为6、4、3分）已知函数在处取得极值，其中a、b为常数.（）试确定a、b的值；（）讨论函数的单调区间；（）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 21（本小题满分12分，其中（）小问5分，（）小问7分）已知各项均为正数的数列的前项和满足，且.（）求的通项公式；（）设数列满足，并记为的前项和，求证：. 22（本小题满分12分，其中（）小问4分，（）小问8分）如右图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：.（）求椭圆的方程；（）在椭圆上任取三个不同点，使，证明：OFP3P2P1为定值，并求此定值.2007年普通高等学校招生考试（重庆卷）数学参考答案（理工科）一、选择题ADCBACBBDC二、填空题：11、12、713、14、1815、2516、三、解答题：17、解：（）故的最大值为；最小正周期.（）由得，故.又由得，故，解得.从而.18、解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，.由题意知独立，且.（）该单位一年内获赔的概率为.（）的所有可能值为.,，.综上知，的分布列为090001800027000P求的期望有两种解法：解法一：由的分布列得（元）解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，则有分布列09000P故.同理得.综上有（元）.19、解法一：（）因，且，故面A1ABB1，从而B1C1B1E，又B1EDE，故B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线.设BD的长度为，则四棱椎的体积为.而直三棱柱的体积为.B1FCEDA1C1CBA由已知条件，故，解得.从而B1D.又直角三角形中，,又因.故.（）如右图，过B1作B1FC1D，垂足为F，连接A1F.因A1B1B1C1，A1B1B1D，故A1B1面B1DC1，由三垂线定理知C1DA1F，故A1FB1为所求二面角的平面角.在直角中，又因，故，所以.20、解：（）由题意知，因此，从而.又对求导得.由题意，因此，解得.（）由（）知.令，解得.当时，此时为减函数；当时，此时为增函数.因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为.（）由（）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.要使恒成立，只需.即，从而.解得或.所以的取值范围为21、（）解：由，解得或.由假设，因此.又由，得，即或.因，故不成立，舍去.因此，从而是公差为3，首项为2的等差数列，故的通项为.（）证法一：由可解得从而.因此.令，则.因，故.特别地，从而，即.证法二：同证法一求得及.由二项式定理知，当时，不等式成立.由此不等式有.证法三：同证法一求得及.令.因，因此.从而 证法四：同证法一求得及.下面用数学归纳法证明：.当时，因此，结论成立.假设结论当时成立，即，则当时，.因，故.从而.这就是说当时结论也成立.综上对任何成立.AQ1OFP3P2P122、解：（）设椭圆方程为.因焦点为，故半焦距.又右准线的方程为，从而由已知，因此.故所求椭圆方程为.（）记椭圆的右顶点为A，并设，不失一般性，假设，且.又设在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有.解得.因此，而，故为定值.绝密启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷（理工农医类）数学试题卷(理工农医类)共5页。满分150分。考试时间120分钟。 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色