2009年考研数学(一)真题(含答案解析).pdf

2009 年考研数学真题及答案详解 第 1 页 共 20 页 2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一 选择题 2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一 选择题 1 1 1 1 8 8 8 8 小题 每小题小题 每小题 4 4 4 4 分 共分 共 32323232 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项 符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项 符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 当0 x 时 sinf xxax 与 2 ln 1g xxbx 等价无穷小 则 A 1 1 6 ab B 1 1 6 ab C 1 1 6 ab D 1 1 6 ab 2 如图 正方形 1 1x yxy 被其对角线划分为 四个区域 1 2 3 4 k Dk cos k k D Iyxdxdy 则 14 max k k I A 1 I B 2 I C 3 I D 4 I 3 设函数 yf x 在区间 1 3 上的图形为 1 f x 2 0 23x 1 O 则函数 0 x F xf t dt 的图形为 A f x 0 23x1 2 1 1 B f x 0 23x1 2 1 1 1 1 1 1 x y 1 D 2 D 3 D 4 2009 年考研数学真题及答案详解 第 2 页 共 20 页 C f x 0 23x1 1 1 D f x 0 23x1 2 1 1 4 设有两个数列 nn ab 若lim0 n n a 则 A当 1 n n b 收敛时 1 nn n a b 收敛 B当 1 n n b 发散时 1 nn n a b 发散 C当 1 n n b 收敛时 22 1 nn n a b 收敛 D当 1 n n b 发散时 22 1 nn n a b 发散 5 设 123 是 3 维向量空间 3 R的一组基 则由基 123 11 23 到基 122331 的过渡矩阵为 A 101 220 033 B 120 023 103 C 111 246 111 246 111 246 D 111 222 111 444 111 666 6 设 A B均为 2 阶矩阵 A B分别为 A B的伴随矩阵 若2 3AB 则分块 矩阵 OA BO 的伴随矩阵为 A 3 2 OB AO B 2 3 OB AO C 3 2 OA BO D 2 3 OA BO 2009 年考研数学真题及答案详解 第 3 页 共 20 页 7 设随机变量X的分布函数为 1 0 30 7 2 x F xx 其中 x 为标准正 态分布函数 则EX A0 B0 3 C0 7 D1 8 设随机变量X与Y相互独立 且X服从标准正态分布 0 1N Y的概率分布为 1 01 2 P YP Y 记 Z Fz为随机变量ZXY 的分布函数 则函数 Z Fz 的间断点个数为 A0 B1 C2 D3 二 填空题 二 填空题 9 149 149 149 14 小题 每小题小题 每小题 4 4 4 4 分 共分 共 24242424 分 请将答案写在答题纸指定位置上分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 设函数 f u v具有二阶连续偏导数 zf x xy 则 2z x y 10 若二阶常系数线性齐次微分方程0yayby 的通解为 12 x yCC x e 则非 齐次方程yaybyx 满足条件 02 00yy 的解为y 11 已知曲线 2 02L yxx 则 L xds 12 设 222 1x y z xyz 则 2 z dxdydz 13 若 3 维列向量 满足2 T 其中 T 为 的转置 则矩阵 T 的非零特征值 为 14 设 12 m XXX 为来自二项分布总体 B n p的简单随机样本 X和 2 S分别为样本 均值和样本方差 若 2 XkS 为 2 np的无偏估计量 则k 三 解答题 三 解答题 15151515 23232323 小题 共小题 共 94949494 分分 请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上 解答应写出文字说 明 证明过程或演算步骤 解答应写出文字说 明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 9 分 求二元函数 22 2lnf x yxyyy 的极值 16 本题满分 9 分 设 n a为曲线 n yx 与 1 1 2 n yxn 所围成区域的面积 记 1221 11 nn nn Sa Sa 求 1 S与 2 S的值 17 本题满分 11 分 椭球面 1 S是椭圆 22 1 43 xy 绕x轴旋转而成 圆锥面 2 S是过点 2009 年考研数学真题及答案详解 第 4 页 共 20 页 4 0且与椭圆 22 1 43 xy 相切的直线绕x轴旋转而成 求 1 S及 2 S的方程 求 1 S与 2 S之间的立体体积 18 本题满分 11 分 证明拉格朗日中值定理 若函数 f x在 a b上连续 在 a b可导 则存在 a b 使得 f bf afba 证 明 若 函 数 f x在0 x 处 连 续 在 0 0 内 可 导 且 0 lim x fxA 则 0f 存在 且 0fA 19 本题满分 10 分 计算曲面积分 3 222 2 xdydzydzdxzdxdy I xyz 其中 是曲面 222 224xyz 的外侧 20 本题满分 11 分 设 111 111 042 A 1 1 1 2 求满足 21 A 的 2 2 31 A 的所有向量 2 3 对 中的任意向量 2 3 证明 1 2 3 无关 21 本题满分 11 分 设二次型 222 1231231323 122f x x xaxaxaxx xx x 求二次型f的矩阵的所有特征值 若二次型f的规范形为 22 12 yy 求a的值 22 本题满分 11 分 袋中有 1 个红色球 2 个黑色球与 3 个白球 现有回放地从袋中取两次 每次取一球 以 X Y Z分别表示两次取球所取得的红球 黑球与白球的个数 求 10p XZ 求二维随机变量 X Y概率分布 2009 年考研数学真题及答案详解 第 5 页 共 20 页 23 本题满分 11 分 设总体X的概率密度为 2 0 0 x xex f x 其他 其中参数 0 未知 1 X 2 X n X是来自总体X的简单随机样本 求参数 的矩估计量 求参数 的最大似然估计量 2009 年考研数学真题及答案详解 第 6 页 共 20 页 2009 年考研数学一真题解析 一 选择题 2009 年考研数学一真题解析 一 选择题 1 1 1 1 8 8 8 8 小题 每小题小题 每小题 4 4 4 4 分 共分 共 32323232 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项 符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项 符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 当0 x 时 sinf xxax 与 2 ln 1g xxbx 等价无穷小 则 A 1 1 6 ab B 1 1 6 ab C 1 1 6 ab D 1 1 6 ab 答案 A 解析 2 sin 1 f xxax g xx lnbx 为等价无穷小 则 2 222 00000 sinsin1cossin limlimlimlimlim ln 1 36 xxxxx f xxaxxaxaaxaax g xxbxxbxbxbx 洛洛 23 0 sin lim1 6 6 x aaxa b b ax a 3 6ab 故排除 B C 另外 2 0 1cos lim 3 x aax bx 存在 蕴含了1cos0aax 0 x 故1 a 排除D 所以本题选 A 2 如图 正方形 1 1x yxy 被其对角线划分为 四个区域 1 2 3 4 k Dk cos k k D Iyxdxdy 则 14 max k k I A 1 I B 2 I C 3 I D 4 I 解析 本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性 24 D D两区域关于x轴对称 而 cos f xyyxf x y 即被积函数是关于y的 奇函数 所以 24 0II 13 D D两区域关于y轴对称 而 cos cos fx yyxyxf x y 即被积函数是 关于x的偶函数 所以 1 01 2cos0 x y y xx Iyxdxdy 3 01 2cos0 x y yxx Iyxdxdy 时 有1 n a时 有1 n b 时 有 22 nnn a bb 则由正项级数的比较判别法可知 22 1 nn n a b 收敛 5 设 123 是 3 维向量空间 3 R的一组基 则由基 123 11 23 到基 122331 的过渡矩阵为 A 101 220 033 B 120 023 103 2009 年考研数学真题及答案详解 第 9 页 共 20 页 C 111 246 111 246 111 246 D 111 222 111 444 111 666 解析 因为 1212 nn A 则A称为基 12 n 到 12 n 的过渡矩阵 则由基 123 11 23 到 122331 的过渡矩阵M满足 122331123 11 23 M 123 101 11 220 23 033 所以此题选 A 6 设 A B均为 2 阶矩阵 A B分别为 A B的伴随矩阵 若2 3AB 则分块 矩阵 OA BO 的伴随矩阵为 A 3 2 OB AO B 2 3 OB AO C 3 2 OA BO D 2 3 OA BO 解析 根据CCC E 若 11 1 CC CCC C 分块矩阵 0 0 A B 的行列式 2 2 0 12 36 0 A A B B 即分块矩阵可逆 1 1 1 1 0 0000 66 00010 0 B B AAAB BBBA A A 2009 年考研数学真题及答案详解 第 10 页 共 20 页 1 0 02 3 6 130 0 2 B B A A 故答案为 B 7 设随机变量X的分布函数为 1 0 30 7 2 x F xx 其中 x 为标准正 态分布函数 则EX A0 B0 3 C0 7 D1 答案 C 解析 因为 1 0 30 7 2 x F xx 所以 0 71 0 3 22 x Fxx 所以 1 0 30 35 2 x EXxFx dxxxdx 1 0 30 35 2 x xx dxxdx 而 0 xx dx 11 2212 22 xx xdxuuu du 所以00 35 20 7EX 8 设随机变量X与Y相互独立 且X服从标准正态分布 0 1N Y的概率分布为 1 01 2 P YP Y 记 Z Fz为随机变量ZXY 的分布函数 则函数 Z Fz 的间断点个数为 A0 B1 C2 D3 答案 B 解析 2009 年考研数学真题及答案详解 第 11 页 共 20 页 0 0 1 1 1 0 1 2 1 00 1 2 Z FzP XYzP XYz YP YP XYz YP Y P XYz YP XYz Y P Xz YP Xz Y X Y 独立 1 0 2 Z FzP XzP Xz 1 若0z 而 2 0 xyxxyy fff 内可导 且 0 lim x fxA 则 0f 存在 且 0fA 解析 作辅助函数 f bf a xf xf axa ba 易验证 x 满足 ab x 在 闭 区 间 a b上 连 续 在 开 区 间 a b内 可 导 且 f bf a xfx ba 根据罗尔定理 可得在 a b内至少有一点 使 0 即 f 0 f bf a f bf afba ba 任取 0 0 x 则函数 f x满足 在闭区间 0 0 x上连续 开区间 0 0 x内可导 从而有拉格朗日中值定理可得 存在 0 0 0 0 x x 使得 0 0 0 0 0 x f xf f x 2009 年考研数学真题及答案详解 第 16 页 共 20 页 又由于 0 lim x fxA 对上式 式 两边取 0 0 x 时的极限可得 00 00 0 0 000 0 0 0limlim lim 0 x xx xx f xf fffA x 故 0 f 存在 且 0 fA 19 本题满分 10 分 计算曲面积分 3 222 2 xdydzydzdxzdxdy I xyz 其中 是曲面 222 224xyz 的外侧 解析 222 3 2 xdydzydxdzzdxdy I xyz 其中 222 224xyz 222 222 3 2222 5 2 2 xyzx xxyzxyz 222 222 3 2222 5 2 2 yxzy yxyzxyz 222 222 3 2222 5 2 2 zxyz zxyzxyz 222 3 2222 3 2222 3 2 0 xyz xxyzyxyzzxyz 由于被积函数及其偏导数在点 0 0 0 处不连续 作封闭曲面 外侧 2222 1 1 0 16 xyzRR 有 11 3 222 3 2333 134 34 3 xdydzydxdzzdxdyxdydzydxdzzdxdyR dV xyzRRR 20 本题满分 11 分 设 111 111 042 A 1 1 1 2 求满足 21 A 的 2 2 31 A 的所有向量 2 3 对 中的任意向量 2 3 证明 1 2 3 无关 2009 年考研数学真题及答案详解 第 17 页 共 20 页 解析 解方程 21 A 1 111111111111 111100000211 042202110000 A 2r A 故有一个自由变量 令 3 2x 由0Ax 解得 21 1 1xx 求特解 令 12 0 xx 得 3 1x 故 21 10 10 21 k 其中 1 k为任意常数 解方程 2 31 A 2 220 220 440 A 2 1 1 110 2201 2 22010000 44020000 A 故有两个自由变量 令 2 1x 由 2 0A x 得 13 1 0 xx 求特解 2 1 2 0 0 故 32 1 1 2 10 00 k 其中 2 k为任意常数 证明 由于 12 121 2121221 1 1 1 2 11 12 21 2 21 22 2210 kk kkk kkkk kkk k 1 0 2 故 123 线性无关 2009 年考研数学真题及答案详解 第 18 页 共 20 页 21 本题满分 11 分 设二次型 222 1231231323 122f x x xaxaxaxx xx x 求二次型f的矩阵的所有特征值 若二次型f的规范形为 22 12 yy 求a的值 解析 01 01 111 a Aa a 01 10 01 1111 111 a aa EAaa a a 22 2 1 1 0 1 2 22 19 12 24 2 1 aaaa aaa aaaa aaa aaa 123 2 1aaa 若规范形为 22 12 yy 说明有两个特征值为正 一个为 0 则 1 若 1 0a 则 2 20 3 30 符合 3 若 3 0 即1a 则 1 10 2 30 其他 其中参数 0 未知 1 X 2 X n X是来自总体X的简单随机样本 求参数 的矩估计量 求参数 的最大似然估计量 解析 1 由EXX 而 22 0 22 x